2023/2/41第七節誤差與精度的基本知識第一章

測量與地圖學基礎知識一、測量誤差的概念與分類（一）測量誤差的概念及其分類在測量工作中，我們發現當某一未知量，如某一段距離，某一角度或某兩點間的高程進行多次重復觀測時，所得的結果往往是不一致的。又若已知由幾個觀測值構成的某一函數應等于某一理論值，而實際觀測值代入上述函數計算時通常與理論值不相等。例如，從幾何上知道一平面三角形三內角之和應等于180，但如果對這三個內角進行觀測，則三內角觀測值之和常常不等于180，而有差異。這種差異實質上表現為觀測值（或其函數）與未知量的真值（或其函數的理論值）之間存在差值，這種差值稱為測量誤差。即 測量誤差＝觀測值-真值2023/2/42測量誤差的產生，概括起來有以下三個方面的原因：首先，是觀測者感覺器官的鑒別能力和技術水平的限制，在進行儀器的安置，瞄準，讀數等工作時都會產生一定的誤差。與此同時，工作態度而造成的某種疏忽也會對觀測結果產生影響。其次，觀測使用的儀器工具都有一定的精密度，儀器本身也含有一定的誤差，如鋼尺的最小分劃以下的尾數就難以保證其準確性，又如水準測量時水準儀的視準軸不水平必然會對水準測量觀測結果帶來誤差。再有，在觀測過程中所處的外界自然條件，如地形，溫度，濕度，風力，大氣折光等因素都會給觀測值帶來誤差。2023/2/43在實際測量工作中，上述觀測者、儀器和客觀環境三個方面是引起測量誤差的主要因素，統稱“觀測條件”。觀測成果的精確度稱為“精度”。不難想象，觀察條件的好壞與觀測成果的質量有這密切的聯系。當觀測條件好一些，觀測中所產生的誤差平均說來就可能相應地小一些，因而觀測成果的質量就會高一些。反之，觀測條件差一些，觀測成果的質量就會低一些。如果觀測條件相同，觀測成果的質量也就可以說是相同的。所以說，觀測成果的質量高低也就客觀的反映了觀測條件的優劣。在相同的觀測條件下進行的觀測，稱為同精度觀測。如有一個人或具有同等技術水平和工作態度的人使用相同精度的儀器，以同樣的方法，在同一客觀環境下所進行的觀測稱為“同精度觀測”。反之，各個觀測使用不同精度的儀器，或觀測方法技術水平不同，或客觀環境差別較大，則是不同精度的觀測。2023/2/44測量誤差根據其性質不同，可分為系統誤差、偶然誤差以及粗差。1、系統誤差

這種誤差隨著觀測量的增多而逐漸累積。例如，鋼尺量距時，鋼尺的名義長度為30ｍ，而鑒定后的實際長度為30.005ｍ，每量一個整尺，就比實際長度小0.005ｍ，這種誤差的大小與所量直線的長度成正比，而且正負號始終一致；又如，水準測量時，水準儀的視準軸不平行于水準管水準軸而引起的高差誤差等。系統誤差對測量結果的危害性極大，但是，由于系統誤差是有規律性的而可以設法將它消除或減弱。例如，鋼尺量距時，可以用尺長方程式對測量結果進行尺長改正；又如水準測量中用前后視距相等的辦法來減少儀器視準軸不平行與水準管軸給測量結果帶來的影響；經緯儀測角時用盤左盤右分別觀測取平均值的方法可以減弱視準軸不垂直于橫軸的影響等。

在相同的觀測條件下，對某一固定量進行多次觀測，如果測量誤差在正負號及量的大小表現出一致性的傾向，即保持為常數或按一定的規律變化的誤差，稱為系統誤差。2023/2/452、偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一固定量進行一系列觀測，如果測量誤差在正負號及數值上都沒有一定的規律性，從表面看沒有任何規律性，但大量的誤差有“統計規律”。例如量距和水準測量時小數的估讀誤差等，這類誤差稱為偶然誤差。在測量工作中，系統誤差和偶然誤差總是同時存在的，由于系統誤差具有積累性，它對觀測結果的影響尤為顯著，所以在測量時要利用各種方法消除系統誤差的影響，從而使測量誤差中偶然誤差處于主導地位。3、粗差在測量工作中，除了不可避免的誤差外，有時還會出現錯誤，或稱為粗差。如測量人員不正確地操作儀器，以及觀測過程中測錯，讀錯，記錯等，是由于觀測者疏忽而造成的。粗差在測量結果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除了認真作業外，常采用一些檢核措施，如重復觀測和多余觀測。（二）、處理原則粗差——細心，多余觀測系統誤差——找出規律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差2023/2/46（二）、處理原則系統誤差——找出規律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差粗差——細心，多余觀測2023/2/47在觀測結果中，主要存在的是偶然誤差，偶然誤差是不能用計算改正或用一定的觀測方法簡單地加以消除。為了減少偶然誤差對測量結果的影響，合理地處理觀測數據，有必要了解偶然誤差的特性。下面介紹一個測量中的例子：在相同的觀測條件下，對三角形的內角和進行觀測，三角形內角之和Ｌ值不等于其真值180°，差值△稱為閉合差或真誤差，即

i＝Li－180°（i＝1,2,…n）（1-7-1）現觀測了217個三角形，即n＝217，由上式計算的三角形內角和的真誤差共計217個。現按每3″為一區間，以誤差的大小及其正負號，分別統計個誤差區間的個數υ及相對個數υ／217，結果如表1-7-1。（三）偶然誤差特性2023/2/482023/2/49

表1-7-1可以看出：⑴小誤差出現的個數或百分比比大誤差的多；⑵絕對值相同的正負誤差的個數或百分比大致相等；⑶最大誤差不超過某一定值（本例為27″）。通過大量實踐的統計結果可以總結出偶然誤差具有以下統計特性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限度，或者說超過該限值的誤差的概率為零；2、絕對值較大的誤差比絕對值較小的誤差出現的概率大；3、絕對值相等的正負誤差出現的概率相同；4、同一量的等精度觀測，隨著觀測次數ｎ的無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨于零，即（1-7-2）式（1-7-2）表示偶然誤差的數學期望等于零。2023/2/410上述偶然誤差的第一個特性說明誤差出現的范圍；第二個特性說明誤差絕對值大小的規律；第三個特性說明誤差符號出現的規律；第四個特性可由第三個特性導出，它說明偶然誤差具有抵償性。測量誤差的分布還可以用直觀的圖形來表示，如圖1-7-1所示。圖中的橫坐標表示誤差的大小，在橫坐標軸上截取各誤差區間，縱坐標表示各區間誤差出現的相對個數υi／ｎ除以區間的間隔，這種圖稱為直方圖。直方圖上每一誤差區間上的長方形面積代表該區間誤差出現的頻率，圖中有斜線的矩形面積就代表誤差出現在+6″～+9″區間的頻率為0.069，顯然，圖中矩形面積之和為1。2023/2/411當觀測次數愈來愈多，誤差出現在個區間的頻率將趨于一個穩定值，也就是說在一定的條件下，對應著一個確定的誤差分布。隨著觀測次數的足夠多，如果把誤差的區間間隔無限縮小，圖1-7-1中的各矩形的上部折線將變為一條光滑曲線，如圖1-7-2所示，稱為誤差分布曲線。在數理統計中，該曲線稱為正態分布曲線圖1-7-1測量誤差的分布圖1-7-2誤差分布曲線2023/2/412其曲線方程為：

式（1-7-3）也稱概率分布密度，式中參數

σ是觀測誤差的標準差，也稱方差，它是評定測量精度的一個重要指標。（1-7-3）2023/2/413（三）測量精度在測量工作中，衡量觀測值的精度，通常采用以下幾種精度指標：1、中誤差、平均誤差、允許誤差和極限誤差對一組未知量ｘ作等精度觀測，其觀測值為Ｌi，真誤差為Δi，（i＝1，2，3，…），該組觀測值的中誤差用下式表示：

當觀測次數ｎ→∞時，顯然ｍ將趣近于σ，或者說中誤差是ｎ為有限值時標準差的估值（近似值）。即中誤差時衡量一組同精度觀測在ｎ為有限個數時的一個精度指標。。必須指出，同精度觀測具有相同的中誤差，而其真誤差彼此是不會相等的。（1-7-4）2023/2/4142023/2/415〖例〗設對某一三角形游用兩種不同的精度分別觀測了10次，其三角形內角和的真誤差為：第一組：+2″,－3″,+4″,+1″,0,-2″,-1″,,+2″,+3″,+4″第二組：0,-2″,+6″,+2″,+8″,-3″,+1″,+7″,-1″,+3″；這兩組觀測值（三角形內角和）的中誤差計算如下：

比較m1、m2的值可知,第一組的觀測精度比第二組的觀測精度高。2023/2/416一般來說，被觀測值的真值是不可知的，不能直接使用式（1-7-4）來計算中誤差，通常采用算術平均來代替真值，則精度可用下式表達：

式中ｘi為觀測值，ｖi為改正數，ｎ為觀測個數。式（1-7-5）即為利用觀測值改正數計算中誤差的公式，稱為白賽爾公式。（1-7-5）2023/2/417在測量工作中，對于評定一組同精度觀測值的精度而言，為了計算方便，歐美國家常采用下述精度指標：

θ稱為平均誤差，它是誤差絕對值的平均值。根據誤差理論，中誤差和平均誤差有以下近似的數量關系：

θ≈0.7979ｍ（1-7-6）（1-7-7）由偶然誤差的第一特性說明，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。根據誤差理論，大于中誤差的真誤差出現的概率為31.7％，大于兩倍中誤差的真誤差出現的概率為4.5％，大于三倍中誤差的真誤差出現的概率僅占3‰。可以認為，大于三倍中誤差的偶然誤差實際上是不可能出現的。故通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差：（1-7-8）2023/2/418實際測量工作中是不允許存在較大誤差的，通常測量規范中規定兩倍（或三倍）中誤差作為偶然誤差的允許值，稱為允許誤差：

或

大于允許誤差的觀測值被認為是不可靠的，應于剔除，重新新觀測。（1-7-9）（1-7-9）′2023/2/419真誤差和中誤差都是絕對誤差，評定精度時，單使用絕對誤差有時還不能反映測量的精度。例如，丈量兩條直線長度分別為100ｍ和50ｍ，其中誤差都是±0.01ｍ，顯然不能認為兩者的觀測精度是相同的。為此，利用絕對誤差和觀測值的比值Ｋ來評定精度，并要求其分之為1： （1-7-10）Ｋ值稱為相對誤差，若式中ｍ為中誤差則Ｋ稱為相對中誤差。2、相對誤差2023/2/420上例中：

Ｋ1＜Ｋ2，前者精度比后者高。值得指出的是，對于角度而言，測角誤差與角度的大小無關，不能用相對誤差來衡量測角精度。2023/2/421前面已經敘述了一組同精度觀測值的精度評定問題。但是在實際工作中許多未知量不可能或者不便于直接觀測，而是由一些直接觀測值根據一定函數關系計算而得。例如，欲測定兩點間的高差h，可由直接觀測的豎直角α和水平距離D以函數關系示 來計算。顯然函數ｈ的中誤差與觀測值D和存在一定的關系，闡述觀測值中誤差與觀測值函數中誤差的關系的定律，稱為誤差傳播定律。設有函數（1-7-11）式中 為獨立觀測值， 已知其中誤差為，求不便直接觀測的函數Z的中誤差。二、誤差傳播定律2023/2/422當xi具有真誤差△xi時，函數Ｚ相應地產生真誤差△Z，△xi和△Z都是小值，由數學分析可知，變量的微小變化和函數的微小變化之間的關系，可以近視地用函數全微分來表達，并通過用△xi和△Z取代微分符號ｄｘi和ｄZ，即

式中 （i＝1，2，3，…，n）為函數值對各自變量的偏導數。（1-5-12）2023/2/423設 ，（i＝1，2，3，…，n），則式（1-7-12）可以寫成：

為求得函數與觀測值之間的中誤差關系式，設想進行了Ｋ次觀測，則可以寫出Ｋ個式子：（1-7-13）2023/2/424將上面各式分別取平方后求和，然后兩端各除以Ｋ得：

設各觀測值xi為獨立觀測值，則△xi·△xj當i＝j時亦為偶然誤差,根據偶然誤差的第四個特性,式（1-7-14）中最末一項當Ｋ→∞時趣近于零，即：故（1-7-14）式可以寫成：（1-7-14）2023/2/425根據中誤差的定義，上式可以寫成：當認為Ｋ為有限值時，寫成中誤差形式：即

上式即為由獨立觀測值計算函數中誤差的一般形式。（1-7-15）2023/2/4261、水準測量精度設在Ａ、Ｂ兩點間用水準儀觀測了ｎ個測站，則Ａ、Ｂ兩點間的高差為：ｈ＝ｈ1＋ｈ2＋…＋ｈn設個測站為等精度觀測，其中誤差為ｍ站，由（1-7-15）式可知Ａ、Ｂ間的高差的中誤差為：

三、應用舉例（1-7-16）水準測量時，當各測站高差的觀測精度基本相同時，水準測量高差的中誤差與測站數的平方根成正比；同樣可知，當各測站距離大致相等時，高差的中誤差與距離的平方根成正比，即：或式中，Ｌ為Ａ、Ｂ的總長，ｌ為各測站間的距離，ｍ公里是每公里路線長的高差中誤差。即：2023/2/4272、由三角形閉合差計算測角精度設三角形的內角和為Ｌi，三內角的觀測值分別為 ，則：三角形的閉合差 ，其內角和閉合差的中誤差為：故，根據誤差傳播定律：所以：

（1-7-17）(1-7-17）式稱為菲列羅公式，該式是用真誤差Ｗi來計算測角中誤差的，它可以用來檢驗經緯儀的