第4節指數函數考點專項突破知識鏈條完善考題專項突破2.如圖是指數函數(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數a,b,c,d與1之間的大小關系如何?你能得到什么規律?提示:圖中直線x=1與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數的值,即c1>d1>1>a1>b1,所以c>d>1>a>b.一般規律:在y軸右(左)側圖象越高(低),其底數越大.3.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)在其定義域上單調性如何?提示:當0<a<1時,y=ax在R上單調遞減;當a>1時,y=ax在R上單調遞增.知識梳理1.根式xn=a2.有理數指數冪3.無理數指數冪無理數指數冪aα(a>0,α是無理數)是一個確定的實數.有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪.4.指數函數的概念、圖象與性質(0,+∞)y=11.指數函數圖象的對稱規律函數y=ax的圖象與y=a-x的圖象關于y軸對稱,y=ax的圖象與y=-ax的圖象關于x軸對稱,y=ax的圖象與y=-a-x的圖象關于坐標原點對稱.2.對于函數y=af(x)(a>0,且a≠1),由于指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的定義域是R,因此滿足f(x)有意義的自變量x的取值范圍是函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域.設u=f(x),求出函數u=f(x)的值域E,則函數y=au(u∈E)的值域是函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.3.形如a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式,常借助換元法轉化為二次方程或不等式求解,但應注意換元后“新元”的范圍.對點自測C2.(2016·沈陽模擬)函數y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點的坐標為(

)(A)(2,2) (B)(2,4) (C)(1,2) (D)(1,3)D解析:因為a0=1,所以令x-1=0,所以ax-1+2=3,所以函數y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點的坐標為(1,3).B4.導學號16452048函數y=2-|x|的單調遞增區間是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,0)(C)(0,+∞) (D)不存在B解析:函數y=2-|x|的大致圖象如圖所示.由圖象可知其遞增區間為(-∞,0).選B.答案:②

指數冪的運算考點一【例1】求值與化簡:(2)·

.反思歸納

指數冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數運算.(2)先乘除后加減,負指數冪化成正指數冪的倒數.(3)底數是負數,先確定符號;底數是小數,先化成分數;底數是帶分數的,先化成假分數.(4)若是根式,應化為分數指數冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數冪的運算性質來解答.提醒:運算結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.

指數函數的圖象及應用考點二【例2】

(1)(2016深圳模擬)若函數y=ax+b的部分圖象如圖所示,則(

)(A)0<a<1,-1<b<0 (B)0<a<1,0<b<1(C)a>1,0<b<1 (D)a>1,-1<b<0解析:(1)由圖象可以看出,函數為減函數,故0<a<1,因為函數y=ax的圖象過定點(0,1),函數y=ax+b的圖象過定點(0,1+b),由圖象知0<1+b<1,所以-1<b<0,故選A.(2)已知關于x的方程|2x-1|=k,則下列說法錯誤的是(

)(A)當k>1時,方程的解的個數為1個(B)當k=0時,方程的解的個數為1個(C)當0<k<1時,方程的解的個數為2個(D)當k=1時,方程的解的個數為2個反思歸納

指數函數圖象可解決的兩類熱點問題及思路(1)求解指數型函數的圖象與性質問題對指數型函數的圖象與性質問題(單調性、最值、大小比較、零點等)的求解常利用相應指數函數的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象,然后數形結合使問題得解.(2)求解指數型方程、不等式問題含參數的指數型方程、不等式問題的求解,常利用相應指數型函數圖象數形結合求解.【拓展訓練】(1)若函數f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b均為常數,則下列結論正確的是(

)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:(1)由函數圖象知0<a<1,又當x=0時,a-b<1,即a-b<a0,所以-b>0,即b<0,選D.答案:(1)D(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是

..

解析:(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示,由圖象可得:如果|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b應滿足的條件是b∈[-1,1].答案:(2)[-1,1]指數函數性質及應用考點三考查角度1:利用指數函數性質比較大小【例3】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.3,則(

)(A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)b>c>a解析:由y=0.4x在R上是減函數知0.40.2>0.40.3,此時b>c.又a=20.2>20=1,且0.40.2<1知a>b,綜上可知a>b>c,故選A.反思歸納

(1)能化成同底數的先化成同底數冪再利用單調性比較大小;(2)不能化成同底數的,一般引入“1”等中間量比較大小.考查角度2:簡單的指數方程或不等式答案:(-∞,-1]∪[4,+∞)反思歸納

簡單的指數方程或不等式的求解問題.解決此類問題應利用指數函數的單調性,要特別注意底數a的取值范圍,并在必要時進行分類討論.考查角度3:利用指數函數單調性求值域【例5】

(2015·山東卷)已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.

反思歸納

由于指數函數在R上是單調函數,因此涉及指數函數的值域問題,常借助其單調性求解,當底數不確定時要分類討論.考查角度4:含參數的指數函數問題【例6】若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)反思歸納

指數型函數中參數的取值范圍問題.在解決涉及指數函數的單調性或最值問題時,應注意對底數a的分類討論.考查角度5:指數函數與二次函數綜合問題反思歸納

形如f(x)=a2x+b·ax+c(ab≠0)的函數性質問題常用換元法轉化為二次函數性質求解.備選例題【例2】設a>0且a≠1,函數y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則a的值為

.

【例3】已知函數f(x)=.(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)