平穩(wěn)時間序列模型1第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日前言在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定只受各個解釋變量當期值的影響。但我們知道，在現(xiàn)實中很多被解釋變量除了受解釋變量當期值的影響外，還不可避免地受到解釋變量滯后值的影響，這就是所謂分布滯后模型，或者前若干期的值決定了當期值，即自回歸模型。這一類模型要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，本章將討論平穩(wěn)時間序列模型。2第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日§12.1分布滯后模型一、分布滯后模型的含義以消費函數(shù)為例，假定某人的年薪增加了10000人民幣，而且這一年薪的增加將一直保持下去。那么，這種收入的增加將會對個人的年消費支出產(chǎn)生什么影響呢？在得到收入的“永久性”增加后，人們通常不會急于把全部增加的收入一次性全部花完。比方說，收入增加者可能在收入增加后的第1年增加消費3000元，第2年增加2000元，第3年增加1000元，把所余的部分用于儲蓄。到第3年末，此人的年消費支出將增加6000元。因而我們可以把此人的消費函數(shù)寫成(12.1.1)式：

(12.1.1)3第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日像(12.1.1)式這樣的模型，如果時間序列模型中不僅包含解釋變量的當期值，而且包括解釋變量的滯后值，就把這種模型稱之為分布滯后模型(Distributed-lagModel)，也稱之為滯后變量模型。更一般地，我們把分布滯后模型寫成(12.1.2)式：

(12.1.2)如果k是有限的，稱模型(12.1.2)為有限分布滯后模型；如果k是無限的，稱模型(12.1.2)為無限分布滯后模型。4第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日分布滯后模型的幾個基本概念1.短期乘數(shù)(Impactmultiplier)系數(shù)表示x在當期一個單位的變化，導(dǎo)致y的同期變化值，因此稱為短期或即期乘數(shù)。2.中期乘數(shù)(Intermediatemultiplier)如果此后x的變化都保持在同一水平上，則給出下期y的變化，給出再下期y的變化，以此類推，這部分系數(shù)的和稱為中期乘數(shù)。3.長期乘數(shù)(Long-runmultiplier)

(12.1.3)稱之為長期乘數(shù)或總分布滯后乘數(shù)（Totaldistributed-lagmultiplier）。5第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日對分布滯后模型系數(shù)的假定通常在討論分布滯后模型時，總是假定：

(12.1.4)這一假定的經(jīng)濟學(xué)含義是：其一，解釋變量x對被解釋變量y的長期影響是有限的；其二，x的滯后時間越長，對y的當期影響逐漸衰減。6第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日進一步，我們定義：

(12.1.5)βi*是βi對的標準化，給出某一時期的沖擊效應(yīng)占長期沖擊或總沖擊（即總滯后乘數(shù)）的比例。

7第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日以(12.1.1)式為例

短期乘數(shù)為0.3，表示短期消費傾向(MPC)，而長期乘數(shù)為0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示長期消費傾向。也就是說，隨著收入增加1元，該消費者將在收入增加的當年提高他的消費水平約0.3元，第二年再提高0.2元，第三年再提高0.1元，即1元收入的增加對消費的長期效應(yīng)就是0.6元。如果我們將(12.1.1)的每一個βi除以0.6，就分別得到0.5，0.33和0.17，這表明x的一個單位變化的總效應(yīng)有50%在當期反映，第二期為33%，第三期為17%。

(12.1.1)8第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因1.心理性因素由于受到心理預(yù)期的影響，經(jīng)濟主體的大多數(shù)決策行為都會表現(xiàn)出滯后性。主要原因是人們受自身習(xí)慣的影響，往往不能快速調(diào)整自己的行為來適應(yīng)新的環(huán)境。2.時滯性因素例如，由于“蛛網(wǎng)效應(yīng)”的存在，農(nóng)產(chǎn)品供給量對價格的波動表現(xiàn)出時滯；從研究與開發(fā)(R&D)的投入到生產(chǎn)效率的提高，中間也涉及到相當長的時滯。3.制度性因素管理制度、合同等制度性因素也會導(dǎo)致滯后效應(yīng)。例如，一個消費者如果其存款結(jié)構(gòu)中定期存款占了較大比例，他要想改變理財計劃，或者調(diào)整自己的消費水平，就會受到銀行有關(guān)存款制度的限制。9第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、分布滯后模型的估計方法分布滯后模型估計的困難對于有限分布滯后模型，外生滯后變量模型的估計原則上可以使用OLS法。但是在具體應(yīng)用中還是存在一些實際問題：其一，解釋變量x的最大滯后階數(shù)k如何確定？如果k設(shè)定不正確，將帶來模型的設(shè)定偏誤問題。其二，滯后期數(shù)越長，自由度越小，這將導(dǎo)致模型估計不準或無法估計，并可能導(dǎo)致統(tǒng)計推斷失效。其三，即使樣本足夠大，即使不考慮自由度問題，由于x的各期之間往往是高度相關(guān)的，因而也可能遇到滯后解釋變量觀測值之間存在的多重共線性問題。對于無限分布滯后模型，由于x的最大滯后階數(shù)k是無限的，因此，直接應(yīng)用OLS無法估計無限分布滯后模型。10第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.阿爾特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估計法

為了確定解釋變量x的最大滯后期k，阿爾特和丁伯根提出了所謂順序估計法。其基本思路是：在假定隨機擾動項滿足經(jīng)典假設(shè)的前提下，首先做yt對xt的回歸，然后做yt關(guān)于xt和xt-1的回歸，再做yt關(guān)于xt、xt-1和xt-2的回歸，依次添加的滯后項，直到滯后階數(shù)不顯著或至少有一個滯后階數(shù)的系數(shù)改變符號時為止。阿爾特—丁伯根估計法的優(yōu)點是原理簡單，操作方便，但也存在一些缺陷，主要是解釋變量滯后長度的選擇存在數(shù)據(jù)挖掘(Datamining)問題和多重共線性問題。11第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日Alt-Tinbergen估計法的一個實例Alt根據(jù)1930年至1939年的季度數(shù)據(jù)，將燃油消耗量y依次對新訂貨單x及其滯后變量進行回歸，得到了如下結(jié)果：從上面的回歸結(jié)果可以看出，xt-2的符號不穩(wěn)定，并且xt-2

、xt-3的符號為負，其經(jīng)濟意義難于解釋，所以阿爾特最后選擇第二個回歸模型作為最佳估計式。12第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.阿爾蒙(Almon)估計法

(12.1.2)對于分布滯后模型(12.1.2)：我們通常要求其系數(shù)滿足條件(12.1.4)式

(12.1.4)即系數(shù)βi的和為有限以及βi漸進地趨于0，但βi以什么方式趨于0沒有作具體要求。13第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日阿爾蒙用多項式去逼近模型(12.1.2)中的系數(shù)βi

，阿爾蒙假定系數(shù)βi可以用下面的阿爾蒙多項式變換去逼近：i=0,1,2,…,k;m<k

(12.1.6)將(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各項，模型變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(12.1.7)其中，

(12.1.8)14第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日對于(12.1.7)式，滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS進行估計。將估計的參數(shù)代入(12.1.6)式，就可求出原分布滯后模型參數(shù)的估計值。在實際應(yīng)用中，阿爾蒙多項式的次數(shù)m應(yīng)視函數(shù)形式而定，但通常取得較低，一般取2或3，很少超過4，因為如果m的值取的過大，則達不到通過阿爾蒙多項式變換減少解釋變量個數(shù)從而提高自由度的目的。阿爾蒙估計法的最大優(yōu)點就是解決了自由度不足的問題，由于模型中解釋變量和待估參數(shù)都減少了，因此，一般不會有自由度不足的問題。此外，阿爾蒙估計法具有較大的靈活性。為了使參數(shù)結(jié)構(gòu)假定更好地符合的實際變化形式，可以通過改變多項式(12.1.6)的階數(shù)m，從而提高逼近的精度。阿爾蒙估計法也存在著一些缺陷。其一，滯后期數(shù)k數(shù)如何確定，阿爾蒙估計法本身并沒有解答；其二，多項式(12.1.6)階數(shù)m的確定往往具有主觀性。15第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日§12.2自回歸分布滯后模型所謂自回歸分布滯后模型，就是模型中的解釋變量包含被解釋變量的滯后項，如

(12.2.1)由于自回歸分布滯后模型描述了被解釋變量相對于它的過去值的時間路徑，故又稱之為動態(tài)模型(Dynamicmodel)，下面介紹幾種常見的自回歸模型。16第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、適應(yīng)性預(yù)期模型適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟理論基礎(chǔ)，認為經(jīng)濟活動主體是根據(jù)他們對某些經(jīng)濟變量的“預(yù)期”做出決策的。其核心思想是：影響yt的因素不是xt

，而是對xt

的預(yù)期，即：

(12.2.2)其中，yt為被解釋變量，為解釋變量預(yù)期值，ut為隨機擾動項。17第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于預(yù)期變量不可直接觀測，如何獲取解釋變量的預(yù)期值，是適應(yīng)性預(yù)期模型的難點。因此，實際應(yīng)用中需要對預(yù)期的形成機理做出某種假定，從而將不可直接觀測的預(yù)期變量用可觀測的變量xt表述出來。適應(yīng)性預(yù)期模型假定：

(12.2.3)其中，參數(shù)稱之為預(yù)期系數(shù)或調(diào)整系數(shù)。(12.2.3)式的含義是：如果，表明經(jīng)濟活動主體對解釋變量xt的當期預(yù)期值等于前一期預(yù)期值加上一個修正量，該修正量是前一期預(yù)期誤差的一部分。顯然，的值越接近1，調(diào)整幅度也越大，這一調(diào)整過程也叫做自適應(yīng)調(diào)整過程；如果，則，表明經(jīng)濟活動主體對xt的當期預(yù)期值和實際值完全相同，即預(yù)期是立即全部實現(xiàn)的；如果，則，表明經(jīng)濟活動主體將前期的預(yù)期值作為當期預(yù)期值。18第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日將(12.2.3)式改寫為：

(12.2.4)(12.2.4)式表明當期預(yù)期值是前一期預(yù)期值和本期實際值xt的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)分別為和。如果等于0，說明本期實際值被忽略，預(yù)期沒有進行修正。如果等于1，則以本期實際值作為預(yù)期值，本期預(yù)期與前一期預(yù)期無關(guān)。在一般情況下，0<<1。19第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：

(12.2.5)將(12.2.2)式滯后一期，并乘以得到：

(12.2.6)用(12.2.5)式減去(12.2.6)式，得到：

(12.2.7)

(12.2.8)(12.2.8)式顯然是一個一階自回歸分布滯后模型。20第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、部分調(diào)整模型部分調(diào)整模型(Partialadjustmentmodel)首先是由尼洛夫(Nerlove)基于這樣的事實提出的：為了適應(yīng)解釋變量的變化，被解釋變量有一個預(yù)期的最佳值與之對應(yīng)。例如，一個企業(yè)本期商品庫存量的最佳庫存值取決于當期實際銷售量；為了保持一定的經(jīng)濟增長水平，央行應(yīng)該有一個預(yù)期的最佳貨幣供應(yīng)量。因此，部分調(diào)整模型核心思想是考察自變量觀測值與同期因變量希望達到的最佳值之間的關(guān)系，用模型表述就是：

(12.2.9)其中，為被解釋變量的預(yù)期最佳值，xt為解釋變量的現(xiàn)值。21第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于被解釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測的，尼洛夫提出被解釋變量的實際變化僅僅是預(yù)期變化的一部分，即所謂部分調(diào)整假設(shè)：

(12.2.10)其中，δ為調(diào)整系數(shù)，它代表調(diào)整速度。yt-yt-1表示實際變化，y*t-yt-1表示預(yù)期的理想變化。δ越接近1，表明調(diào)整到預(yù)期最佳水平的速度越快。若δ=1，則yt=y*t，表明實際變動等于預(yù)期變動，調(diào)整在當期完全實現(xiàn)。若δ=0，則yt=yt-1，表明本期值與上期值一樣，完全沒有調(diào)整。通常情況下，0<δ<1。部分調(diào)整假設(shè)(12.2.10)式可以改寫成：

(12.2.11)即被解釋變量yt的實際值是本期預(yù)期最佳值y*t與前一期實際值的yt-1加權(quán)，權(quán)重分別為δ和1-δ。22第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模型的轉(zhuǎn)化形式：

(12.2.12)(12.2.12)式稱為部分調(diào)整模型，令，，，，(12.2.12)式可以改寫成：

(12.2.13)(12.2.13)式表明部分調(diào)整模型本質(zhì)上也是一個自回歸分布滯后模型。23第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、自回歸分布滯后模型的估計1.自回歸分布滯后模型的OLS估計量的性質(zhì)我們已經(jīng)討論了兩種自回歸分布滯后模型：適應(yīng)性預(yù)期模型和部分調(diào)整模型，這些模型都有如下的共同形式：

(12.2.14)如前述，以上兩種自回歸模型由于包含了被解釋變量滯后項yt-1作為解釋變量，以及隨機擾動項的形式發(fā)生了變化，導(dǎo)致yt-1與vt的相關(guān)，vt

也可能存在自相關(guān)，因此，OLS估計量是有偏的。顯然，最重要的問題是yt-1

與vt

的相關(guān)。24第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗為了解決自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗問題，Durbin在1970年提出了一個新的檢驗方法，即h檢驗法，也稱之為德賓h檢驗，其h統(tǒng)計量為：

(12.2.15)其中，n為樣本容量，為(12.2.14)式中系數(shù)的估計值的方差。為的一階自相關(guān)系數(shù)，通常取，d為通常意義下的DW統(tǒng)計量。這樣h統(tǒng)計量可以寫成：

(12.2.16)25第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日運用德賓h檢驗應(yīng)該注意的問題（2）如果自回歸分布滯后模型中包含多個解釋變量和多個滯后被解釋變量，德賓h檢驗仍然適用。（1）如果，h統(tǒng)計量無意義，德賓h檢驗的檢驗結(jié)果無效。26第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.自回歸分布滯后模型的工具變量估計法估計自回歸分布滯后模型必須處理的問題是yt-1與vt

的相關(guān)，常用的估計方法是工具變量(InstrumentVariable)估計。工具變量估計的核心思想是：既然yt-1與vt

相關(guān)，如果能找到這樣一個代理(Proxy)變量，這個變量與yt-1高度相關(guān)，但與vt

不相關(guān)，用代理變量代替，就可以消除yt-1與vt

相關(guān)的問題。27第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日在實際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見的方式是選用yt-1的估計值作工具變量，代替yt-1后進行估計，其步驟是：第一步，先對模型(12.2.17)進行OLS回歸：

(12.2.17)實際應(yīng)用時xt的滯后期k最多取3，假設(shè)估計結(jié)果為：

(12.2.18)滯后一期得到：

(12.2.19)第二步，以作為工具變量代替(12.2.14)式中的隨機解釋變量yt-1，可以得到：

(12.2.20)第三步，對(12.2.20)式進行最小二乘回歸，得到參數(shù)的估計值。28第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日§12.3ARMA模型時間序列ARMA模型由Box-Jenkins(1976)

年提出，在介紹ARIMA模型之前，為了分析的方便，我們先介紹時間序列分析的幾個基本概念。29第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、時間序列分析的幾個基本概念1.隨機過程由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，記為，簡記為xt。隨機過程也可以簡稱為過程，其中每一個元素xt都是隨機變量。將每一個元素的樣本點按序排列，稱為隨機過程的一個實現(xiàn)，即時間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。2.白噪聲過程對于一個隨機過程，如果均值E(xt)=0，；方差

，；協(xié)方差

()，那么這一隨機過程稱為白噪聲過程。30第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.平穩(wěn)隨機過程如果一個隨機過程的均值和方差在時間過程上都是常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差只和兩期間隔的時間長度相關(guān)，而和計算該協(xié)方差的實際時間不相關(guān)，則稱該隨機過程為平穩(wěn)隨機過程，也稱之為協(xié)方差平穩(wěn)過程或者弱平穩(wěn)過程。用公式表述就是，對于一個隨機過程xt

，如果其均值，方差，協(xié)方差的大小只與k的取值相關(guān)，而與t不相關(guān)，則稱xt為平穩(wěn)隨機過程。白噪聲過程顯然是一個平穩(wěn)過程。31第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對時間序列分析非常重要，經(jīng)典的時間序列回歸分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。直觀的看，平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以看作是一條圍繞其均值上下波動的曲線。下面，我們用由Eviews軟件模擬一個均值為5、標準差為0.2、樣本量為500的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。圖12.1平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例32第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日4.自相關(guān)函數(shù)對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望和方差均為常數(shù)，而滯后k期的自協(xié)方差就是相隔k期的兩個隨機變量xt與xt+k的協(xié)方差，定義為：自協(xié)方差隨著k的依次取值構(gòu)成了序列，稱為隨機過程xt

的自協(xié)方差函數(shù)。當k=0時，自協(xié)方差退化為方差，即xt與xt+k

之間的自相關(guān)系數(shù)定義如下：

(12.3.1)33第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日因為，對一個平穩(wěn)隨機過程有：所以(12.3.1)式可以改寫為：對應(yīng)的樣本自相關(guān)系數(shù)為：

(12.3.2)由(12.3.2)定義的構(gòu)成的序列(k=…,-2,-1,0,1,2…)，稱為自相關(guān)函數(shù)，用于考察隨機變量的樣本與其滯后期的相關(guān)強度。34第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.偏自相關(guān)函數(shù)回顧第四章中介紹的多元回歸模型的偏回歸系數(shù)，所反映的是在其他解釋變量保持不變的情況下，某個解釋變量對被解釋變量條件期望值的邊際影響，即偏效應(yīng)。偏自相關(guān)函數(shù)的含義和偏回歸系數(shù)類似。用表示k階自回歸模型中第j個回歸系數(shù)，則k階自回歸模型為:

(12.3.3)其中是最后一個回歸系數(shù)。若把看作是滯后期k的函數(shù)，則稱

(12.3.4)為偏自相關(guān)函數(shù)。可以看出，上式中每一個回歸系數(shù)恰好表示xt與xt-k在排除了其中間變量影響之后的相關(guān)系數(shù)，所以偏自相關(guān)函數(shù)由此得名。35第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、ARMA模型概述時間序列ARIMA模型一般可分為四種類型，即自回歸模型(AR)、移動平均模型(MA)、自回歸移動平均模型(ARMA)和積分自回歸移動平均模型(ARIMA)。36第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.自回歸模型概述

（1）自回歸模型的定義如果一個隨機模型中的元素僅僅受其滯后項和服從白噪聲過程的隨機擾動項的影響，則稱這種模型為自回歸模型(AutoRegression，AR)。如一階自回歸模型，記作AR(1)，可用下式表示：

(12.3.5)其中為自回歸參數(shù)，隨機項ut為服從0均值，方差為的正態(tài)分布，且相互獨立的白噪聲序列。

(12.3.6)更一般地，p階自回歸模型，記作AR(p)，可用下式表示：37第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）自回歸模型的平穩(wěn)條件只有產(chǎn)生時間序列的隨機過程是平穩(wěn)的，運用自回歸模型才有意義。因此，我們首先探討自回歸模型的平穩(wěn)條件。直觀的看，自回歸模型AR(1)的平穩(wěn)性條件是。Why?一階自回歸模型(12.3.5)可寫為：……

(12.3.7)可以看出，一階自回歸模型(12.3.5)實際上是白噪聲序列的線性組合。若保證AR(1)模型具有平穩(wěn)性，必須收斂，即必須滿足。38第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.移動平均模型(MA)概述（1）移動平均模型的定義若時間序列xt為它的當期和滯后若干期隨機擾動項的線性組合，即：

(12.3.8)其中，是參數(shù)，ut是均值為0，方差為的白噪聲過程，稱(12.3.8)式為q階移動平均(MovingAverage，MA)模型，記為MA(q)。之所以稱為“移動平均”，是因為xt是由ut的加權(quán)和構(gòu)造而成，類似于一個平均。由定義可知，任何一個q階移動平均過程都是由q+1個白噪聲過程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過程是平穩(wěn)的，所以任何一個移動平均模型都是平穩(wěn)的。39第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）移動平均模型的可逆性對于MA(1)模型：

(12.3.9)給定條件，如果MA(1)模型可以表述為

(12.3.10)即MA(1)模型可以轉(zhuǎn)化為一個無限階的自回歸模型，我們稱MA(1)模型具有可逆性。由AR(p)模型平穩(wěn)性可知，MA(1)模型具有可逆性的條件是<1。更一般地，任何一個可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個無限階的自回歸模型。40第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）自回歸模型與移動平均模型的關(guān)系以上的分析說明，一個平穩(wěn)的AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個無限階的移動平均模型；一個可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個無限階的自回歸模型。AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。MA(q)模型，只需考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。41第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.自回歸移動平均模型(ARMA)概述（1）自回歸移動平均模型的含義如果時間序列xt為它的當前與前期的隨機擾動項，以及它的前期值的線性函數(shù)，即

(12.3.11)則稱上述模型為自回歸移動平均模型，記為ARMA(p,q)，其中p和q分別表示自回歸和移動平均部分的最大階數(shù)。（2）自回歸移動平均模型的平穩(wěn)性和可逆性

ARMA(p,q)過程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分；ARMA(p,q)過程的可逆性則只依賴于移動平均部分。42第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、ARMA模型的識別對于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型，在進行參數(shù)估計之前，需要進行模型的識別。識別就是確定模型的階，即確定AR(p)模型中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型中的p和q。識別的主要工具是自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)及其圖形。43第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.AR(p)模型的識別

可以證明，AR(p)模型自相關(guān)函數(shù)的遞推公式為：

(12.3.15)由此可見，AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，稱為拖尾序列，時間間隔越長，自相關(guān)的程度越弱。因此，自相關(guān)函數(shù)拖尾，是AR(p)模型的一個明顯的特征。(12.3.15)式表明，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為p+1處為0。也就是說，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)在p+1呈現(xiàn)出截尾特征。因此，可以基于AR(p)模型的截尾特征確定其階數(shù)p。44第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的計算看起來較為復(fù)雜，但是計量經(jīng)濟學(xué)軟件都有自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的菜單，使用起來非常方便。以Eviews軟件為例，我們來看AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。45第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日圖12.3AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖自相關(guān)圖呈現(xiàn)出拖尾特征

偏自相關(guān)圖在1階以后呈現(xiàn)出截尾特征46第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.MA(q)模型的識別可以證明：MA(q)模型只有q期記憶，自相關(guān)函數(shù)在q處截尾。也就是說，我們可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點開始為0來判斷MA(q)模型的階。對于MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，由于任何一個可逆的MA(q)模型都可以轉(zhuǎn)化為一個系數(shù)按幾何遞減的AR(p)模型，所以MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)緩慢衰減的特征，即拖尾特征。47第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日圖12.4MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)圖呈現(xiàn)出拖尾特征

自相關(guān)圖在1階以后呈現(xiàn)出截尾特征48第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.ARMA(p,q)模型的識別ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)，可以看作AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當p=0時，它具有截尾性質(zhì)；當q=0時，它具有拖尾性質(zhì)；當p、q均不為0時，如果當p、q均大于或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)類似。根據(jù)q的取值不同以及參數(shù)θi的不同，ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減或正弦衰減混合形式。49第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日圖12.5ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

從圖12.5可以看出，ARMA(1,1)模型的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖均是在k=1達到峰值后呈現(xiàn)出按指數(shù)衰減的拖尾特征。50第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日圖12.6ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖從圖12.6可以看出，ARMA(2,2)模型的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖在k=1、2達到兩個峰值后按指數(shù)或正弦衰減。51第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日4.ARMA模型的識別規(guī)則如果平穩(wěn)時間序列xt的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則xt是ARMA(p,q)模型。至于模型中的p和q階具體取什么值，則要從低階開始逐步試探，直到合適的模型為止。52第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日§12.4向量自回歸模型（VAR）

一、VAR模型的含義及特點1980年，Sims提出了向量自回歸模型(Vectorautoregressivemodel,VAR)。VAR模型采用多方程聯(lián)立的形式，但與聯(lián)立方程模型需要區(qū)分內(nèi)生變量和外生變量不同的是，VAR模型假定在模型中的變量全部為內(nèi)生變量，內(nèi)生變量對模型的全部內(nèi)生變量的滯后項進行回歸，從而估計全部內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系。由于VAR模型在預(yù)測方面的精度遠高于聯(lián)立方程模型，加之估計方法較聯(lián)立方程模型簡單等優(yōu)勢，VAR模型自誕生以來，逐漸取代了聯(lián)立方程模型，在實際運用中占有重要地位。53第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日我們首先分析最簡單的雙變量VAR模型。假設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值(yt)與貨幣供應(yīng)量(xt)之間的關(guān)系可以用下式來表述：

(12.4.1)其中，，。隨機擾動項在VAR術(shù)語中也稱之為新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩陣表示為：

(12.4.2)

(12.4.3)54第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日(12.4.3)式稱之為一階向量自回歸模型，記為VAR(1)。所謂“自回歸”，是因為模型的右端出現(xiàn)被解釋變量的滯后項，而“向量”是因為模型涉及到兩個或兩個以上的變量，不同于前述的單個變量的AR(p)模型。更一般地，若有n個內(nèi)生變量并滯后p期，即：

(12.4.4)

y1t,y2t,…,ynt表示n個不同的內(nèi)生變量，n個變量的VAR(p)為：

(12.4.5)VAR(p)55第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日VAR模型的特點

1.VAR模型不以嚴格的經(jīng)濟理論為依據(jù)，對變量不施加任何協(xié)整限制，因而上述的VAR模型也稱之為非限制性向量自回歸模型(UnrestrictedVAR)。2.VAR模型的解釋變量中不包括任何當期變量。如果包含當期變量，就是所謂結(jié)構(gòu)性向量自回歸模型(StructuralVAR,SVAR)所分析的問題。3.非限制性VAR模型在預(yù)測方面具有優(yōu)勢，特別是樣本外的近期預(yù)測。因為在VAR模型中的解釋變量不含有當期變量，這種模型用于樣本外一期預(yù)測的優(yōu)點是不必對解釋變量在預(yù)測期內(nèi)的取值做任何預(yù)測。4.VAR模型包含較多的待估參數(shù)，比如一個包含兩個變量的VAR(2)模型，其最大滯后期k=2，則有kn2=2×22=8個參數(shù)需要估計。當樣本容量較小時，多數(shù)參數(shù)的估計量誤差較大，加之VAR模型不以嚴格的經(jīng)濟理論為依據(jù)，所以對于模型的參數(shù)估計值，通常并不分析其經(jīng)濟意義。5.一般而言，VAR模型是針對平穩(wěn)數(shù)據(jù)的模型，在建立VAR模型之前，可對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗，檢驗方法可按照AR(p)的平穩(wěn)性進行檢驗。

56第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、VAR模型滯后期的選擇

建立VAR模型一個重要的問題就是如何正確地確定滯后期k。一方面，如果k值過大，會導(dǎo)致自由度減小，直接影響VAR模型參數(shù)估計量的有效性。另一方面，k值太小，誤差項的自相關(guān)會很嚴重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計，因為在VAR模型中適當增加滯后變量的個數(shù)，可以消除誤差項中存在的自相關(guān)。現(xiàn)有的確定滯后階數(shù)的方法主要包括似然比(LR)法、信息準則法等。57第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.確定滯后階數(shù)的赤池信息準則

(12.4.6)其中，表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇最佳k值的原則是使AIC的值達到最小。2.確定滯后階數(shù)的施瓦茨信息準則

(12.4.7)選擇最佳k值的原則也是使SC值達到最小。SC準則也可以稱之為貝葉斯信息準則(BayesInformationCriterion，BIC)。58第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、VAR模型的估計因VAR模型的每個方程中只包含內(nèi)生變量及其滯后項，它們與擾動項是uit(i=1,2,…,n)漸近不相關(guān)的，所以可以用常規(guī)的最小二乘法依次估計每一個方程，得到參數(shù)的一致估計量。即使擾動項有同期相關(guān)，OLS估計仍然是適用的。而且，在VAR模型中，各變量的滯后直接出現(xiàn)在模型之中，由此導(dǎo)致擾動項序列不相關(guān)的假設(shè)并不嚴格要求。59第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日四、VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)我們已經(jīng)論述了，VAR模型不是建立在經(jīng)濟理論基礎(chǔ)之上的，是一種乏理論(Atheoretic)的模型，無需對變量作任何先驗性的約束。因此，在分析VAR模型時，往往不分析一個變量的變化對對另一個變量的影響，而是分析當一個誤差（脈沖）項發(fā)生變化，也就是模型受到某種沖擊時對系統(tǒng)的動態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Impulseresponsefunction，IRF)分析法。60第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日脈沖響應(yīng)函數(shù)作用的原理首先考慮下面的雙變量VAR(1)模型

(12.4.8)假定VAR模型(12.4.8)式從第0期開始活動，并設(shè)x-1=y-1=0，設(shè)于第0期給定擾動項u10=1，u20=0，并且其后均為0，即u1t=u2t=0（t=1,2,…），即第0期給x以脈沖，下面我們來分析x和y在不同時期對來自x的脈沖u10=1的響應(yīng)。61第六