隨機信號分析

RandomSignalAnalysis水聲工程學院CollegeofUnderwaterAcousticEngineering第二章隨機過程

1.隨機過程的基本概念及其統計特性

2.平穩隨機過程和遍歷性過程

3.正態隨機過程

本章重點第二章隨機過程噪聲電壓的起伏波形Brownianmotion[2]

交流發電機輸出電壓其中r和φ為隨機振幅和隨機相位。單個樣本函數為2.1隨機過程的基本概念及其統計特性

定義1：設隨機試驗E的樣本空間S＝{ζ},若對每個元素ζ∈S，總有確知的時間函數X(t,ζ),t∈T與它相對應；這樣，對于所有的ζ∈S，就可以得到一族時間t的函數，將其稱為隨機過程。族中的每一個函數稱為該過程的樣本函數。特定實驗結果一個確知的時間函數定義2：若對于每個特定的時間都是隨機變量，則稱為隨機過程。一個特定時間一個取決于ζ的隨機變量定義1定義2常用于對隨機過程的實際觀測用實驗方法觀測到各個樣本樣本數目越多，越能掌握隨機過程的統計規律性常用于理論分析可以看成隨機變量的推廣（n維）隨機變量的維數越大，越能掌握隨機過程的統計規律性4一個確定值（t和ζ都固定）2

一個確知的時間函數(t是變量，而ζ固定）1

一個時間函數族（t和ζ都是變量）3一個隨機變量（t固定，而ζ是變量）隨機過程X(t)在四種不同情況下的含義2.1.2隨機過程的分類

一、按X(t)的時間和狀態是離散還是連續進行分類1、連續型隨機過程－－任意的都是連續型隨機變量；2、離散型隨機過程－－任意的都是離散型隨機變量；3、連續隨機序列－－任意離散時刻的狀態是連續型隨機變量；4、離散隨機序列－－隨機過程的時間和狀態都是離散的。二、按隨機過程的樣本函數的形式不同進行分類1、不確定性隨機過程－－樣本函數的未來值不能由過去的觀測值準確預測；2、確定性隨機過程－－樣本函數的未來值可以由過去的觀測值預測。三、按隨機過程X(t)的的分布函數或概率密度的不同特性分類1、正態過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程2、平穩性過程、遍歷性3、寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲2.1.3隨機過程的概率分布時刻采樣，得到一族隨機變量不同采樣時刻的概率密度函數

將對隨機變量的研究推廣到隨機過程中去。一、一維概率分布隨機過程在任一特定時刻取樣得到隨機變量，其概率分布為稱作隨機過程X(t)的一維分布函數。求偏導數數可得稱作隨機過程X(t)的一維概率密度。隨機過程的一維分布函數和一維概率密度具有一維隨機變量的一維分布函數和一維概率密度的各種性質；隨機過程的一維分布函數和一維概率密度還是時間t的函數；隨機過程的一維分布函數和一維概率密度描述該隨機過程在任一孤立時刻取值的統計特性。二、二維概率密度隨機過程X(t)的二維分布函數為

隨機過程X(t)的二維概率密度為三、n維概率分布隨機過程X(t)的n維分布函數為隨機過程X(t)的n維概率密度為

隨機過程X(t)的n維分布函數的主要性質：5、4、3、2、1、6、如果統計獨立，則有全局特征N維概率密度二維概率密度一維概率密度自相關函數功率譜密度均值方差高階矩高階譜高階矩局部特征2.1.4隨機過程的數字特征

2.1.4隨機過程的數字特征

在實際應用中，要確定隨機過程的概率分布族，并加以分析，常比較困難；隨機變量的數字概念推廣到隨機過程中去；隨機過程數字特征通常不再是確定數值，而是確定的時間函數。一、數學期望隨機過程X(t)在任意一個時刻t的取值是一個隨機變量X(t)，將其任意取值x(t)簡計為x，由隨機變量的數學期望定義可得為時間的確定函數，稱為隨機過程的數學期望。二、均方值和方差隨機變量X(t)的二階原點矩為隨機過程X(t)的均方值。

隨機過程X(t)的數學期望

隨機變量X(t)的二階中心矩為隨機過程X(t)的方差。為中心化隨機過程。均方值和方差都是t的確定函數；方差描述了諸樣本對于其數學期望的偏離程度；二、自相關函數隨機過程的自相關函數定義為相關函數反映了X(t)在任意兩個時刻的狀態之間的線性相關程度。當時α-相依過程如果隨機過程X(t)的自相關函數滿足則稱X(t)是相關α-相依的。具有相同數學期望和方差的兩個不同的隨機過程具有相同數學期望和方差的兩個不同的隨機過程

隨機過程的協方差函數為

協方差函數描述了在任意兩個時刻的起伏值之間的相關程度。協方差函數與相關函數之間的關系：

當時，有

推導可得數學期望和相關函數是隨機過程兩個最基本的數字特征，其它數字特征都可以通過二者間接求得。【例題】分析正弦型隨機相位信號

解：2.1.5隨機過程的特征函數

概率密度和特征函數是一對傅立葉變換。利用特征函數可以簡化運算。一、一維特征函數稱為隨機過程X(t)的一維特征函數。一維特征函數的傅立葉反變換為隨機過程X(t)的n階原點矩函數為二、二維隨機過程

隨機過程X(t)的相關函數可表示為三、隨機過程的n維特征函數稱為隨機過程X(t)的n維特征函數。

稱為隨機過程X(t)的二維特征函數。其傅立葉反變換為傅立葉反變換為

2.2.2隨機過程相等

[1]

隨機過程X(t)、Y(t)的所有樣本函數皆相同，則稱兩個隨機過程（處處）相等。

如果則稱隨機過程X(t)、Y(t)在均方意義下相等。2.2.3 隨機過程的微分及其數學期望與相關函數隨機過程X(t)的導數通常意義下的導數——每個樣本函數都存在均方意義下的導數——均方（m.s.）導數

設Y(t)為可微過程X(t)的導數，其數學期望為Y(t)的相關函數2.2.4 隨機過程的積分及其數學期望與相關函數對于給定的實隨機過程X(t)，我們構成積分

若對過程X(t)的每個樣本函數X(t,ζ)，在黎曼意義下此積分存在，則相應于每個試驗結果ζ，積分都可得到一個數Y(ζ)；但是對不同的ζ，積分值Y(ζ)也是不同的，故對所有試驗結果，Y是一個隨機變量。也就是說，過程X(t)在確定區間[a,b]上的積分Y是一個隨機變量。而對過程的每一個樣本來說，此積分是通常意義下的積分。若則稱隨機變量為過程X(t)在確定區間[a,b]上的均方積分。相關函數數學期望2.3平穩性隨機過程和遍歷性過程2.3.1平穩隨機過程

一、嚴平穩隨機過程及其數字特征1、嚴平穩隨機過程的定義設有隨機過程X(t)，若它的n維概率密度不隨時間起點的選擇的不同而改變，即對于任何的n和ε，過程X(t)的n維概率密度滿足則稱X(t)為嚴平穩隨機過程或狹義平穩過程。嚴平穩隨機過程的統計特性與所選取的時間起點無關。2、嚴平穩隨機過程的一、二維概率密度及數字特征（1）若X(t)是嚴平穩隨機過程，則它的一維概率密度與時間無關令可得

進一步可求得均值均方值方差（2）嚴平穩隨機過程二維概率密度只與t1、t2的時間間隔有關，而與時間起點無關。令可得這時過程X(t)的自相關函數為協方差函數為當t1＝t2，即τ＝0時二、寬平穩隨機過程滿足則稱X(t)為寬平穩隨機過程或廣義平穩隨機過程。只涉及與一、二維概率密度有關的數字特征；嚴平穩過程只要均方值有界，則它必定是寬平穩的，反之不一定成立；正態隨機過程的寬平穩與嚴平穩是等價的。【例題】設隨機過程式中，a、ω0皆為常數，Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨機變量。試問：X(t)是否是平穩的隨機過程？為什么？解：隨機變量Φ的概率密度為X(t)的均值X(t)的自相關函數【例題】其中X(t)平穩過程，ω0是確定量，相位Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨機變量。Φ與X(t)統計獨立。試討論Y(t)的平穩性。解：Y(t)的均值為Y(t)的相關函數因此Y(t)具有平穩性。故X(t)為寬平穩隨機過程。2.3.2遍歷性過程

一般隨機過程要對大量樣本函數在特定時刻取值，用統計方法到數字特征。這種方法成為統計平均或集合平均，也簡稱為集平均。辛欽證明：在具備一定的補充條件下，對平穩隨機過程的一個樣本函數取時間均值，就從概率意義上趨近于此過程的統計均值。任何一個樣本函數的特性都能充分地代表整個隨機過程的特性。具有遍歷性的隨機過程X(t)

二、遍歷性的實際意義任一樣本函數的時間平均可以代替整個過程的統計平均；遍歷過程的一、二階距函數具有明確的物理意義；電壓信號直流分量總平均功率交流平均功率電壓有效值

不具備遍歷性的平穩過程2、平穩隨機過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件為證明：是隨樣本函數不同而變化的隨機變量，其數學期望為對于平穩過程X(t)，可得的方差為變量替換可得由X(t)的遍歷性可得

由切比雪夫不等式即，依概率收斂于。因由方差性質可知，依概率1成立。3、自相關函數的遍歷性定理。平穩隨機過程X(t)的自相關函數具有遍歷性的充要條件為

令，就可得到均方值具有遍歷性的充要條件。4、對于正態平穩隨機過程，若均值為零，自相關函數連續，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為【例題】隨機過程其中A和Φ是相互獨立的隨機變量，A在(0,1)上均勻分布，Φ在(0,2π）上均勻分布。隨機過程X(t)是否具有遍歷性？解：首先判斷X(t)是否具有平穩性

可得隨機過程X(t)均值具有遍歷性。時間相關函數為因此隨機過程不具有遍歷性。2.3.3平穩隨機過程相關函數的性質一、平穩隨機過程自相關函數的性質12證：3證：正函數的數學期望恒為非負值，即在零點以外也可能有最大值4周期平穩隨機過程的自相關函數必為周期函數，且它的周期與過程的周期相同。5若平穩隨機過程含有一個周期分量，則自相關函數也含有一個同周期的周期分量。6平穩隨機過程中不含有任何周期分量，則

證：

證：

7若平穩過程含有平均分量（均值），則相關函數也將含有平均分量，且等于均值的平方，即8平穩隨機過程的自相關函數必須滿足二、平穩過程的相關系數和相關時間

1相關系數rX(τ)τrX(τ)τ2相關時間定義1相關系數由其最大值1下降到0.05所經歷的時間間隔，計做相關時間。定義2矩形面積等于陰影面積來定義相關時間。rX(τ)τ10.05τ0τ0【例題】已知平穩隨機過程X（t）的自相關函數為

求均值、均方差和方差。解：2.4隨機過程的聯合概率分布和互相關函數2.4.1兩個隨機過程的聯合概率分布

隨機過程X(t)和Y(t)的多維概率密度分別為

定義兩個隨機過程的多維聯合分布函數為定義兩個隨機過程多維聯合概率函數為

如果則稱隨機過程是相互獨立的。如果兩個隨機過程的聯合概率密度不隨時間變化，即與時間起點無關，則稱此過程為聯合嚴平穩或嚴平穩相依過程。2.4.2互相關函數

互相關函數的定義為互協方差函數定義為

如果兩個寬平穩隨機過程則稱隨機過程X(t)和Y(t)為聯合寬平穩或寬平穩相依。寬平穩隨機過程的互相關函數的性質：1、

隨機過程正交隨機過程的不相關互相關函數與互協方差存在如下關系2、3、4、歸一化相關函數或標準互協方差函數

時間互相關函數定義為如果稱過程X(t)和Y(t)具有聯合寬遍歷性。例題：設兩個連續時間相位隨機信號其中為常數，在上均勻分布，求互協方差函數。解：這兩個過程的均值為零，都是寬平穩的。即過程X(t)和Y(t)在某些時刻是正交的、不相關的。但兩者并不獨立。因此是聯合平穩的。2.5復隨機過程2.5.1復隨機變量

復隨機變量定義為數字特征推廣到復隨機變量時必須遵循的原則是：在特殊情況下，即當Y＝0時，Z的數字特征應該等于隨機變量X的數字特征。復隨機變量的數學期望復隨機變量的方差復隨機變量Z1和Z2的相關矩兩個隨機變量獨立

Z1

和Z2相互獨立

兩個隨機變量不相關

Z1和Z2不相關兩個隨機變量正交

Z1和Z2正交2.5.2復隨機過程

復隨機過程的定義其概率密度為其數學期望為

其自相關函數為和協方差函數

平穩復隨機過程其方差為

復平穩隨機過程的互相關函數和互協方差函數復平穩隨機過程的不相關復平穩隨機過程的正交

2.6正態隨機過程2.6.1正態隨機過程的一般概念

正態隨機過程X(t)的n維概率密度為

式中是n維向量，是n維矩陣。

正態隨機過程的n維概率密度只取決于其一、二階矩函數——數學期望、方差和相關系數。n維概率密度為2.6.2平穩正態隨機過程

若正態隨機過程X(t)

此正態隨機過程稱為廣義平穩正態隨機過程。2.6.3正態隨機過程的性質

1、正態隨機過程的n維概率密度完全取決于它的均值集合和協方差函數集合。2、正態過程的寬平穩與嚴平穩等價。3、如果正態隨機過程X(t)在n個不同時刻采樣，所得一組隨機變量為兩兩互不相關，即

則，這些隨機變量也是相互獨立的。證明：X(t)的n維概率密度為4、平穩正態隨機過程X(t)與確定性信號之和的概率分布仍為正態分布。證明：s(t)的概率密度可以表示為Y(t)的一維概率密度為故合成信號的一維概率密度也是正態的。同理，合成信號的二維概率密度為合成信號的一維概率密度也是正態的。n維概率密度也是正態的。5、若為n維正態隨機變量，又均方收斂于即對每個i有則X也是正態分布的隨機矢量。6、若正態隨機過程在T上是均方可微的，則也是正態過程。7、若正態隨機過程在T上是均方可積的，則是正態隨機過程。【例題】設隨機過程A與B是兩個獨立的正態隨機變量。且E[A]=E[B]=0，而為常數。求此過程的一、二維概率密度。解：正態隨機變量的線性組合仍為正態隨機變量；正態隨機變量的概率密度只由均值和協方差確定。

X(t)的均值為

X(t)的相關函數為因為X(t)的均方值和均方差為因此，X(t)為平穩隨機過程。一維概率密度為為求二維概率密度只要再求相關系數X(t)的二維概率密度為所以本章小結隨機過程的基本概念及其統計特性－－－定義、分類、概率分布、數字特征平穩隨機過程和遍歷性過程－－－平穩性、遍歷性、自相關函數的性質隨機過程的聯合概率分布和互相關函數－－－聯合概率分布、互相關函數復隨機過程－－－復隨機過程定義、數字特征、相關函數正態隨機過程－－－正態平穩隨機過程的平穩性、性質隨機過程習題習題2-6：設隨機過程X(t)其中ω0為常數，；A與B是相互獨立的正態隨機變量，且有E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2。試求X（t）的均值與自相關函數。習題2-13：已知隨機過程X(t)和常數a，試以X（t）的自相關函數表示出另一隨機過程Y（t）=X（t+a）-X（t）的自相關函數。習題2-21：已知隨機過程X(t)其中ω0為常數，；A與Θ是相互獨立的隨機變