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第3章曲線擬合的最小二乘法

給出一組離散點，確定一個函數逼近原函數，插值是這樣的一種手段。

在實際中，數據不可避免的會有誤差，插值函數會將這些誤差也包括在內。

因此，我們需要一種新的逼近原函數的手段：①不要求過所有的點（可以消除誤差影響）；②盡可能表現數據的趨勢，靠近這些點。

有時候，問題本身不要求構造的函數過所有的點。如：5個風景點，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風景點的距離和最小。先講些預備知識

對如上2類問題，有一個共同的數學提法：找函數空間上的函數g，使得g到f的距離最小。定義1：向量范數映射：滿足：①非負性②齊次性③三角不等式稱該映射為向量的一種范數預備知識我們定義兩點的距離為：常見的范數有：定義2：函數f，g的關于離散點列的離散內積為：定義3：函數f的離散范數為提示：該種內積，范數的定義與向量的2－范數一致我們還可以定義函數的離散范數為：f(x)為定義在區間[a,b]上的函數，為區間上n+1個互不相同的點，為給定的某一函數類。求上的函數g(x)滿足f(x)和g(x)的距離最小如果這種距離取為2－范數的話，稱為最小二乘問題曲線擬合的最小二乘問題定義下面我們來看看最小二乘問題：求使得最小設最小則即關于系數由于它關于系數最小，因此有：即寫成矩陣形式有：法方程由的線性無關性，知道該方程存在唯一解①第一步：函數空間的基，然后列出法方程②第一步：函數空間的基，然后列出法方程例：第一步：函數空間的基，然后列出法方程由，可以先做求解一個矛盾方程組，計算的是在均方誤差

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