學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE21學必求其心得，業必貴于專精PAGE2實際問題的函數建模學習目標1。了解什么是函數模型，知道函數的一些基本模型。2。學會對收集到的相關數據進行擬合，并建立適當的數學模型。3。學會運用常見的函數模型來解一些簡單的實際問題．知識點一實際問題的函數刻畫思考世界上很多事物間的聯系可以用函數刻畫，在試圖用函數刻畫兩個變量的聯系時，需要關注哪些要點？梳理設自變量為x，函數為y，并用x表示各相關量，然后根據問題的已知條件,運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式,將實際問題轉化為數學問題,實現問題的數學化，即所謂建立數學模型．知識點二用函數模型解決實際問題思考函數模型是應用最廣泛的數學模型之一，一旦確定是函數模型，怎樣研究它?梳理用函數模型解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系,用函數刻畫實際問題，初步選擇模型．（2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．(3）求模：求解數學模型，得到數學結論．(4）還原：利用數學知識和方法得出的結論還原到實際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：知識點三數據擬合思考自由落體速度公式v＝gt是一種函數模型．類比這個公式的發現過程，簡述什么是數據擬合?梳理數據擬合（1）定義：通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征,看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖像，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗,基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規律．這種方法稱為數據擬合．（2）數據擬合的步驟：①以所給數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中繪出各點；②依據點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數形式，設其一般形式；③取特殊數據代入,求出函數的具體解析式；④做必要的檢驗．類型一利用已知函數模型求解實際問題例1某列火車從北京西站開往石家莊,全程277km.火車出發10min開出13km后，以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系,并求火車離開北京2h內行駛的路程．反思與感悟在實際問題中,有很多問題的兩變量之間的關系是已知函數模型，如一次、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數，這時可借助待定系數法求出函數解析式，再根據解題需要研究函數性質．跟蹤訓練1如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時,拱頂離水面2米，水面寬4米．則水位下降1米后，水面寬________米．類型二自建確定性函數模型解決實際問題eq\x（命題角度1非分段函數模型）例2某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2，5）－48x＋8000，已知此生產線年產量最大為210噸．若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？反思與感悟自建模型時主要抓住四個關鍵:“求什么，設什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務．設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素,誰是核心因素，通常設核心因素為自變量．列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等．限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等．跟蹤訓練2有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關系是Q1＝eq\f(1,5）x，Q2＝eq\f(3,5）eq\r（x)。現有3萬元資金投入使用，則對甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤？eq\x（命題角度2分段函數模型）例3某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗,若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元,則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．旅游點規定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，用y表示出租所有自行車的日凈收入．（日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)（1）求函數y＝f（x)的解析式；(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？反思與感悟自變量x按取值不同,依不同的對應關系對應因變量y是分段函數的典例特征，建立分段函數模型應注意：(1)分段函數的“段"一定要分得合理,不重不漏．(2)分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論．跟蹤訓練3學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其在40min的一節課中，注意力指數y與聽課時間x(單位：min)之間的關系滿足如圖的圖像．當x∈（0,12]時，圖像是二次函數圖像的一部分，其中頂點A(10,80),過點B(12,78）；當x∈[12，40］時,圖像是線段BC，其中C(40，50）．根據專家研究，當注意力指數大于62時，學習效果最佳．(1)試求y＝f(x）的函數關系式;(2)教師在什么時段內安排核心內容,能使得學生學習效果最佳?請說明理由．1．從2013年起,在20年內某海濱城市力爭使全市工農業生產總產值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達到翻兩番目標的最少年數為(）A．17B．18C．19D．202．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖像如圖所示，那么圖像所對應的函數模型是()A．分段函數 B．二次函數C．指數函數 D．對數函數3．若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%,設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x,y的函數關系是（）A．y＝0。9576eq\f(x，100) B．y＝（0。9576)100xC．y＝(eq\f（0。9576，100)）x D．y＝1－0。0424eq\f（x,100)4．某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表：x123…y138…則下面的函數關系式中，擬合效果最好的是（)A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋25．某同學最近5年內的學習費用y（千元)與時間x(年)的關系如圖所示，則可選擇的模擬函數模型是（)A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝aex＋b D．y＝alnx＋b解函數應用問題的步驟（四步八字)(1）審題:弄清題意，分清條件和結論,理順數量關系，初步選擇數學模型;（2)建模:將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；（3)求模：求解數學模型，得出數學結論;(4）還原：將數學問題還原為實際問題．

答案精析問題導學知識點一思考先確定兩個變量是誰；再看兩個變量之間的對應關系是否滿足函數定義；如果滿足,就要考慮建立函數關系式．知識點二思考先確定函數關系式，再根據解決實際問題的需要針對性研究函數性質，如定義域、最值、單調性等，使實際問題得到解決．知識點三思考函數模型來源于現實(伽利略斜塔拋球），通過收集數據(打點計時器測量)，畫散點圖分析數據(增長速度、單位時間內的增長量等），尋找或選擇函數（假說)來作為函數模型，再檢驗這個函數模型是否符合實際，這就是數據擬合．題型探究例1解因為火車勻速運動的時間為(277－13)÷120＝eq\f（11，5）（h)，所以0≤t≤eq\f(11，5).因為火車勻速行駛th所行駛的路程為120t，所以,火車運行總路程S與勻速行駛時間t之間的關系是S＝13＋120t（0≤t≤eq\f(11，5）)。2h內火車行駛的路程S＝13＋120×（2－eq\f(10,60)）＝233（km）．跟蹤訓練12eq\r(6)解析以拱頂為原點，過原點與水面平行的直線為x軸,建立平面直角坐標系(如圖）,則水面和拱橋交點A（2，－2）,設拋物線所對應的函數關系式為y＝ax2（a≠0)，則－2＝a·22，∴a＝－eq\f（1,2），∴y＝－eq\f（1,2）x2。當水面下降1米時，水面和拱橋的交點記作B(b，－3），將B點的坐標代入y＝－eq\f（1，2)x2，得b＝±eq\r(6)，因此水面寬2eq\r(6）米．例2解設可獲得總利潤為R(x)萬元，則R（x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f（x2，5）＋88x－8000＝－eq\f（1,5）(x－220)2＋1680（0≤x≤210）．∵R(x)在[0,210]上是增函數，∴x＝210時，R（x)max＝－eq\f（1,5)（210－220）2＋1680＝1660（萬元)．∴年產量為210噸時,可獲得最大利潤1660萬元．跟蹤訓練2解設對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資（3－x)萬元，總利潤為y萬元．所以Q1＝eq\f（1,5）x，Q2＝eq\f（3，5)eq\r（3－x）。所以y＝eq\f（1,5）x＋eq\f（3，5）eq\r（3－x）（0≤x≤3），令t＝eq\r（3－x)(0≤t≤eq\r(3)）,則x＝3－t2。所以y＝eq\f（1,5)（3－t2)＋eq\f(3,5）t＝－eq\f（1，5）(t－eq\f(3，2））2＋eq\f(21，20).當t＝eq\f（3,2)時，ymax＝eq\f(21，20)＝1.05（萬元）,即x＝eq\f(3，4)＝0。75(萬元),所以3－x＝2.25(萬元）．由此可知，為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0。75萬元和2。25萬元，共獲得利潤1。05萬元．例3解（1)當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2。3.又因為x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.當6＜x≤20，且x∈N時,y＝［50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115,綜上可知y＝f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（50x－115，3≤x≤6，x∈N，，－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N。））(2）當3≤x≤6,且x∈N時，因為y＝50x－115是增函數，所以當x＝6時,ymax＝185元．當6＜x≤20，且x∈N時，y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34，3）））2＋eq\f(811，3)，所以當x＝11時，ymax＝270元．綜上所述，當每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元．跟蹤訓練3解(1)當x∈(0,12］時，設f(x)＝a（x－10）2＋80(a≠0）．因為該部分圖像過點B（12，78)，將B點的坐標代入上式,得a＝－eq\f（1,2），所以f（x)＝－eq\f(1，2)(x－10）2＋80。當x∈[12，40]時，設f(x）＝kx＋b(k≠0）．因為線段BC過點B（12，78），C(40,50），將它們的坐標分別代入上式，得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(12k＋b＝78，，40k＋b＝50,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－1，,b＝90，））所以f（x）＝－x＋90。故所求函數的關系式為f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）x－102＋80，x∈0,12]，,－x＋90,x∈12，40］.))(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\