《高等數學AI》末復習題參考答案題：1.2.；3.；4.B；5.D；題：1、[，4]；2、1；3、x=；、y=+；、x

52

；6、單調增加；7、(1，6；8、39、y=；、

lna

；11、

；12；133。21、解：原=

lim

x

2、解：原=

lim(1

limx0

xx

lim(1

1x)x

。

e1、解：′=

(1)(

2、解：′

cosx1sinx

。(2)dx。dy=(2)3、解：方兩邊對求導：32x。y=2

2

y3′-x

5

01、解

xx1dxdx=)=arctanx2x第1共頁

10102、解：

dx=x2

x)=arctan(sin)

。3、解：原=x–x+

10

。4、解：原=|dx|00

。5、解：令t=

，則x=t，x=2tdt，原式=

2t

tsin

sintdt)cost1

)2(sin1

。六解：函數的定義域為：(-∞，-3∪(-3，+∞)。y

x23)36(3，(x4x令y0，得x=3列表如下：x

(-∞-3(-3，3)

3

(3+∞y

-

0

-y

單調減少

單調增加

極大值4

單調減少所以，函數的單調減少區間為：(-∞，3(3，+)；單調增加區間為：(-3，；函數的極大值為：(3。(2)y′′

x

)(

36

2(6)4令y′′=0，得x=。列表如下：xy′

(-∞-3(-，6)--

60

(6+∞)y

凸

凸

拐點11/

凹所以，函數的凸區間為：(-∞-3(，凹區間為：(-33)；函數的拐點為：(611/3。(3)

limy[1xx

36(x

]

，所以函數的鉛直漸近線為：=-。第2共頁

230dx230dxlimlim[1xx

(x3)

]

，所以函數的水平漸近線為：=。七

證：令F)=e

3x

f(x)，由已知，F(x)[a，b]連續，在(，)可導，且F()=0=(b，由羅爾定理，在(ab)內至少存在一點，使得：Fξ)=3e3f(ξ)+3f′ξ)=0，即：f′(ξ)+3(ξ)。八

解：

y

，所求平面圖形的面積為：A

10

(x

2

1)d)|。331、解：分離變量，得：

d1

dx1

，兩邊積分，得：arcsiny，即原方程的通解為：=(x+)此外還有解：=±12、解：P(x

2x

，()x

，原方程的通解為：=e

(2ex

2

(d2(

(

。將y

x

代入通解，得=。∴所求符合初始條件的特解為：=2(x22

。《高等數學AI》末復習題參考答案題：1、C；2、A；3、；4、C；5B；題：1、[，3]；2、；3、=；、y=3–2；5、；6單調減少；7、(-1，4；ln3第3共頁

8、69、y=–1；10、arcx+；11

；12π；133。1、解：原=

lim

xx

2、解：原=

lim(1)

limx01。6

1x23x2

3。1、解：′=dy=

(x2(x2dx。(2

2、解：′

x

cotx。3、解：方兩邊對求導：eyy′+0，y=

e

。1、解：原=

2sinxx

x

(cossin)dxsinxx。2、解：原=

d(2)

。3、解：式=arctan

x1d(12)1xarctanxxln(12)。22124、解：原=x2–x)|=3–e。05、解：令t=

，則x=t

2

，dx=2tdt，原式=

2

tet

tt1

tdt)et)20

。第4共頁

11六11

解：(1)函數的定義域為：(-∞，+∞。y3

2

1–2x–，令y′=0，得x=，x=。3列表如下：xy

(-∞-1/3-1/30

(-1/31)-

(1+∞y

單調增加

極大值32/27

單調減少

極小值0

單調增加所以函數的單調增加區間為：(-∞，1/3)，(1∞)；單調減少區間為：(-1/，1)；函數的極大值為：(1/)=32/27，極小值為：(1。(2)y′′=6–2令′=0，得=1/3。列表如下：xy′

(-∞/)1/3-0

(1/3，∞)y

凸

拐點16/27

凹七

所以函數的凸區間為：(-∞1/3)；凹區間為：(1/，+∞)；函數的拐點為：(1/，16/)。證：令F)=xf()，由已知，Fx)在[，b]連續，在(，)可導，且F()=0=(b，由羅爾定理，在(ab)內至少存在一點，使得：Fξ)=2ξ(ξ)ξ

2

f′(ξ)=0，即：2f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

解：所求平面圖形的面積為：A=x00

xd|101、解：分離變量，得：x，y兩邊積分，得2y2，即原方程的通解為：y

(x22

.外還有解：y=0。第5共頁

x。n1n11n1n2、解：P(x，(x)x，x。n1n11n1n原方程的通解為：=e

xedx

xdx

。將y

x

代入通解，得=1。∴所求符合初始條件的特解為：=

x

。《高等數學》期末復題三參考案題：1、A；2、

C

；3、

；4

B

；5、D；

6、B。題：1、

；2、

11；3、x；4、；5x

11x

。限：1、解li

1x

im

xx(1

im

11。11limim0

12112、解limx

1x。x0xsinx3.解n

n

n

1n

n

limn

nn

e2。e數：1、解：

2x

2

exx

。sinx2、解lnysinxx，coslnx，

sinxcosxlnx。第6共頁

3、解：兩對求導，得：xy

y整理得：yy

2

xyy

所y

y。xy分：1、解：原=

lnx(lnx)

ln2。2、解：原=

2xsin2xsinx

x

(cossin)dcosxC。3、解：原=

(1x

111x22)|2)。22224、解：令tant

，dx

2

tdt，，

π

；

，t

π原式=

π3π4

sectan2t

π3π4

t2t

π3π4

t)1|tt

π3π4

2

。

解：(1)f′(x)=

(3

，令f′(x)=，得：x1列表如下：x

(–∞，)(–1，1)1(1，∞)f′()f()

–↘

↗

0極大值

54

–↘∴f()的單調減少區間為(–∞1)和(1∞)單調增加區間為(–1)，極大值為：f1

14

。(2)′′()=

2((x

，令f′′()，得：x2，列表如下：x

(–∞，)(–1，2)

2

(2，+)f′′()–

–

0

f()

凸

凸

拐點

29

凹∴f()的凸區間為：(∞，–1和(–1，2，凹區間為：(2，∞)，拐點為：(2)。第7共頁

x5x5(3)limxlimx

x(1x(1)

22

，y是數的水平漸近。∴x數鉛漸線

證：令f()x–(1+)，則f()在區間[0，+∞)上連續，且

1(x)0(0故f(x)在[0∞)上嚴格單調增加，11

從而f()(0)=0，因此，當x>0時，有>ln(1+)。2解或，所求平面圖形的面積為：A=

4

y2y(y4)4y)26

4

。1、解：當≠時，y()dyydu原方程化為：，，則yx，dxdxdxx原方程化為：x

dudu

x，分離變量，得(1)x

，兩邊積分，得：u–lnln|+lnC，即：=x，也就e

C|y，或=e

yx

；經檢驗，y0也是原方程的解，原方程的通解為：=2、解：原程的通解為：

yx

和y=0y=

dx5dx3[(xxx=((2xC](1)[(xC](

72

。第8共頁

1x11x1xy3《高等數學》期末復題四參考案1x11x1xy3題：1、B；2、C；3、4、B；5、B；6、；、A；8、A。1、必要；、；可去；3、a=；=-；4、2+1=05；6、

(x。1、解：原=limx1

1213

(x1)(xxlimlimx)(12)x12

2、解：原=limx

x

x

limx

1

xx

；3

、

解：原式=limx

2

(12

2

lim(12)x1、解d2x2)xtan)(1x2dx2、解：

y(sin3)tx(acos3t

32tta2t(

(

t

，n整數)3、解：方兩邊同時對x求導，得

y

（*以y

ey；ey（*兩邊同時對x求導，得e

y

y

y

y

y

y

2

xe

y

y

，y

e

y

yxe

.

yyxe)

。1、解：原=x2x；x2、解：原=

cos(d(2sin(x；第9共頁

00xx33、解：原=lnxxdxlnx34、解：令=t，則x=costt=0t=0，x=，t

2

。原式=

tcos

t=

20

sin

2

t

20

14dt=(4)4。5、解：原=sin-0

20

sinxdxπ/+cosx|

0

π2

-1解：令'

x

240點2不可導x，''，∴單調增區間(x4(2，單調減區間為02小值為f(2)凹區間為(，無拐點。題：1、證：設f(ln(1x，然(x)在區間x]滿足拉格朗日定理，則)0。1當

>0時，，

x，即：1

x1x

x)x

。

、證：設f()x

5

–7x–，則f(x)在[1，]上連續，且f(1-10<0，(2)14>0，由零點定理，在(，)至少存在一點ξ使得fξ)=，即方程x(1，2)內至少一個實根。

5

–7x=4在

解：所求體積為：V=

R

2dx

R

22)dx

R0

1(R22)dx23第1頁共頁

eexxeexx

43

。1、解：原方程化為：

x

2xy，分離變量：

dy

d，兩邊積分：lny|=lnC，原方程的通解為：=

e

。2、解：原程的通解為：y=

()。《高等數學》期末復題五參考案1、(-2，2)∪(2+

2、1；

3、0；

4、=2；

5、1；

16。21、解：原=

；

six12、解：原=lim；x3、解：原=li

lnx(lnx

x4、解：lilnlim=lim1x000x

xx2li

xlnx

lim1xx2

li()=，x0

12

；

原式

0

1。1、=

xx

，求

2、==(x+求d第1頁共頁

22解：y

x(x1)；(x1)(2

解：

1，2x1

2x

x。3、求由方–y確定的隱函數的導數y

；解：方程兩邊對求導：–y

+xy

，y

xy

y

；4、=

2

cosx，求y

。解：y2–2inx，x2xsin–xinx–xx=(2–x2)4xsin。1、解：原=

14

x4xx+；12、解：原=cosx3)d(2x21(x3)+；23、解：令t=

x，則x=

2

–1，d=2tt0，t=，x=，t2原式=

21

tdt=2(2)dt122116(t5t)；54、解：原=xsinx|

π/0

π20

si