2.4均值不等式及其應用第1課時[A基礎達標].不等式/+序22|而|成立時，實數小。一定是()A.正數B.非負數C.實數D.不存在解析:選C.原不等式可變形為/+〃一2|岫|=同2+族|2-2\ab\=(\a\-\b\)220,對任意實數都成立..(多選)下列不等式一定成立的是()A.f+卜中,。)B.x+；N2(x>0)C.x2+1^2H(xGR)D.*7>心。)解析：選BC.對于A,當x=T時，f+]=x,所以A不一定成立；對于B,當第>0時，不等式成立，所以B一定成立；對于C,不等式顯然恒成立，所以C一定成立；對于D,因為r+1N1,所以()<*7<1，所以D不成立.故選BC..設0<戰江且。+人=1,在下列四個數中最大的是()A.tB.bC.2abD.a2+Z?2(a+?]解析：選B.因為0<〃<b,〃+b=l,所以J=a，所以cr-Vbcr-Vb1a+b1“=g,所以.cr-Vb1a+bcr-Vb1a+b1“=g,所以.因為因為h—(cr+b2)=(h—b2)—a2=b(\—h)—cr=ab—a1=a(b—a)>0,所以所以Z?最大.214.已知實數x,)，滿足x>0,)>0,且；+7=1,則x+2y的最小值為()兀yA.2B.4C.6D.82I解析：選D.因為.v>(),y>0,且：+:=1,xy所以x+2尸（x+2），）E+3=4+?+?24+2、件9=8,5yjay\jxy當且僅當?=j即x=4,），=2時等號成立.故選D.235.設QO,則產x+三77V的最小值為（）N?人I1JA.0B.g3TOC\o"1-5"\h\zC.1D.5解析：選A.因為1>0,所以x+；>0,所以y=x+高—,=（、+!）+：—22x+22/卜+打一4-2=0,當且僅當x+%-4,即T時等號成立，所以x+2x+223y=x+o工]一不的最小值為0.'2x+12.若a>0,且。+力=0,則。一（+1的最小值為.解析：因為。+Z?=0,6/>0,所以。一/+1=。+[+123,當且僅當。=1,b=~\時取等號.答案：3.若x,y均為正實數，且x+4y=20,則xy的最大值是.解析：因為x,y均為正實數，所以2（）=:+4y22出4），=4y/^1,所以15志5,所以x）W25,當且僅當x=4y=10,即x=10,尸烹時，等號成立，所以孫的最大值是25.答案：25.已知當x=3時，代數式4工+%>0,〃>0）取得最小值，則。=.解析：/4x5=4人（x>0,。>0）,當且僅當4x=*即時等號人\/人人/

成立，所以乎=3,即a=36.答案：3649.⑴已知x>0,求y=2一%一二的最大值;(2)已知求y=5(l—2x)的最大值.解：(1)因為尤>(),所以x+?24,所以)，=2—(工+3<2—4=一2.當且僅當工=%>0),即x=2時取等號，>ax=-2.⑵因為所以1-2a>0,1,lf2x+1—2x^21所以y=WX2Hl_2x)Wa2)=7?當且僅當2x=1-2i[()<r<^,即X=W時取等號，>,max=Y^..⑴若」V3,求)，=2x+l+士的最大值；(2)己知K>0,求y=F+]的最大值.解：(1)因為x<3,所以3—x>0.又因為y=2(x—3)+^^+7=一*X*J2(3—x)+3_丫+7,由均值不等式可得2(3—工)+不二、,故y的最大值W—2^2,—2(3—x)+=2y[2,當且僅當2(3—x)=],故y的最大值W—2^2,—2(3—x)+是7-2審.小Ze2⑵產？TT=]士是7-2審.小Ze2⑵產？TT=]士是7-2審.小Ze2⑵產？TT=]士:因為x>0,所以x+;22、/k=2,所以0<)忘5=1,入人L當且僅當x=L即x=l時，等號成立.故y的最大值為1.[B能力提升].若OVxV：,則尸.“I一4/的最大值為()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.；C1D1J8解析：選C.因為OVxvg,所以1一以2>0,所以N1—4*=，><2r\/1—4/147—|―I—4丫2|\歷5=不當且僅當乂=71—41,即x=4時等號成立，故選C..己知人>0,y>0,且滿足±+?=1,則xy的最大值為,取得最大值時y的值為.解析：因為心>(),)>()且1所以qW3.當且僅當3即犬=2，丁=2時取等號.答案：32.(2020?江蘇徐州期中考試)已知正實數a,b滿足〃+2。=1,則(1+^2+1^)的最小值為.解析：因為(*)(2+*2+評+如2+讓滬=2+焉又1=?+I0|2人22電^,所以即2+亍22+2義8=18,當且僅當。=2"即。=小OCity/時取等號.答案：18.已知。>0,Z?>0,且2a+b=ab.⑴求ab的最小值；⑵求a+2b的最小值.I?解：因為2a+b=ab,所以,+g=L(1)因為4>0,/?>()；

12/2121所以1=工十三22\彳,當且僅當an\]ahab2即〃=2,8=4時取等號；所以他28,即油的最小值為8.(2)“+2b=m+2從鴻)=5+豹羥5+2^95=9,當且僅當§=與，即。=〃=3時取等號；所以〃+2。的最小值為9.11〃.a>b>c,且r+72,求〃的最大值.a-bb~ca-c解：因為。>力“，所以b>0,/?—c>0,a-c>0.]

a-b]

a-bb-ca-cci—ca—c所以〃W有+D(67—Z?)+(Z?—(7)b-c因為〃-C=(4—/?)+(〃-C),(67—Z?)+(Z?—(7)b-c.(a—b')+(Z?—c)所以，W力Ta-b

b-c因為鋁件9fF4=2(2bj+c時取等號).a—bb—c\!(a-b八b—c)所以〃W4,所以〃的最大值是4.[C拓展探究].是否存在正實數a和同時滿足下列條件:①〃+/?=10；②1(x>0,)>0)且x+y的最小值為18,若存在，求出小〃的值；若不存在，說明理由.解：因為^+^=1,