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高等數學第二十二講1第四節一、有理函數的積分二、可化為有理函數的積分舉例有理函數的不定積分第三章2換元積分法;本節起，我們將被積函數的類型出發，討論某些特殊類型的函數的不定積分法。

基本積分法:直接積分法;分部積分法3一、有理函數的積分有理函數:時,為假分式;時,為真分式假分式相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和4例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法5(2)用賦值法故取代入上式有取代入上式有 比較上式左右兩端的分子有6原式=(3)用比較系數法7四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分8例2.

求解:已知9例3.

求解:原式注：分母的導數為10例4求解：說明:將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據被積函數的結構尋求簡便的方法.11(不講)例5.求不定積分解：令則,故分母次數較高,宜使用倒代換.12二、可化為有理函數的積分舉例設表示三角函數有理式,令萬能代換u的有理函數的積分1.三角函數有理式的積分則變量代換通常稱為“萬能代換”意味著任何三角函數有理式的積分，的有理函數的積分。都可以用這種代換化為可積13令14例1.求15注：用萬能代換有時計算比較復雜，的三角函數的有理式的積分常需要采用其他形式的代換。以便能更簡便而迅速地得出結果。例10：求解：若用萬能代換則繁！因此對某些特殊162.簡單無理函數的積分令令被積函數為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數的積分.例如:令17例1.

求解:令則原式18例2.

求解:為去掉被積函數分母中的根式,取根指數2,3的最小公倍數6,則有原式令19例3.

求解:令則原式20解：令例421不講例4

求解原式＝令原式＝22(不講)例5.求解:原式=23例8.

求解:

原式=分析:

(不講).

24小結常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統一函數:利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如25積分計算比導數計算靈活復雜,為提高求積分已把常用積分公式匯集成表,以備查用.如附錄ⅢP273.積分表的結構:按被積函數類型排列積分表的使用:1)注意公式的條件2)注意簡單變形的技巧的效率,積分表的使用26例1.求解:應使用P280公式(109).27例2.

求解法1

令則原式(P275公式39)28例2.

求解法2

令則原式(P274公式13)29內容小結1.可積函數的特殊類型有理函數分解多項式及部分分式之和三角函數有理式萬能代換簡單無理函數三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡便計算.簡便,

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