主講：張延飛二〇一二年八月經濟數學模型與方法第二部分微分方程與差分方程1人口預測和控制2

傳染病模型3

市場經濟中的蛛網模型動態模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規律

預報對象特征的未來性態

研究控制對象特征的手段根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模根據建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規律或用類比法建立微分方程第二部分微分方程與差分方程1人口預測和控制背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長1人口預測和控制指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數地區人口增長規律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0xmxm/2x(t)~S形曲線,x增加先快后慢tx0xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)體現了資源和環境等因素對人口增長的阻滯作用體現人口自身的增長趨勢參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm

利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0人口預測和控制年齡分布對于人口預測的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發展方程人口發展方程一階偏微分方程人口發展方程~已知函數（人口調查）~生育率（控制人口手段）0tr人口分布函數社會安定和不太長時間內生育率的分解~總和生育率h~生育模式0人口發展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統

滯后作用很大人口指數1）人口總數2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第二部分微分方程與差分方程2傳染病模型2傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數的變化規律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個病人每天有效接觸人數為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期

~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。模型3i0i0接觸數=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數=/建模需建立的兩個方程模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛生水平(日治愈率)醫療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數比例xs0-1/=第二部分微分方程與差分方程3

市場經濟中的蛛網模型3市場經濟中的蛛網模型問題供大于求現象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求描述商品數量與價格的變化規律數量與價格在振蕩蛛網模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關系生產者的供應關系減函數增函數供應函數需求函數f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩定平衡點P1P2P3P4P0是不穩定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網模型在P0點附近用直線近似曲線P0穩定P0不穩定方程模型方程模型與蛛網模型的一致~商品數量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產者對價格的敏感程度小,有利于經濟穩定小,有利于經濟穩定xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格經濟穩定結果解釋經濟不穩定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變為水平供應曲線變為豎直模型的推廣

生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。生產者管理水平提高設供應函數為需求函數不變二階線性常系數差分方程