平面點集與多元函數第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、平面點集坐標平面上滿足某種條件

的點的集合，稱為平面點集，并記作

常見平面點集全平面和半平面第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.鄰域:

以點X0=(x0,y0)為中心,以為半徑的圓內部點的全體稱為X0的鄰域.即記?(X0,)=U(X0,){X0

},稱為

X0的去心鄰域.如圖特殊的平面點集第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日X0X0U(X0,)?(X0,)當不關心鄰域半徑時,簡記為U(X0

)和

?(X0).第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日空心方鄰域與集方鄰域圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域的區別第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.

內點:設E是一平面點集,X0=(x0,y0)E,若存在鄰域U(X0,)E,則稱X0為E

的內點.E的全體內點所成集合稱為E的內部,記為D={(x,y)|x2+y2

1}如圖第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日xyox2+y2=111D易知,圓內部的每一點都是D的內點.但圓周上的點不是D的內點.第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日x+y=0xy0如圖D又如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見,直線上方每一點都是D的內點.但直線上的點不是D的內點.第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日若存在點的某鄰域使得則稱是集合的外點第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.邊界點:設E是一平面點集,X0=(x0,y0)是平面上一個點.若X0的任何鄰域U(X0,)內既有屬于E的點,又有不屬于E的點,則稱X0為E

的邊界點.E

的全體邊界點所成集合稱為E

的邊界.記作E.如,例1中定義域D

的邊界是直線x+y=0上點的全體.例2中定義域D

的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的邊界點可以是E中的點,也可以不是E中的點.第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.開集

設E是一平面點集,若E

中每一點都是E的內點.即E

intE,則稱E

是一個開集.由于總有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可說,比如,例1中D是開集,(D

=intD

),而例2中D不是開集.規定,,R2為開集.若E=intE,則稱E是一個開集.第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日xyoE又比如,E如圖若E不包含邊界,則E為開集.若E包含邊界,則E不是開集.第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日結論:

非空平面點集E為開集的充要條件是E中每一點都不是E的邊界點.即E不含有E的邊界點.證:必要性.

設E

為開集,XE,由開集定義知X為E的內點.故X不是E

的邊界點.第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日充分性.

若E中每一點都不是E的邊界點.要證E為開集.XE,由于X不是E的邊界點.故必存在X的一個鄰域U(X,),在這個鄰域U(X,)內或者全是E中的點.或者全都不是E中的點,兩者必居其一.由于XE,故后一情形不會發生.因此,U(X,)內必全是E中的點.故XintE,即,E

intE

,所以E是開集.第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.連通集

設E是一非空平面點集,若X,YE.都可用完全含于E的折線將它們連接起來,則稱E為連通集.如圖XYE連通YXE不連通第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日從幾何上看,所謂E是連通集,是指E是連成一片的.E中的點都可用折線連接.例1,2中的D都是連通集.如圖x+y=0xyoxyo11x2+y2=1第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.開區域(開域)設E是一平面點集.比如,例1中D是開區域.如圖.

E從幾何上看,開區域是連成一片的,不包括邊界的平面點集.若E是連通的非空開集,則稱E是開區域.第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.閉區域(閉域)若E是開域,記稱為閉區域.如圖.

E易見,例2中的D是閉區域.從幾何上看,閉區域是連成一片的.包括邊界的平面點集.(本書把)開區域和閉區域都叫作區域.第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日易見,例1中D是無界集,它是無界開區域,而例2中D是有界集,它是有界閉區域.若存在r>0,使EU(O,r),則稱E為有界集.否則稱E為無界集.8.設第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日9.聚點.設E是平面點集,X0是平面上一個點.若X0的任一鄰域內總有無限多個點屬于E.則稱X0是E

的一個聚點.從幾何上看,所謂X0是E的聚點是指在X0的附近聚集了無限多個E中的點.即,在X0的任意近傍都有無限多個E中的點.第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日X0如圖第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.聚點定義也可敘述為:若X0的任一鄰域內至少含有E中一個異于

X0的點.則稱X0為E的一個聚點.(自證).2.E的聚點X0可能屬于E,也可能不屬于E.3.E的內點一定是E的聚點.第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.若E是開區域.則E中每一點都是E的聚點.即,區域中的任一點都是該區域的聚點.一般,集合E的邊界點不一定是E的聚點.但若E是開集,則E的邊界點一定是E的聚點,自證.第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日定義若存在使得則稱點是的孤立點.

孤立點必為界點.第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日鄰域,內點,邊界點,開集,連通,有界,開區域,閉區域,聚點這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間R3中去,且有類似的幾何意義.它們還可推廣到4維以上的空間中去,但不再有幾何意義.第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日（3）點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．（1）內點一定是聚點；說明：（2）邊界點可能是聚點；例如，(0,0)既是邊界點也是聚點．第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日點集的直徑兩點的距離（或）

并有三角不等式第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日同時也有如下三角形不等式，即對上任何三點和都有例2證明：對任何恒為閉集

證明設為的任一聚點，要證.由聚點的定義，對任給，存在

第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日.又是的界點，所以對任意，由于上既有的點，又有非的點，于是上既有的點，又有非的點，由的任意性，推知是的界點，即，這就證明了為閉集.

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日二

中的完備性定理

1點列的極限

設為平面點列，為一固定，存在正整數，使時，有,則稱點列收斂于點,記作或

點.若對任給的正數得當第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日設則同樣的，當以表示點與的距離時，也就等價于

第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日2柯西收斂準則

定理16.1

（柯西準則）平面點列收斂的充要條件是：對任意，存在,當時，對一切正整數,都有

第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日定理16.2(閉域套定理)設是1)

2)

則存在唯一點

3閉域套定理中的閉域列，滿足：第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日4聚點原理

定理16.3（聚點原理）設為有界在中至少有一個聚點.無限點集，則推論：有界無限點列必存在收斂子列

第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日5有限覆蓋定理

定理16.4（有限覆蓋定理）設為有界閉域，為一開域族，它們覆蓋（即），則在中必存在有限個開域，它們同樣覆蓋（即）

三二元函數的定義第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日類似地可定義三元及三元以上函數．點集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數的兩個要素:定義域、對應法則.第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.例1求的定義域．解所求定義域為第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日