第4章

李雅普諾夫穩定性哈爾濱工業大學HarbinInstituteofTechnologyStabilityTheoryofLyapunov任課教師：楊慶俊4.1李雅普諾夫穩定性概念4.2李雅普諾夫第一法（間接法）4.3李雅普諾夫第二法（直接法）4.4線性系統的李雅譜諾夫分析本章目錄第一法的不足：4.2李雅普諾夫第一法平衡狀態處進行線性化，具有近似性。不能給出穩定性的范圍。一個振動例子：4.3李雅普諾夫第二法如果存在能量衰減，最終會停在平衡位置，此時能量最小。彈性棒k小球m給我們的啟示：4.3李雅普諾夫第二法可否根據能量函數及其變化，來判斷系統的穩定性？例如用一個標量函數V(x,t)表示系統能量。表示系統能量的變化。能量大能否根據能量函數及導數的定號性，來判斷系統的穩定性？4.3李雅普諾夫第二法利用系統能量函數，并通過及其導數符號來直接判斷系統穩定性。不過，并非所有的系統都能找到一個能量函數，經濟系統、生物系統、抽象數學系統等。構造一個正定的標量函數，用來代替能量函數，稱為李雅普諾夫函數定義4.3.1正定函數：4.3李雅普諾夫第二法

V(x)有連續的偏導數；

V(x)=0；當時，。則稱是正定的（正半定）。如果則稱是負定的（負半定）。

是向量的標量函數，如果滿足：例4.3.1判斷一下函數的正定性。4.3李雅普諾夫第二法

正定負半定負定李雅普諾夫函數：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數比能量函數更為一般，應用也更廣泛，但該函數構造并非易事。目前沒有一個通用的構造方法，通常可選二次型。正定對稱矩陣例如正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法若標量函數正定稱P正定正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：1）順序主子式均大于0正定函數與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：2）全部特征值>0下面給出李雅普諾夫穩定性定理，每個定理前，首先給出基本思路。4.3李雅普諾夫第二法第二法穩定性定理的基本思路：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；是負定的。假設系統的狀態方程為那么系統在原點處的平衡狀態是一致漸近穩定的。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數并且滿足條件：定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

如果隨著，有，則為大范圍一致漸近穩定。

在上述條件下，即V的等值面擴展到整個狀態空間條件下，能保證在全局范圍例4.3.2：4.3李雅普諾夫第二法已知系統的狀態方程試判斷其平衡狀態的穩定性。1)計算平衡態2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數負定正定4)結論系統大范圍一致漸近穩定例4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法已知氣彈簧系統的狀態方程試判斷其平衡狀態的穩定性。1)計算平衡態2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數負定正定4)結論系統大范圍一致漸近穩定另一種情況：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1b：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負半定的；對任意和任意的，在時不恒等于零。對于系統那么原點處的平衡狀態是一致漸近穩定的。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數并且滿足條件：例4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法已知系統的狀態方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩定性。1)平衡點2)正定函數3)求導半負定圖解：4.3李雅普諾夫第二法一致漸近穩定初值(0.1,1)李雅普諾夫意義下穩定：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負半定的；

某點起恒為0。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數并且滿足條件：對于系統那么原點處的平衡狀態是一致穩定的，但不是漸近穩定。李雅普諾夫意義下穩定，但非漸近穩定！4.3李雅普諾夫第二法

平衡點附近等幅震蕩例4.3.5：4.3李雅普諾夫第二法已知系統的狀態方程試判斷其平衡狀態的穩定性。1)平衡點2)V(x,t)4.3李雅普諾夫第二法3)求導4)判定大范圍一致穩定不漸近！定理4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法

在原點的某一鄰域內是正定的；在同樣的鄰域中也是正定的。或者半正定，但不恒為0。如果存在一個具有連續偏導數的標量函數并且滿足條件：對于系統那么原點處的平衡狀態是不穩定的。不穩定：4.3李雅普諾夫第二法

例4.3.6：4.3李雅普諾夫第二法已知系統的狀態方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩定性。1)平衡點2)正定函數3)求導半正定4.3李雅普諾夫第二法初值(0.001，0)不穩定！例4.3.7：4.3李雅普諾夫第二法已知系統的狀態方程試判斷其平衡狀態的穩定性。1)計算平衡態2)選擇二次型函數4.3李雅普諾夫第二法3)計算導數正定正定4)結論系統不穩定關于第二法幾點說明：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數選取不唯一。充分性。不僅對線性系統，而且對非線性系統，也能提供大范圍穩定性的信息。對于某特定系統，如果未找到一個合適的李氏函數證明系統穩定、漸近穩定或不穩定，就不能給出任何穩定性信息。如果系統的原點是穩定的或漸近穩定的，那么具有所要求性質的李雅普諾夫函數一定存在。4.4線性系統的李雅普諾夫分析4.4線性系統的李雅普諾夫分析線性連續系統穩定的充要條件：對給定正定實對稱陣Q，存在正定實對稱陣P滿足：此時證：負定4.4線性系統的李雅普諾夫分析李雅普諾夫方程Q可取為對角陣，甚至單位陣，以簡化計算。P中含有個未知數列個方程4.4線性系統的李雅普諾夫分析例4.4.1：解：4.4線性系統的李雅普諾夫分析P正定系統穩定4.4線性系統的李雅普諾夫分析Matlab求解P=lyap(AT,Q)4.4線性系統的李雅普諾夫分析線性非定常：4.4線性系統的李雅普諾夫分析線性離散：正定，負定，則穩定。4.4線性系統的李雅普諾夫分析線性時變離散：形式相同，但求解大為復雜。4.4線性系統的李雅普諾夫分析線性系統的參數優化：不考慮終值，不考慮功耗，時間拉長至無窮，則退化為：