1自動控制原理第3章線性系統的時域分析12第3章線性系統的時域分析3.1引言3.2系統時間響應的性能指標3.3一階系統的時域分析3.4二階系統的時域分析3.5高階系統時域分析法概述3.6控制系統的穩定性分析3.7控制系統穩定誤差的分析及計算3.8MATLAB在本章中的應用233.1引言經典控制理論中常用的工程分析方法有3種：時域分析法（timedomainanalysis）根軌跡法（rootlocusmethod）頻率響應法（frequencyresponsemethod）時域分析法的特點：1).直觀、精確。2).比較煩瑣。時域分析法的物理概念清晰，準確度較高，在已知系統結構和參數并建立了系統的微分方程后，使用時域分析法比較方便。但若用它來設計和校正系統，根據系統性能指標的要求來選定系統的結構和參數，卻存在一定的困難。分析內容：瞬態性能；穩態性能；穩定性34Controlsystemsarerequiredtohavesatisfactorytransientandsteadystateresponses.Thesearecontradictoryrequirements,andthefinaldesignisoftenacompromisebetweenthetwo.Quantitativeperformancemeasuresarerequiredtocarryforwardthedesignprocessandtomakecomparisonsbetweencompetingdesigns.Quantitativeperformancemeasuresoffeedbackcontrolsystemswillenablequantificationofdesignobjectivessothatdesigncanbecarriedoutlogicallyandsystematically(removefuzzinessassociatedwithcustomerrequirements)andenablemeaningfulcomparisonstobemadebetweencompetingdesigns.3.1引言45Thecriteriaforselectionofperformancemeasuresinclude:(1)designobjectivestranslateintosimpledesignrules;(2)easytoanalyse;(3)experimentallymeasurable.Designspecificationsforcontrolsystemsnormallyincludeseveraltimeresponseindicesforaspecified(test)referenceinputaswellasadesiredsteady-stateaccuracy.Thistopicintroducesyoutothetimedomainperformancemeasuresthatarewidelyusedbycontrolpractitioners.3.1引言56Inthefollowingactivities,youwillexploretherelationshipsbetweenthecommonlyusedquantitativeperformancemeasuresoffeedbackcontrolsystemsandthelocationofthesystemtransferfunctionpolesandzerosinthes-plane.Youwilllearnthatasecondordertransferfunctionwithdampingratioξ≈0.7hastheoptimumtransientresponse,whileitsnaturalfrequencyωn

determinesthedurationofthetransients.Itisthereforeverydesirabletoaccomplishsuchatransferfunctionforfeedbackcontrolsystems.3.1引言6103.2系統時間響應的性能指標時域分析法——在時間域內研究系統在典型輸入信號的作用下，其輸出響應隨時間變化規律的方法。根據時域分析法研究系統性能，可以定量描述包括穩定性（Stability）、快速性（Speed）和準確性（Accuracy）等各項性能指標。時域分析法的物理概念清晰，準確度較高，在已知系統結構和參數并建立了系統的微分方程后，使用時域分析法比較方便，從而它也成為控制系統研究中直觀而有效的方法之一。10113.2系統時間響應的性能指標『TermsandConcepts』（1）Timedomain——Themathematicaldomainthatincorporatesthetimeresponseandthedescriptionofasystemintermsoftime.（2）Time-varyingsystem——Asystemforwhichoneormoreparametersmayvarywithtime.11123.2系統時間響應的性能指標1、典型的輸入信號控制系統的響應是由系統本身的結構參數、初始狀態和輸入信號的形式所決定的。為了便于分析和設計，我們提出兩個假定，第一個假定，在輸入信號作用于系統的初始t=0時，系統相對靜止，即為零初始狀態；第二個假定，需要假定一些典型的輸入信號，作為系統的試驗信號。12133.2系統時間響應的性能指標選取這些實驗信號時應考慮以下三個方面：（1）選取的輸入信號的典型性應反映系統工作的大部分情況；（2）選取的輸入信號具有一定代表性，且其數學表達式簡單，以便于數學分析和試驗研究；

（3）應選取能使系統工作在最不利情況下的輸入信號作為典型的實驗輸入信號。選取常用的典型輸入信號有：階躍信號、斜坡（速度）信號、加速度（拋物線）信號、脈沖信號和正弦信號。13143.2系統時間響應的性能指標①階躍信號階躍信號是評價系統動態性能時應用較多的一種典型外作用，例如最經常采用的實驗信號，它可以表示指令的突然轉換、電源的突然接通、設備故障和負荷的突變等。由于階躍信號的頻譜具有很寬的頻帶，通常也作為測試信號，等價于應用無數個頻率范圍很寬的正弦信號。14153.2系統時間響應的性能指標②斜坡信號斜坡信號可以看作是階躍信號的積分，有時又稱為速度信號。斜坡信號的變化要比階躍信號快一個等級，它具有測試系統將如何對隨時間變化的信號做出響應的能力。大型船閘的勻速升降、列車的勻速前進、主拖動系統發出的位置信號等都可以看成斜坡信號。15163.2系統時間響應的性能指標③加速度（拋物線）信號加速度信號可以看作是斜坡信號的積分，有時又稱為拋物線信號。加速度信號的變化要比斜坡快一個等級，在實際中很少發現有必要使用變化比加速度信號更快的測試信號。16173.2系統時間響應的性能指標④脈沖信號（理想）脈沖信號所描述的脈沖信號實際上是無法獲得的，在現實中不存在，只有數學意義，但是它卻是一個重要的數學工具。在工程實踐中，當遠小于被控對象的時間常數時，這種窄脈沖信號就可近似地當成(t)信號。脈沖電壓信號、沖擊力等都可以近似為脈沖信號。17183.2系統時間響應的性能指標⑤正弦信號正弦信號可以求得系統對不同頻率的正弦函數輸入的穩態響應，稱為頻率響應。在實際過程中，交流電源、電磁波和機車設備受到的振動、電源和機械振動的噪聲等都可以近似為正弦信號。18193.2系統時間響應的性能指標（a）（b）（c）（d）（e）（f）

圖3-2-1

典型輸入信號19203.2系統時間響應的性能指標名

稱時域表達式復域表達式單位階躍信號(unitstepsignal)單位斜坡信號(unitrampsignal)單位加速度信號(unitparabolicsignal)單位脈沖信號(unitimpulsesignal)正弦信號(sinusoidalsignal)20213.2系統時間響應的性能指標輸入信號是按時間變化規律來劃分的，也可以是任何不同的物理量，如溫度、電壓、電流、轉角、轉速、壓力等。同時這些測試信號都具有在數學上描述簡單和實驗室容易實現的共同特點。采用哪種典型輸入信號分析系統特性，取決于系統在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。如果系統的輸入信號是突變的量，則應選取階躍信號；如果系統的輸入信號是瞬時沖擊的函數，則選取脈沖信號最為合適；如果系統的輸入信號是隨時間逐漸變化的函數，則應選取斜坡信號。21223.2系統時間響應的性能指標需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統來說，其過渡過程所反應出的系統特性應是統一的。這樣，便有可能在同一基礎上去比較各種控制系統的性能。此外，在選取試驗信號時，除應盡可能簡單，以便于分析處理外，還應選擇那些能使系統工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實驗信號。一般來說，在實際信號的作用下，系統響應特性都能滿足要求。本章主要討論控制系統在階躍函數、斜坡函數、脈沖函數等輸入信號作用下的輸出響應。22233.2系統時間響應的性能指標『ReadingMaterial』Inpractice,actualinputsignaltothecontrolsystemisquitevariedandunpredictable,and/ortoocomplextoanalyse.Whencarryingoutmathematicalanalysisoflinearsystems,wecanconsidertheinputmagnitudetobeunitywithoutanylossofgenerality.Inexperimentalinvestigationofpracticalsystems,however,themagnitudeoftheinputtestsignalshouldbecarefullyselected(dependsontheparticularsystembeingtested).243.2系統時間響應的性能指標『ReadingMaterial』Otherwiseoneormorecomponentsofthesystemmaybeforcedtooperateoutsidetheirlinearrange.Thelinearmodelwillnotbeapplicablethen，andtheoutputofthesystemwilldiffersignificantlyfromthatpredictedbythetransferfunctionanalysis.253.2系統時間響應的性能指標2、單位沖激響應在零初始條件下，當系統的輸入信號是單位沖激函數時，系統的輸出信號稱為系統的單位沖激響應。25263.2系統時間響應的性能指標3、系統的時間響應根據拉氏反變換中的部分分式法可知，有理分式C(s)的每一個極點（分母多項式的根）都對應于c(t)中一個時間響應項，即運動模態，而c(t)就是由C(s)的所有極點所對應的時間響應項（運動模態）的線性組合。極點運動模態實數單極點

m重實數極點

一對復數極點

m重復數極點

26273.2系統時間響應的性能指標通常把傳遞函數極點所對應的運動模態稱為該系統的自由運動模態或振型，或稱為該傳遞函數或微分方程的模態或振型。系統的自由運動模態與輸入信號無關，也與輸出信號的選擇無關。傳遞函數的零點并不形成運動模態，但它們卻影響各模態在響應中所占的比重，因而也影響時間響應及其曲線形狀。27283.2系統時間響應的性能指標時域分析法在時間域內研究系統在典型輸入信號的作用下，其輸出響應隨時間變化規律的方法。對于任何一個穩定的控制系統，輸出響應含有：瞬（暫）態分量——由輸入和初始條件引起的，隨時間的推移而趨向消失的響應部分，它提供了系統在過渡過程中的各項動態性能的信息。與傳遞函數極點對應的時間響應分量穩態分量——過渡過程結束后,系統達到平衡狀態，其輸入輸出間的關系不再變化的響應部分，它反映了系統的穩態性能或誤差。與輸入信號極點對應的時間響應分量28293.2系統時間響應的性能指標根據數學中拉普拉斯變換的微分性質和積分性質可以推導出線性定常系統的重要特性：系統對輸入信號導數的響應，等于系統對該輸入信號響應的導數；系統對輸入信號積分的響應，等于系統對該輸入信號響應的積分，積分常數由零輸出的初始條件確定。可見，一個系統的單位階躍響應、單位沖激響應和單位斜坡響應中，只要知道一個，就可通過微分或積分運算求出另外兩個。29303.2系統時間響應的性能指標Polesarethesetofvaluesofsthatmakethevalueofthetransferfunctioninfinity.Zerosarethesetofvaluesofsthatmakethevalueofthetransferfunctionzero.Thecharacteristicsofpolesandzerosofatransferfunctioncanbedescribedasthefollowing:(1)Polesarethosevaluesofsthatmakethetransferfunctioninfinity.(2)Theequationobtainedbyequatingdenominatorofthetransferfunctiontozeroisreferredtoasthecharacteristicequation.30313.2系統時間響應的性能指標(3)Polesaretherootsofthecharacteristicequation.(4)Zerosarethosevaluesofsthatmakethetransferfunctionzero.(5)Zerosaretherootsoftheequationobtainedbyequatingthenumeratorofthetransferfunctiontozero.(6)Polesplaymuchmoreimportantrolethanzerosindeterminingthesystemdynamics.31323.2系統時間響應的性能指標例題一單位反饋控制系統的開環傳遞函數為求（1）輸入量r(t)=t時，系統的輸出響應；（2）輸入量r(t)=(t)時，系統的輸出響應。32333.2系統時間響應的性能指標4、動態響應和穩態響應時間響應——系統在輸入信號的作用下，其輸出隨時間變化的過程。對于任何一個穩定的控制系統，輸出響應含有瞬態響應和穩態響應。瞬態響應（過渡過程或動態響應）穩態響應（穩態過程）33343.2系統時間響應的性能指標(1)瞬態過程——指系統在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程，由于實際系統具有慣性、摩擦以及其它原因，系統輸出量不可能完全復現輸入量的變化。根據系統結構和參數選擇情況，動態過程表現為衰減、發散或等幅震蕩形式。一個可以實際運行的控制系統，其動態過程必須是衰減的，換句話說，系統必須是穩定的，動態響應提供系統穩定性的信息外，還可以提供響應速度及阻尼情況等信息。這些信息用動態性能描述。34353.2系統時間響應的性能指標(2)穩態響應——指系統在典型輸入信號作用下，當時間t時，系統輸出量的表現方式。它表征系統輸出量最終復現輸入量的程度（跟蹤），提供系統有關穩態誤差的信息。從理論上講，只有時間趨于無窮大時才進入穩態過程，但這在工程應用中是無法實現的，因此在工程中只討論典型輸入信號加入后一段時間里的動態過程，在這段時間里反映了系統主要的動態性能指標。而在這段時間之后，認為系統進入了穩態過程。35363.2系統時間響應的性能指標Thetimeresponseofacontrolsystemisusuallydividedintotwoparts:transientresponseandsteady-stateresponse.Ifatimeresponseisdenotedbyc(t),thenthetransientresponseandsteady-stateresponsemaybedenotedbyct(t)andcss(t).Thesteady-stateresponseissimplythefixedresponsewhentimereachesinfinity,i.e.,Therefore,asinewaveisconsideredassteady-stateresponsebecauseitsbehaviorisfixedastimeapproachesinfinity.36373.2系統時間響應的性能指標Transientresponseisdefinedasthepartoftheresponsethatgoestozerosastimebecomeslarge.Therefore,hasthepropertyofThetransientresponseofacontrolsystemisofimportance,sinceitisapartofthedynamicbehaviorofthesystem;andthedifferencebetweentheresponseandtheinputorthedesiredresponse,beforethesteadystateisreached,mustbecloselywatched.Ifthesteady-stateresponseoftheoutputdoesnotagreewiththesteadystateofthereferenceexactly,thesystemissaidtohaveasteady-stateerror.37385、瞬態性能指標與穩態性能指標（1）瞬態性能指標——穩定的系統在單位階躍信號作用下，瞬態過程隨時間的變化狀況的指標。a）上升時間；b）峰值時間；c）最大超調（量）

d）調節時間e）振蕩次數N3.2系統時間響應的性能指標3839例題：設某高階系統可用一階微分方程近似描述：試求系統的動態性能指標。3.2系統時間響應的性能指標3940這些指標描述了瞬態響應過程，反映了系統的動態性能。其中，上升時間、峰值時間均表征系統響應初始階段的快速性；調節時間表示系統過渡過程的持續時間，從總體上反映了系統的快速性；最大超調量反映了系統動態過程的平穩性，即用超調量表示實際響應與期望響應的接近程度。由控制系統本身的特性決定，這些要素通常是相互矛盾的，因而必須做出折中的選擇。3.2系統時間響應的性能指標40413.2系統時間響應的性能指標『TermsandConcepts』

Testinputsignal:Aninputsignalusedasastandardtestofasystem’sabilitytorespondadequately.Performanceindex:Aquantitativemeasureoftheperformanceofasystem.Overshoot:Theamountbywhichthesystemoutputresponseprocessedbeyondthedesiredresponse.Peaktime:Thetimeforasystemtorespondtoastepinputandrisetoapeakresponse.

inputamplitude.423.2系統時間響應的性能指標『TermsandConcepts』

Risetime:Thetimeforasystemtorespondtoastepinputandattainaresponseequaltoapercentageofthemagnitudeoftheinput.Settingtime:Thetimerequiredforthesystemoutputtosettlewithinacertainpercentageoftheinputamplitude.43（2）穩態性能指標——當響應時間大于調節時間時，系統進入穩態過程，描述系統穩態性能的一種性能指標。穩態誤差是控制系統精度和抗干擾能力的一種度量，反映控制系統復現或跟蹤輸入信號的能力。3.2系統時間響應的性能指標43443.3一階系統的時域分析用一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統。一階系統在控制工程中應用廣泛，一些控制部件及簡單系統，如RC網絡、發電機、空氣加熱器、液面控制系統等都可用一階系統來描述。有些高階系統的特征，常可用一階系統的特征來近似表征。Theorderofasystemisdefinedasthedegreeofitscharacteristicpolynomial.Afirst-ordersystemisrepresentedbyafirst-orderdifferentialequation.44453.3一階系統的時域分析1、一階系統的數學模型和結構圖用一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統。有些高階系統的特征，常可用一階系統的特征來近似表征。T表征系統慣性重要的特征參數，反映了系統過渡過程的品質。T越小，則系統響應越快。45463.3一階系統的時域分析2、一階系統的單位階躍響應(a)輸出量的初始值為零，而終值將變為1。(b)Css成為穩態分量，它的變化規律由輸入信號的形式決定。

Ctt稱為暫態分量。穩定的，無振蕩。(c)該響應曲線的一個重要特征是當t=T時，c(t)的數值等于0.632，即響應達到了其總變化的63.2%。(d)該響應曲線時間常數T越小，系統的響應越快。46473.3一階系統的時域分析(1)調整時間時間常數T反映了系統的響應速度，T越小，輸出響應上升越快，響應過程的快速性也越好。經過時間3T～4T，響應曲線已達穩態值的95%～98％，可以認為其調整時間已經完成，故一般取調整時間ts=(3～4)T。用實驗的方法測出響應曲線達到63.2%高度點所用的時間，就是系統的時間常數T。47483.3一階系統的時域分析(2)調整時間%一階系統的單位階躍響應為非周期響應，故系統無振蕩、無超調，%=0（3）穩態誤差ess終值為1，因而系統在階躍輸入時穩態誤差為零。48493.3一階系統的時域分析3、一階系統的單位脈沖響應單位脈沖響應在t=0時等于

1/T，它與單位階躍響應在t=0時的變化率相等。單位脈沖響應是單位階躍響應的導數，而單位階躍響應就是單位脈沖響應的積分。這個結果進一步說明了單位階躍信號作為典型輸入信號的重要性和代表性。49503.3一階系統的時域分析4、一階系統的單位斜坡響應從提高斜坡響應的精度來看，時間常數T越小，響應速度越快，跟蹤誤差越小，輸出信號滯后于輸入信號的時間也越短。同樣，單位斜坡響應就是單位階躍響應的積分。50513.3一階系統的時域分析5、一階系統的單位加速度響應對于一階系統來說，不能實現對加速度輸入信號的跟蹤。51523.3一階系統的時域分析比較上述，脈沖響應、階躍響應、斜坡響應之間也存在同樣的對應關系。這表明，系統對某種輸入信號導數的響應，等于對該輸入信號響應的導數。反之，系統對某種輸入信號積分的響應，等于系統對該輸入信號響應的積分。這是線性定常系統的一個重要特征，它不僅適用于一階線性定常系統，也適用于高階線性定常系統。例題3-3-152533.3一階系統的時域分析例題已知某單位反饋系統的單位階躍響應為求(1)單位脈沖響應；(2)閉環傳遞函數；(3)開環傳遞函數。53543.4二階系統的時域分析如果運動方程為二階微分方程，或者特征方程s的最高階次為2次，則該系統為二階系統。例如RLC網絡、機械平移系統和位置隨動系統。從物理上講，二階系統總包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間交換，從而引起系統具有往復的振蕩趨勢。當阻尼不夠充分大時，系統呈現出振蕩的特性，這樣的二階系統也稱為二階振蕩環節。Thesecond-ordersystemisdescribedbysecond-orderdifferentialequations.Second-ordersystemsareimportantbecausetheirbehaviorisverydifferentfromfirst-ordersystemsandmayexhibitfeaturesuchasoscillatoryresponse,orovershoot.Moreover,theiranalysisgenerallyishelpfultoformbasisfortheunderstandingofanalysisanddesigntechniques.

54553.4二階系統的時域分析RLC網絡運動方程為

稱為無阻尼振蕩頻率或自然頻率，屬于閉環系統的固有頻率稱為二階系統的阻尼比或相對阻尼系數，量綱為1。55563.4二階系統的時域分析二階系統的特征方程二階系統的動態特性取決于和n這兩個參數。其中根據阻尼比取值，這兩個極點可以是實數或者一對共軛復數，即其特征根和瞬態相應也有很大的差異。56Criticaldamping:Thecasewheredampingisontheboundarybetweenunderdampingandoverdamping.Dampratio:Ameasureofdamping.Adimensionlessnumberforthesecond-ordercharacteristicequation.573.4二階系統的時域分析1、二階系統的單位階躍響應（1）無阻尼=0表明系統在無阻尼時，響應是一個純正弦信號，電路中將發生不衰減地電磁振蕩現象，振蕩頻率為n。57583.4二階系統的時域分析（2）欠阻尼0<<15859第二項為瞬態響應分量，是一個幅值按指數規律衰減的阻尼正弦振蕩，振蕩頻率為d，而d正好由極點的虛部給出，衰減速度則由常數決定，由極點的實部給出。3.4二階系統的時域分析59603.4二階系統的時域分析（3）臨界阻尼=16061臨界阻尼二階系統的單位階躍響應有穩態響應分量和瞬態響應分量組成，等式右邊第一項為穩態響應分量1，第二項為瞬態響應分量，是一個衰減的過程。，故稱為相對阻尼系數或阻尼比。3.4二階系統的時域分析61623.4二階系統的時域分析（4）過阻尼>16263過阻尼二階系統的單位階躍響應有穩態響應分量和瞬態響應分量組成，等式右邊第一項為穩態響應分量1，第二項為瞬態響應分量，是兩個指數衰減過程的疊加，因而瞬態響應是單調的衰減過程。3.4二階系統的時域分析63643.4二階系統的時域分析2、欠阻尼二階系統的動態性能分析在實際工程控制中，除了一些不允許產生振蕩的系統之外，通常希望系統的響應過程在具有適當的振蕩特性情況下，能有較短的調整時間和較高的響應速度。在設計二階系統時，一般取=0.40.8，即系統工作在欠阻尼狀態下。小（<0.4）的會造成系統瞬態響應的嚴重超調，而大的（>0.8）會使系統的響應變得緩慢。64653.4二階系統的時域分析假設系統為欠阻尼系統，即0<<1，此時系統的單位階躍響應為為共軛復數對負實軸的張角，稱為阻尼角或滯后角，響應特性完全由和n這兩個特征參量決定。65663.4二階系統的時域分析二階欠阻尼系統極點的兩種表示：直角坐標表示：“極”坐標表示：66673.4二階系統的時域分析（1）上升時間tr根據上升時間的定義，令c(tr)=1，可得到當阻尼比一定時，阻尼角不變，系統的響應速度與n成反比。在d一定時，阻尼比越小，上升時間就越短。67683.4二階系統的時域分析（2）峰值時間tp根據定義對系統的單位階躍響應求導，并令該導數為零，峰值時間tp等于阻尼振蕩周期的一半。同時峰值時間與阻尼振蕩頻率d成反比，當阻尼比一定時，d越大，tp越短，響應速度越快。當n一定時，阻尼比越小，tp越短，響應速度也越快。68693.4二階系統的時域分析（3）最大超調量%——在響應過程中，輸出量c(t)

超出其穩態值的最大差量與穩態值之比。超調量發生在峰值時刻超調量%僅由阻尼比來決定，而與自然頻率n無關。阻尼比越大，超調量越小，平穩性越好。通常=0.40.8

，則%=25.4%1.5%。在這樣的條件下，系統的總體性能良好。圖3-4-2和表3-4-2。69703.4二階系統的時域分析（4）調整時間ts——響應曲線到達并停留在穩態值的5%(或2%)誤差范圍內所需的最小時間稱為調節時間（或過渡過程時間）。70713.4二階系統的時域分析由公式可知，調整時間與系統的阻尼比和自然頻率的乘積成反比。通常阻尼比是根據最大允許超調量的要求來決定的，也就是說，在不改變最大允許超調量的前提下，通常通過調整自然頻率就可以改變瞬時響應的持續時間。71723.4二階系統的時域分析（5）振蕩次數N——表示在調節時間內，系統響應的振動次數，用數學公式表示為：振蕩次數N取整數，只與阻尼比有關。72733.4二階系統的時域分析（6）穩態誤差欠阻尼系統在階躍信號作用下的穩態誤差恒為零。綜上所述，阻尼比和無阻尼自振頻率n是二階系統兩個重要特征參數，它們對系統的性能具有決定性的影響。73743.4二階系統的時域分析當保持不變時，提高n可使tr、

tp、ts下降，從而提高系統的快速性，同時保持%和N不變。當保持n不變時，增大可使%和ts下降，但使tp和tr上升，顯然在系統的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統具有滿意的動態性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通常可根據系統對超調量的限制要求選定，然后再根據其它要求來確定n。工程上常取=0.707作為設計依據，稱之為二階工程最佳。此時，超調量為4.3%，調節時間最短（5%的誤差標準）。74753.4二階系統的時域分析例題3系統結構圖如圖，試求：（1）當k=10時系統的動態性能；（2）使系統阻尼比=0.707的k值；例題3-4-1、3-4-2（1）當k=10時，75763.4二階系統的時域分析（1）當k=10時，76773.4二階系統的時域分析（2）當=0.707時，77783.4二階系統的時域分析例題4某典型欠阻尼二階系統要求試確定系統極點的允許范圍78793.4二階系統的時域分析例題5系統結構圖如圖，r(t)=1(t)的響應為c(t)，試求：K1、K2、a。79803.4二階系統的時域分析由題意可知，80813.4二階系統的時域分析81823.4二階系統的時域分析系統極點分布：82833.4二階系統的時域分析欠阻尼二階系統動態性能計算復習：⑴極點的表示方法：⑵動態性能計算公式：83843.4二階系統的時域分析系統中負實零點對系統響應的作用具有一個負實零點的規范二階系統為84853.4二階系統的時域分析階躍響應為典型二階系統的階躍響應與脈沖響應之和。響應曲線是單位階躍響應曲線與脈沖響應曲線疊加組成。負實零點對系統響應的作用：（1）僅在過渡過程開始階段有較大影響（2）負實零點使系統響應速度加快（tr和tp減小）（3）系統的超調量略有增大（4）負實零點越接近虛軸，作用越強85863.4二階系統的時域分析系統中極點對系統響應的作用系統增加一個極點，將升高系統的階次，實質上，就是在信號傳遞線路上增加了一個慣性環節。這是典型三階系統。相對典型二階系統而言，該極點對系統的作用：（1）使系統響應速度減慢（2）減小超調量（3）越接近虛軸（T0較大），作用越強86873.4二階系統的時域分析例題已知系統的兩種控制方案如圖所示，其中T>0不可改變，要求說明：（1）在兩種方案中，參數K1，K2和K3如何影響系統的動態性能？（2）比較兩種結構方案的特點。87883.4二階系統的時域分析88893.4二階系統的時域分析(1)比較兩方案的閉環傳遞函數和誤差傳遞函數，有結論：

調整自然頻率，并改變響應速度輸入的穩態誤差

調整阻尼比，并改變響應速度輸入的穩態誤差采用(b)時，調整負實零點（2）方案(b)具有負實零點有利于改善系統的動態特性，且響應速度輸入的穩態誤差比方案(a)的誤差小89903.5高階系統時域分析法概述將三階及三階以上的系統，通常稱為高階系統。在控制工程中，大多數控制系統都是高階系統。從理論上講，高階系統也可以直接由傳遞函數求出它的時域響應，然后按上述二階系統的分析方法來確定系統的瞬態性能指標。但是，高階系統的分布計算比較困難，同時，在過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。在工程應用中，常抓住主要因素分析系統，常常將高階系統近似成低階系統處理。下面僅對高階系統時間響應進行簡單的定性分析。90913.5高階系統時域分析法概述高階系統具有的傳遞函數91923.5高階系統時域分析法概述一般的高階系統的動態響應是由穩定值、一些一階慣性環節和二階振蕩環節的響應函數疊加組成的。當所有極點均具有負實數時，除了常數a，其他各項隨著時間t而衰減為零，即系統是穩定的。9294某些高階系統通過合理的簡化，可用低階系統近似，以下兩種情況可以作為簡化的依據：(1)由上式可見，系統極點的負實部愈是遠離虛軸，該極點對應的項在動態響應中衰減得愈快；反之，距虛軸最近的閉環極點對應著動態響應中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對動態響應起到主導作用，稱之為“主導極點”。（高階系統的瞬態特性主要由系統傳遞函數中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定）。3.5高階系統時域分析法概述9495一般工程上當極點A距離虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析系統時可忽略極點A。忽略作用較小的模型，高階系統就可以用較低階次的系統近似。

高階系統的主導極點常常是共軛復數極點，因此高階系統可以常用主導極點構成的二階系統來近似。相應的性能指標可按二階系統的各項指標來估計。在設計高階系統時，常利用主導極點的概念來選擇系統參數，使系統具有預期的一對共軛復數主導極點，這樣，就可以近似的用二階系統的性能指標來設計系統。3.5高階系統時域分析法概述9596高階系統能夠用不具有零點的二階系統近似的條件：有一對距離（d）虛軸最近的共軛復數極點，且附近無閉環零點，其余的零點和極點遠離（>5d）虛軸或零極點幾乎相消，則高階系統的時域性能指標可以用典型二階系統的計算公式近似計算。(2)閉環傳遞函數中，如果負實部的零、極點在數值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為“偶極子相消”。3.5高階系統時域分析法概述9697(2)閉環傳遞函數中，如果負實部的零、極點在數值上相近（靠近），則可將該零點和極點一起消掉，稱之為“偶極子相消”。3.5高階系統時域分析法概述9798高階系統時間響應可分為穩態分量和瞬態分量，以下結論：(1)瞬態分量的各個運動模態衰減的快慢取決于對應的極點和虛軸的距離，離虛軸越遠的極點對應的運動模態衰減得越快。(2)各模態所對應的系數和初相角取決于零、極點的分布。（各衰減項的系數不僅與相應的極點在S平面中的位置有關，而且還與零點的位置有關）若某一極點越靠近零點，且遠離其他極點和原點，則相應的系數越小，對系統過渡過程的影響就越小。3.5高階系統時域分析法概述9899若一對零極點相距很近，該極點對應的系數就非常小，這對零極點對系統過渡過程的影響也將很小。若某一極點遠離零點，它越靠近原點或其他極點，則相應的系數越大。(3)系統的零點和極點共同決定了系統響應曲線的形狀。(4)對系統響應起主要作用的極點稱為主導極點。(5)非零初始條件時的響應由零初始條件時的響應和零輸入響應組成。3.5高階系統時域分析法概述99100因為典型二階系統參數的不同取值，包含了閉環極點的所有可能分布，所以它可以表征任何一個高階系統的暫態過程和穩定性。對于高階系統的分析，是以二階系統為基礎的，正確理解主導極點和偶子的概念，對高階系統的暫態性能進行近似分析。結論：極點離虛軸越近對系統暫態響應影響越大，離虛軸越遠影響越小；零點靠近哪個極點，就把哪個極點的影響減弱。3.5高階系統時域分析法概述1001013.5高階系統時域分析法概述『ReadingMaterial』Undercertaincircumstances,ahigherordertransferfunctionmaybeapproximatedtoalowerordertransferfunction.Thisapproximationisbasedontheconceptofdominantpoles.Wewillusenumericalexamplestoillustratethisconcept.1023.5高階系統時域分析法概述Firstly,bymappingthepolesandzerosofthesystemtransferfunctioninthecomplex-plane,wecandrawusefulconclusionsaboutthetransientbehaviorofadynamicsystem.Eachnegativerealpoleofthetransferfunctionwillcontributeanexponentiallydecayingtransientterm.Ifanypositiverealpoleispresent,itgivesrisetoanexponentiallyincreasingtermtherebyrenderingthesystemunstable.Complexpoles,ifpresent,alwaysoccurinconjugatepairs.Eachcomplexpolepairgivesrisetoanexponentiallydecayingsinusoidalwaveformiftherealpartofthepolesisnegative.1033.5高階系統時域分析法概述Anexponentiallyincreasingsinusoidalwaveformwouldresultiftherealpartofthecomplexpolepairispositive(unstableresponse).Whetheraparticularhighordertransferfunctioncanbeapproximatedornotbyalowerordertransferfunctiondependsonthepole-zerodistributioninthes-plane.1043.5高階系統時域分析法概述Ifasinglenegativerealpoleisdistinctlyclosertotheimaginaryaxis,andallotherpolesandzerosareatleastsixtimesfurtherawayintothenegativehalfofthes-plane,thenthesystemcanbeapproximatedbya1stordertransferfunctionhavingtheabovenearestpoleasitspole.Ifinsteadofarealpole,apairofcomplexpolesaredistinctlyneartheimaginaryaxis,thenthesystemcanbeapproximatedbyasecondordertransferfunction(complextimelag)havingtheabovetwocomplexpolesasitspoles.Ifapoleofatransferfunctionisverynearazeroofthesametransferfunction,thentheycanceloneanother.Theycanbedisregardinanalysingthetransientresponse.105在控制系統的分析研究中，最重要的問題是系統的穩定性問題，它是保證系統能夠正常運行的首要條件。控制系統在實際運行中，總會受到外界或內部的一些因素擾動，例如負載和能源的波動、系統參數的變化、環境條件的改變等，都會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態，并隨時間的推移而發散。因此，不穩定的系統是無法正常工作的。如何分析系統的穩定性并提出保證系統穩定的措施，就成了自動控制理論的基本任務之一。在這一節中將討論穩定性的定義，穩定的充要條件及判別穩定性的基本方法。3.6控制系統的穩定性分析105106Whentheanalysisanddesignofcontrolsystemsareconsidered,stabilityisofutmostimportance.Formapracticalpointofviewanunstablesystemisoflittlevalue.Inpracticaloperation,almostallcontrolsystemsaresubjecttoextraneousorinherentdisturbances,suchasfluctuationofloadorpowersource,variationofsystemparametersorcircumstance.Manyphysicalsystemsareinherentlyopenloopunstable.Introducingfeedbackisusefultostabilizetheunstableplantandthenadjustthetransientperformancewithanappropriatecontroller.Foropen-loopstableplantsfeedbackisstillusedtoimprovethesystemperformance.3.6控制系統的穩定性分析106107(1)Whenconsideringthedesignandanalysisoffeedbackcontrolsystem,stabilityisofutmostimportant.(2)Astablesystemisdefinedasasystemwithabounded(limited)systemresponse.Or:Astablesystemisadynamicsystemwithaboundedresponseandtoaboundedinput(BIBO).(3)Theconceptofstabilitycanbeillustratedbyconsideringarightcircularconeplacedonaplanehorizontalsurface.

(4)Thelocationinthes-planeofthepolesofasystemindicatestheresultingtransientresponse.3.6控制系統的穩定性分析1071081、穩定的基本概念和穩定的充分必要條件（1）穩定的基本概念若線性控制系統在初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統漸近穩定，簡稱穩定；反之，若在初始擾動的影響下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統不穩定。3.6控制系統的穩定性分析108109（2）線性系統穩定的充要條件線性系統的穩定性是系統在外界擾動消失后，自身具有的一種恢復能力，也就是說系統的穩定性取決于系統自身的固有特性，即系統的結構和參數，而與外界條件（輸入信號）無關。設線性定常系統在初始條件為零時，輸入一個理想單位脈沖(t)，這相當于系統在零平衡狀態下，受到一個外界擾動信號的作用下，如果t時，系統的輸出響應c(t)收斂到原來的零平衡狀態，則稱該系統是穩定的。3.6控制系統的穩定性分析1091103.6控制系統的穩定性分析『TermsandConcepts』Inamathematicalmanner,thedefinitionofstabilitymaybestated:Ifthezero-inputofthelineartime-invariantsystem,subjecttononzeroinitialcondition,approacheszerosastimeapproachesinfinity,i.e.,thenthesystemissaidtobestable;otherwisethesystemisunstable.111設系統的閉環傳遞函數為3.6控制系統的穩定性分析111112（1）當系統特征方程的根都具有負實部時，則各瞬態分量都是衰減的，且有

，此時系統是穩定的。穩定的系統，單位沖激響應及輸出信號中的瞬態分量都趨于零。（2）如果特征根中有一個或一個以上具有正實部，則該根對應的瞬態分量是發散的，此時有

，系統是不穩定的。實際物理系統不穩定時，變量往往形成大幅值的等幅振蕩，或趨于最大值。3.6控制系統的穩定性分析112113（3）如果特征根中具有一個或一個以上的零實部根，而其余的特征根具有負實部，則c(t)趨于常數或作等幅振蕩，這時系統處于穩定和不穩定的臨界狀態，常稱之為臨界穩定狀態（不屬于漸近穩定）。對于大多數實際系統，當它處于臨界狀態時，也是不能正常工作的，所以臨界穩定的系統在工程上屬于不穩定系統。在經典控制理論中，只有漸近穩定的系統才稱為穩定系統，否則稱為不穩定系統。3.6控制系統的穩定性分析113114線性定常系統穩定的充分必要條件是閉環系統特征方程的所有根都具有負實部，或者說閉環傳遞函數的所有極點均位于為

平面的左半部分（不包括虛軸）。Anecessaryandsufficientconditionforafeedbacksystemtobestaleisthatallthepolesofthesystemtransferfunctionhavenegativerealparts.3.6控制系統的穩定性分析1141153.6控制系統的穩定性分析1151162、代數穩定判據為了判別系統的穩定性，就要求出系統特征方程的根，并檢驗它們是否都具有負實部。但是，這種求解系統特征方程的方法，對低階系統尚可以進行，而對高階系統的求解就很繁瑣。因此，尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統穩定性的間接代數方法，稱為代數穩定判據，主要有勞斯穩定判據和赫爾維茲判據。3.6控制系統的穩定性分析116117EdwardRouthFromWikipedia,thefreeencyclopediaEdwardJohnRouth

FRS

(/ra?θ/;20January1831–7June1907),wasanEnglish

mathematician,notedastheoutstandingcoachofstudentspreparingforthe

MathematicalTripos

examinationofthe

UniversityofCambridge

initsheydayinthemiddleofthenineteenthcentury.Healsodidmuchtosystematisethemathematicaltheoryof

mechanics

andcreatedseveralideascriticaltothedevelopmentofmodern

controlsystemstheory.1183.6控制系統的穩定性分析『TermsandConcepts』Routh-HurwitzStabilityCriterionwillenableustofindoutwhetherafeedbackcontrolsystemisstableornotfromitsCharacteristicfunction,,withouthavingtoactuallyfactoriesthecharacteristicfunction.Routh-Hurwitzmethodisbasedonorderingthecoefficientsofthecharacteristicequationintoanarrayasfollows.1193.6控制系統的穩定性分析WhenweconstructRouth’sArray,fourdistinctcasesarise:Case1:NoelementsofthefirstcolumniszeroCase2:Zerointhe1stcolumnwhilesomeotherelementsoftherowcontainingthezeroarenonzero.Case3:Zerointhe1stcolumnandotherelementsoftherowcontainingthezeroarealsozero.Case4:Characteristicequationhasrepeatedrootsonthejωaxis.120（1）勞斯穩定判據(Routh’sstabilitycriterion)利用特征方程的各項系數進行代數運算，得出全部特征根具有負實部的條件，以此作為判別系統是否穩定的依據。系統穩定的必要條件是其特征方程的各項系數均為正，根據必要條件，在判據系統的穩定性時，可事先檢查系統特征方程的系數是否都大于零，若有任何系數是負數或等于等，則系統是不穩定的。穩定的充分條件是：勞斯陣列的第一列元素均大于零，則系統穩定。方程中實部為正數的根的個數是第一列元素符號改變次數。3.6控制系統的穩定性分析120121將系統特征方程各項系數組成勞斯陣表（書表3-6-1）。3.6控制系統的穩定性分析121122線性系統穩定的勞斯判據可歸結為：(1)勞斯列表第一列所有系數均不為零的情況如果勞斯列表中第一列的系數都具有相同的符號，則系統是穩定的，否則系統是不穩定的。勞斯表中第一列系數符號改變的次數等于該特征方程式的根在s右半平面的個數，即不穩定根的個數等于勞斯表中第一列系數符號改變的次數。例題3-6-1、3-6-23.6控制系統的穩定性分析122123（2）勞斯表某行的第一列系數等于零，而其余各項不全為零的情況解決的辦法是用一個很小的正數代替第一列的零項，然后按照通常方法計算勞斯表中的其余項。而勞斯陣列中第一列系數的變號次數不依賴于

。例題3-6-33.6控制系統的穩定性分析123124解：勞斯表變號兩次，有兩個正根，

實際上例題判定右半s平面中閉環根的個數3.6控制系統的穩定性分析124125(3)勞斯表某行所有系數均為零的情況如果勞斯表中某一行（如第K行）各項為零，這說明在s平面內存在以原點為對稱的特征根。解決方法：(a)利用第K-1行的系數構成輔助方程，使輔助方程A(s)=0。(b)求輔助方程對s的導數，將其系數代替原全部為零的第K行，繼續計算勞斯列陣。輔助方程給出了特征方程中成對根對稱分布在s平面內的位置及數目，特征方程中以原點為對稱的根可由輔助方程求得。例題3-6-43.6控制系統的穩定性分析125126例題，試求系統在右半s平面的根數及虛根值。解：勞斯表3.6控制系統的穩定性分析126127（1）右半s平面無根（2）虛根值：由輔助方程

（3）由D(s)系數看，偶次項系數和=奇次項系數和，

所以s=-1是根3.6控制系統的穩定性分析127128運用勞斯判據，不僅可以判定系統是否穩定，還可以用來分析系統參數的變化對穩定性產生的影響，從而給出使系統穩定的參數范圍。例題3-6-5。在系統的分析中，勞斯判據可以根據系統特征方程的系數來確定系統的穩定性，同時還能確定反饋系統穩定時開環增益或某些參數的取值范圍。但是，它的應用也具有一定的局限性，通常它只能提供系統絕對穩定性的結論，它并不能指出系統是否具有滿意的動態過程，同時也不能提供改善系統穩定性的方法和途徑。3.6控制系統的穩定性分析128

例3-5-3已知系統的特征方程為

判斷穩定性并根據輔助方程求特征根。

解勞思表為第一列元素符號改變一次，有一個正實部根，可根據輔助方程例題

已知系統框圖，確定使系統穩定的K的取值范圍。解閉環傳遞函數和特征方程為【例題】

如圖所示的調速系統方框圖中，已知Ks=40,Keφ=0.12V/(r/min),Tm=0.1s,Td=0.02s,τ0=5ms=0.005s,α=0.01V/(r/min)，比例調節器的增益Kk為待定量。求該系統的穩定條件。題圖具有轉速負反饋的晶閘管直流調速系統方框圖解

由圖可得此系統的閉環傳遞函數為式中，K=KkKsα/(Keφ)。由式可得該系統的特征方程（此為三階系統）：TmTdτ0s3+(TmTd+Tmτ0)s2+(Tm+τ0)s+(1+K)=0上式可寫成:

a3s3+a2s2+a1s+a0=0

式中:

K為系統開環放大倍數134例題系統如右，確定使系統穩定的，K范圍3.6控制系統的穩定性分析解：系統開環增益134135例題已知某單位負反饋系統，其開環零極點如下圖示，問：閉環系統是否可以穩定？確定K的范圍。解：依題，系統結構圖為并且有列勞斯表3.6控制系統的穩定性分析135136①系統穩定性是其自身的屬性，與輸入類型、形式無關。②閉環穩定與否，只取決于閉環極點，與閉環零點無關。③閉環系統的穩定性與開環系統穩定與否無直接關系。3.6控制系統的穩定性分析1361373.6控制系統的穩定性分析『TermsandConcepts』Routh-Hurwi