靜電場中的電介質習題、例題分析+25.2兩個同心的薄金屬球殼，內、外球殼的半徑分別為R1=0.02m和R2=0.06m.球殼間充滿兩層均勻電介質，它們的相對介電常數分別為εr1=6和εr2=3.兩層電介質的分界面半徑為R=0.04m.設內球殼帶電量為Q=－6×10-8C，求：(1)D和E的分布，并畫D－r，E-r曲線；(2)兩球殼之間的電勢差；(3)貼近內金屬殼的電介質表面上的面束縛電荷密度.R1R2Rε2ε1解:(1)由D的高斯定理及D－E關系：易得3R1R2Rε2ε1

4E,Dr0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2Rε2ε1D-r，E-r曲線如下圖所示5R1R2Rε2ε1(2)兩球殼之間的電勢差為代入有關數據求得6(3)由及可得貼近內金屬殼的電介質表面上的面束縛電荷密度為75.4一平板電容器板間充滿相對介電常數為εr的電介質而帶有電量Q.試證明：與金屬板相靠的電介質表面所帶的面束縛電荷的電量為證明：因為無電介質存在時，電容器極板間的電場強度為

因此極板間充滿了相對介電常數為εr的電介質后，電容器極板間的電場強度變為電介質中的極化強度為8

圖中與上金屬板相靠的電介質表面所帶的面束縛電荷密度為

故與上金屬板相靠的電介質表面所帶的面束縛電荷的電量為

同法可求得與下金屬板相靠的電介質表面所帶的面束縛電荷的電量為P95.19一平行板電容器面積為S，板間距離為d，板間以兩層厚度相同而相對介電常數分別為εr1和εr2的電介質充滿.求此電容器的電容.

解：方法一：利用電容器串聯公式原電容器可看成是由兩個電容器C1與C2串聯而成，如右圖所示.C1C2因此原電容器的電容為10解：方法二：利用電容的定義公式設電容器帶電量為Q，如圖所示.

則相對介電常數為εr1的電介質中的電場強度為相對介電常數為εr2的電介質中的電場強度為那么，原電容器兩極板間的電勢差為11因此，電容器的電容為125.23將一個100pF的電容器充電到100V，然后把它和電源斷開，再把它和另一電容器并聯，最后電壓為30V.第二個電容器的電容多大？并聯時損失了多少電能？這電能哪里去了？解:由于第一個電容器充電后與電源斷開，所以其上的電量保持不變,設為Q0.

當它與第二個電容器并聯時，這電量將在這兩個電容器中重新分布，但總量不變.

于是有所以有13并聯時損失的電能為代入有關數據，可求得這電能消耗在連接導線的焦耳熱上145.3兩共軸的導體圓筒的內、外筒半徑分別為R1和R2，R2<2R1.其間有兩層均勻電介質，分界面半徑為r0.內層介質相對介電常量為εr1，外層介質的相對介電常量為εr2，且εr2=εr1/2.兩層介質的擊穿場強都是Emax.當電壓升高時，哪層介質先擊穿？兩筒間能加的最大電勢差多大？R1R2r0εr1εr2解：設內圓筒帶電，其面電荷密度為σ.

則利用D的高斯定理易得內、外圓筒間的電位移為場強為：內層介質中外層介質中15場強為：內層介質中外層介質中R1R2r0εr1εr2顯然，內層介質中最大場強出現在r=R1處外層介質中最大場強出現在r=r0處因為，故

由于當電壓升高時，外層介質場強總大于內層介質場強，故外層介質中的r0處先達到擊穿場強而被擊穿.場強為：內層介質中外層介質中R1R2r0εr1εr2內外筒間的電壓為不致電介質被擊穿的最大電壓為175.14一個平行板電容器的每個板的面積為0.02m2,兩板相距0.5mm，放在一個金屬盒子中(如圖所示).電容器兩板到盒子上下底面的距離各為0.25mm，忽略邊緣效應，求此電容器的電容.如果將一個板和盒子用導線連接起來，電容器的電容又是多大？0.50mm0.25mm0.25mm解：分別以A、B、H表示平行板電容器的兩個極板和金屬盒子.ABH

那么，平行板電容器與金屬盒子所組成的電容器系統的電路如圖1所示.AAHHBB圖1這一系統的等效電容為18ABH0.50mm0.25mm0.25mmAAHHBB圖1其中S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m其中S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m由(1)、(2)、(3)式，并代入有關數據可求得19ABH0.50mm0.25mm0.25mm圖2

當平行板電容器的一個極板(如B板)與盒子用導線相連接的情況,如圖2所示.圖3AAHHBBAAHB此系統的電路如圖3所示.這一系統的等效電容為代入有關數據可求得20dahεr圖15.20一種利用電容器測量油箱中油量的裝置示意圖如圖1所示.附接電子線路能測出等效相對介電常量εr,eff(即電容相當而充滿板間的電介質的相對介電常量).設電容器兩板的高度都是a，試導出等效相對介電常量和油面高度的關系，以εr表示油的相對介電常量.就汽油(εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比，哪種燃料更適宜用此油量計？解：設圖1中兩板的距離為d，板的寬度為b.

該裝置相當于兩個電容器并聯，其中一個電容器極板間充滿油料.等效電容為其中21dahεr圖1由此可得等效相對介電常量為

由此式知，當εr較大，則液面高度有同樣的變化時，εr，eff較大.因為甲醇的相對介電常量(εr=33)比汽油的相對介電常量(εr=1.95)大，故甲醇更適宜用此油量計.所以等效電容為225.21一球形電容器的兩球間下半部充滿了相對介電常量為εr的油，它的電容較未充油前變化了多少？R1R2解：設球形電容器的兩球的半徑分別是R1和R2.

未充油前，球形電容器的電容為

充油后，球形電容器相當兩個半球形電容器并聯而成，故其電容為由以上兩式可求得它的電容較未充油前變化了235.18將一個12μF的電容器和兩個2μF的電容器連接起來組成電容為3μF的電容器組.如果每個電容器的擊穿電壓都是200V，則此電容器組能承受的最大電壓是多大？解：將一個12μF的電容器和兩個2μF的電容器連接起來組成電容為3μF的電容器組，則只有如圖1所示的連接才行.圖112μF2μF2μF其等效電路如圖2所示.圖212μF4μFC1C2其中C1、C2的擊穿電壓都是200V.設電容器帶有電量為Q，則有由此可得24圖112μF2μF2μF圖212μF4μFC1C2設此電容器組所承受的電壓為U，則有由以上兩式求得因為故這表明此電容器組能承受的最大電壓是Umax=267V255.22將一個電容為4μF的電容器和一個電容為6μF的電容器串聯起來接到200V的電源上，充電后將電源斷開并將兩電容器分離.在下列兩種情況下，每個電容器的電壓各變為多少？(1)將每一個電容器的正板與另一個電容器的負板相連;(2)將兩電容器的正板與正板相連，負板與負板相連.解:充電后，每個電容器所帶電量都為Q0：(1)將每一個電容器的正板與另一個電容器的負板“反向”相連,如圖1所示.

那么兩電容器上的等量正負電荷將中和,每個電容器