測量誤差與數據處理

測量的目的是獲取被測量的真實值。但由于種種原因，例如，傳感器本身性能不十分優良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，都會造成被測參數的測量值與真實值不一致，兩者不一致程度用測量誤差表示。測量誤差與數據處理

2.1誤差的基本概念2.2誤差的基本性質與處理2.3測量不確定度2.4最小二乘法與回歸分析2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測量誤差：就是測量結果與被測量真值之間的差。被測量的真值理論真值：絕對真值規定真值：國際上公認的某些基準量值。相對真值：計量器具的上下等級之間。測量誤差測量結果測量誤差與數據處理真值測量誤差的表示方法有多種，含義各異。1、絕對誤差：

可正可負，是有單位的物理量。

注：采用絕對誤差表示測量誤差，不能很好說明測量質量的好壞。2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測量誤差與數據處理某采購員分別在三家商店購買100kg大米、10kg蘋果、1kg巧克力，發現均缺少約0.5kg，但該采購員對賣巧克力的商店意見最大，是何原因？

2、相對誤差

可正可負，是無單位的物理量。

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法注：由于被測量的真實值X0無法知道，實際測量時用測量值X代替真實值X0進行計算，這個相對誤差稱為標稱相對誤差。測量誤差與數據處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法引用誤差是一種簡化和實用方便的相對誤差，是儀表中通用的一種誤差表示方法。它是相對儀表滿量程的一種誤差，一般也用百分數表示，即：式中：Xm為測量儀表的量程。可正可負，是無單位的物理量。測量誤差與數據處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測量儀表的精度等級是根據最大引用誤差來確定的，即絕對誤差的最大絕對值與量程之比。電測量儀表的精度等級指數α分為7級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。最大引用誤差不能超過儀表精度等級指數的百分數，即：例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%，1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。測量誤差與數據處理3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測量誤差與數據處理最大引用誤差:當示值為x時可能產生的最大相對誤差為:用儀表測量示值為x的被測量時，比值越大，測量結果的相對誤差越大。3、引用誤差

2.1誤差的基本概念一、誤差的定義及表示法測量誤差與數據處理思考：如果要測量一個40V左右的電壓，現有兩塊電壓表，其中一塊量程為50V、1.5級，另一塊量程為100V、1.0級，問應選用哪一塊表測量比較合適？2.1誤差的基本概念二、誤差的來源1、裝置誤差：標準器具誤差、儀器儀表誤差、附件誤差。2、環境誤差：基本誤差、附加誤差。3、方法誤差4、人員誤差測量誤差與數據處理2.1誤差的基本概念三、*誤差的分類根據測量數據中的誤差所呈現的規律，將誤差分為三種：

系統誤差隨機誤差粗大誤差測量誤差與數據處理2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測量誤差與數據處理夏天擺鐘變慢的原因是什么？系統誤差：對同一被測量進行多次重復測量時（等精度測量），絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規律變化的誤差稱為系統誤差。例如，標準量值的不準確及儀表刻度的不準確而引起的誤差。2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測量誤差與數據處理隨機誤差：對同一被測量進行多次重復測量時（等精度測量），絕對值和符號不可預知的隨機變化，但就誤差的總體而言，具有一定的統計規律性的誤差稱為隨機誤差。2.1誤差的基本概念三、誤差的分類測量誤差與數據處理粗大誤差：明顯偏離測量結果的誤差稱為粗大誤差，又稱疏忽誤差。這類誤差是由于測量者疏忽大意或環境條件的突然變化產生的。對于粗大誤差，首先應設法判斷是否存在，然后將其剔除。測量誤差與數據處理2.1誤差的基本概念三、表征測量結果質量的指標正確度：由于系統誤差而使測量結果與被測量值的偏離程度。精密度：相同條件下，多次重復測量所得結果彼此間符合的程度。準確度：測量結果與被測真值偏離的程度。不確定度：合理賦予被測量之值的分散性。測量誤差與數據處理測量誤差與數據處理2.2誤差的基本性質與處理一、隨機誤差隨機誤差為：

式中，xi—測量值；

X0—真值；

測量誤差與數據處理2.2誤差的基本性質與處理概念：測量列－對同一量值進行多次反復測量時，得到的一系列不同的測量值。一、隨機誤差－服從或近似服從正態分布正態分布的概率密度函數：測量誤差與數據處理1．隨機誤差的分布規律（正態分布）①對稱性：分布曲線關于縱坐標對稱，表明絕對值相等的正、負隨機誤差出現的機會相等。②單峰性：絕對值小的隨機誤差比絕對值大的隨機誤差出現的概率大。③有界性：測量（在一定的測量條件下）的隨機誤差總是有一定的界限而不會無限大。④抵償性：由特征①和③不難推出，當測量次數n→∞時，隨機誤差的代數和趨近于零。該性質極為重要，利用這一性質建立的數據處理法可以有效的減少隨機誤差的影響。測量誤差與數據處理由于隨機誤差大部分按正態分布規律出現的，具有統計意義，通常以正態分布曲線的兩個參數算術平均值和標準差作為評價指標。（1）算術平均值（2）標準差2、隨機誤差的評價指標算數平均值對被測量進行等精度的n次測量，得n個測量值x1，x2，…，xn，它們的算術平均值為：n→∞時，因此，算術平均值是諸測量值中最可信賴的。測量誤差與數據處理測量誤差與數據處理隨機誤差為：

式中，xi—測量值；

X0—真值；

一般情況下，由于被測量的真值未知，常用算術平均值來代替其真值，稱：殘余誤差（簡稱殘差）標準差

測量的標準偏差稱為標準差，也稱為均方根誤差。

*算術平均值是反映隨機誤差的分布中心，而標準差則反映隨機誤差的分布范圍。標準差的特性與估計：①測量列中單次測量值的標準差②測量列算術平均值的標準差

測量誤差與數據處理測量誤差與數據處理（1）測量列中單次測量值的標準差測量誤差與數據處理（1）測量列中單次測量值的標準差可見：標準差σ越小，測量數據越集中，曲線越陡，測量精度越高。測量誤差與數據處理（2）測量列算術平均值的標準差但當n>10時，值的減小不明顯，并且加大工作量，還可能因時間長而破壞等精度測量的條件。因此，測量次數n一般取10。測量誤差與數據處理3．測量值的置信區間與置信概率置信區間：估計真值以多大概率包含在某一數值區間.置信限：置信區間的界限。

K是置信系數（置信因子）置信概率（置信水平）

：置信區間包含真值的概率。置信度：置信區間與置信概率合起來說明了測量結果的可靠程度，稱為置信度。σ是標準差一般用3σ作為隨機誤差限，如果某誤差大于3σ，則認為該測量誤差為壞值，予以剔出。

k0.674511.9622.5834Pa0.50.68260.950.95450.990.99730.99994幾個典型的置信系數k值及其相應的概率Pa測量結果可表示為（計算得到的真值和真值的均方根偏差）：測量誤差與數據處理例題：對某一溫度進行10次精密測量，測量數據如表所示，設這些測得值已消除系統誤差和粗大誤差,求測量結果和相應的概率。序號測量值xi殘余誤差vivi2185.710.030.0009285.63-0.050.0025385.65-0.030.0009485.710.030.0009585.690.010.0001685.690.010.0001785.700.020.0004885.6800985.66-0.020.00041085.6800測量誤差與數據處理Pa測量誤差與數據處理二、系統誤差1.系統誤差的根源

系統誤差是在一定的測量條件下，測量值中含有固定不變或按一定規律變化的誤差。系統誤差不具有抵償性，重復測量也難以發現，在工程測量中應特別注意系統誤差。系統誤差常見的變化規律綜合誤差分布特征測量誤差與數據處理1.系統誤差的根源：①所用傳感器、測量儀表或組成元件是否準確可靠。傳感器儀表安裝、調整或放置是否正確合理。如，沒有調好儀表水平位置，安裝時儀表指針偏心等都會引起系統誤差。②測量方法是否完善。如，用電壓表測量電壓，電壓表的內阻對測量結果有影響。③傳感器或儀表工作場所的環境條件是否符合規定條件。如，環境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起系統誤差。④測量者的操作是否正確。如，讀數時的視差、視力疲勞等都會引起系統誤差。

測量誤差與數據處理2.系統誤差的發現（1）不變的系統誤差實驗對比法：這種方法是通過改變產生系統誤差的條件從而進行不同條件的測量，以發現系統誤差。這種方法適用于發現固定的系統誤差。測量誤差與數據處理例如，一臺測量儀表本身存在固定的系統誤差，即使進行多次測量也不能發現，只有用精度更高一級的測量儀表測量，才能發現這臺測量儀表的系統誤差。

（2）變化的系統誤差①殘余誤差觀察法：這種方法是根據測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規律，直接由誤差數據或誤差曲線圖形判斷有無變化的系統誤差。下圖中把殘余誤差按測量值先后順序排列，圖（a）的殘余誤差排列后有遞減的變值系統誤差，圖（b）則可能有周期性系統誤差。測量誤差與數據處理（2）變化的系統誤差①殘余誤差觀察法：這種方法只適用于系統誤差比隨機誤差大的情況。當系統誤差比隨機誤差小時，不能通過觀察來發現系統誤差。此時就要通過一些判斷準則來發現系統誤差。這些準則實質上是校驗誤差的分布是否偏離正態分布。測量誤差與數據處理常用的有：馬利科夫準則、阿貝－赫梅特準則②馬利科夫準則：把同一條件下n次測得值的殘余誤差v1，v2，…，vn，依測量次序，分為前后兩組求和，然后把兩組殘差和相減，即：K=n/2；n為偶數K=(n+1)/2；n為奇數測量誤差與數據處理若M顯著不為零，則測量中存在線性系統誤差；若M近似等于零，說明測量中不存在線性系統誤差；M=0時，無法判斷是否存在系統誤差。結論馬利科夫準則適用于發現線性系統誤差。③阿貝準則－適用于發現周期性系統誤差檢查殘余誤差是否偏離正態分布，若偏離，則可能存在周期變化的系統誤差。具體：將測量值的殘余誤差按測量順序排列，且設若，則可能含有周期性系統誤差。測量誤差與數據處理

3.系統誤差的減小（1）從產生誤差的根源上減小系統誤差：選擇準確度等級高的設備；使設備在規定條件下工作（2）利用修正方法減小系統誤差：預先得到設備的系統誤差，將實際測量值加上誤差的修正值（3）減小不變系統誤差的方法替代法：在不改變實驗條件下，用標準量代替被測量抵償法：使兩次測量所產生的系統誤差相互抵消交換法：交換某些實驗條件，以減小系統誤差測量誤差與數據處理3.系統誤差的減小（4）減小線性系統誤差的對稱法：若被測量隨時間的變化系統誤差線性增加，則選定測量時間內的某點為中點，取對稱于此點的兩次讀數的算術平均值作為測量值。（5）減小周期性系統誤差的半周期法：對于周期性系統誤差，相隔半周期進行測量，取兩次讀數的平均值作為測量值。測量誤差與數據處理三、粗大誤差1.3σ（萊以特）準則通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差，作為鑒別限。3σ準則就是如果一組測量數據中某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|>3σ時，則該測量值為可疑值（壞值），應剔除。2.格羅布斯準則某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|＞g0（n,α

）σ，則判斷此值中含有粗大誤差，應予剔除，即格羅布斯準則。其中：g0（n,

α

）值與重復測量次數n和顯著性水平α有關，見表。測量誤差與數據處理格羅布斯準則中的g0（n,α

）值測量誤差與數據處理四、測量結果的數據處理步驟例：對一軸徑等精度測量9次，測量數據見表，求測量結果。測量誤差與數據處理解：1）求算術平均值2）求殘余誤差Vi（i=1,2,…,n）3）求單次測量值的標準差估計值4）判斷系統誤差5）判別并剔出粗大誤差6）求算術平均值的標準差估計值7）求算術平均值的置信限8）寫出最后測量結果（表示方法＝算術平均值＋置信限）

測量誤差與數據處理測量誤差與數據處理解：1）求算術平均值2）求殘余誤差Vi（i=1,2,…,n）3）求單次測量值的標準差估計值4）判斷系統誤差馬利科夫準則：因為n=9，則：

因為差值M較小，可以判斷該測量列無線性系統誤差。解：5）判別并剔出粗大誤差按格羅布斯準則判別：經檢查，所有的故可判斷測量列中不存在粗大誤差。6）求算術平均值的標準差估計值測量誤差與數據處理解：7）求算術平均值的置信限當P=0.95、v=n-1=8時，查表得ta=2.31（因為測量數據少，采用t分布值），于是有8）寫出最后測量結果最后測量結果通常用算術平均值及其置信限來表示，即測量誤差與數據處理n－1α0.002

ta0.50.20.10.050.020.010.0050.001113.0786.31412.70631.82163.657127.321318.309636.61920.8161.8862.924.3036.9659.92514.08922.32731.59930.7651.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21512.92440.7411.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7271.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7181.441.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7111.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7061.3971.862.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7031.3831.8332.2622.8213.253.694.2974.781100.71.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6971.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6951.3561.7822.1792.6813.0553.4283.934.318130.6941.351.7712.162.653.0123.3723.8524.221140.6921.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6911.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.691.3371.7462.122.5832.9213.2523.6864.015170.6891.3331.742.112.5672.8983.2223.6463.965180.6881.331.7342.1012.5522.8783.1973.613.922190.6881.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6871.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85t分布值表五、不等精度測量的權與誤差

前面講述的內容是等精度測量的問題。即多次重復測量得的各個測量值具有相同的精度，可用同一個均方根偏差σ值來表征，或者說具有相同的可信賴程度。在科學實驗或高精度測量中，為了提高測量的可靠性和精度，往往在不同的測量條件下，用不同的測量儀表，不同的測量方法，不同的測量次數以及不同的測量者進行測量與對比，則認為它們是不等精度的測量。測量誤差與數據處理

1.“權”的概念

在不等精度測量時，對同一被測量進行m組測量，得到m組測量列（進行多次測量的一組數據稱為一測量列）的測量結果及其誤差，它們不能同等看待。精度高的測量列具有較高的可靠性，將這種可靠性的大小稱為“權”。

“權”可理解為各組測量結果相對的可信賴程度。測量次數多，測量方法完善，測量儀表精度高，測量的環境條件好，測量人員的水平高，則測量結果可靠，其權也大。權是相比較而存在的。測量誤差與數據處理

權的計算方法：

權用符號p表示，有兩種計算方法：①用各組測量列的測量次數n的比值表示，并取測量次數較小的測量列的權為1，則有

p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm②用各組測量列的標準差平方的倒數的比值表示，并取誤差較大的測量列的權為1，則有p1∶p2∶…∶pm=測量誤差與數據處理

2.加權算術平均值

加權算術平均值不同于一般的算術平均值，應考慮各測量列的權的情況。若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術平均值，相應各組的權分別為p1,p2,…,pm，則加權平均值可用下式表示：測量誤差與數據處理

3．加權算術平均值的標準誤差

當進一步計算加權算術平均值的標準誤差時，也要考慮各測量列的權的情況，可由下式計算：測量誤差與數據處理2.4*最小二乘法與回歸分析一、最小二乘法

測量誤差與數據處理最小二乘法最早稱為回歸分析法。由著名的英國生物學家、統計學家道爾頓（F.Gallton）——達爾文的表弟所創。早年，道爾頓致力于化學和遺傳學領域的研究。他研究父親們的身高與兒子們的身高之間的關系時，建立了回歸分析法。對被測量進行等精度的n次測量，得n個測量值x1，x2，…，xn，它們的算術平均值為：測量誤差與數據處理設a為任意值，則有令可得即測量結果的最可信賴值應在殘差平方和為最小的條件下求出。任意其他量2.4最小二乘法與回歸分析一、最小二乘法最小二乘法原理是一數學原理，它在誤差的數據處理中作為一種數據處理手段。最小二乘法原理就是要獲得最可信賴的測量結果，使各測量值的殘余誤差平方和為最小。在等精度測量和不等精度測量中，用算術平均值或加權算術平均值作為多次測量的結果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法在組