山西省忻州市王村鄉辦中學2023年高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x+2y的最大值為（）A．5 B．6 C． D．7參考答案：C【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（），化目標函數z=x+2y為y=﹣．由圖可知，當直線y=﹣過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．故選：C．2.下列命題中真命題是A．命題“存在”的否定是：“不存在”.B．線性回歸直線恒過樣本中心，且至少過一個樣本點.C．存在，使.D．函數的零點在區間內.參考答案：D3.等比數列的前n項和為，已知，且的等差中項為，則=A．36 B．33 C．31 D．29參考答案：C4.已知若則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知m,n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A.∥，n∥

∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥參考答案：答案：D解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內，不正確，選D6.將函數的圖像上的點按向量（其中）平移后得到點，若點在函數的圖像上，則（

）A．，的最小值為

B．，的最小值為

C.，的最小值為

D．，的最小值為參考答案：C7.在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N（﹣1，1）的密度曲線）的點的個數的估計值（）附“若X～N（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413參考答案：B【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統計．【分析】根據正態分布的定義，可以求出陰影部分的面積，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正態分布的圖象如下圖：正態分布N（﹣1，1）則在（0，1）的概率如上圖陰影部分，其概率為×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即陰影部分的面積為0.1359；所以點落入圖中陰影部分的概率為p==0.1359；投入10000個點，落入陰影部分的個數期望為10000×0.1359=1359．故選B．【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態分布中兩個量μ和σ的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題．8.如圖正四面體（所有棱長都相等）D﹣ABC中，動點P在平面BCD上，且滿足∠PAD=30°，若點P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】直線與平面所成的角．【分析】由題意可知：當點P取線段CD的中點時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，可得點O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點M，CM⊥AB．經過點P作PP′⊥CO，垂足為點P′，則PP′⊥平面ABC，點P′為點P在平面ABC的射影，則點P′為CO的中點．進而得出答案．【解答】解：由題意可知：當點P取線段CD的中點時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，則點O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點M，CM⊥AB．經過點P作PP′⊥CO，垂足為點P′，則PP′⊥平面ABC，點P′為點P在平面ABC的射影，則點P′為CO的中點．不妨取AB=2，則MP′=，∴AP′==．sin∠P′AM==．故選：A．9.點在直線上移動，則的最小值是（）A.8

B.6

C.

D.參考答案：C略10.已知A為橢圓（a＞b＞0）上一點，B為點A關于原點的對稱點，F為橢圓的左焦點，且AF⊥BF，若∠ABF∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A．[0，] B．[，1） C．[0，] D．[，]參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據B和A關于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進而根據∠ABF的范圍確定e的范圍．【解答】解：∵B和A關于原點對稱，∴B在橢圓上，設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a．又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c，設∠ABF=α，則|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα

…②把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，∴，即e=，∵∴∈[]，∴≤，∴≤sin（α+）≤1，∴．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線2x+y+m=0過圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心，則m的值為

．參考答案：0【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】求出圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心為C（1，﹣2），再把圓心C（1，﹣2）代入直線2x+y+m=0，能求出結果．【解答】解：圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心為C（1，﹣2），∵直線2x+y+m=0過圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心，∴圓心C（1，﹣2）在直線2x+y+m=0上，∴2×1﹣2+m=0，解得m=0．故答案為：0．12.

參考答案：i13.已知集合，則的子集個數為

___▲____．參考答案：4集合，，則，則的子集是：，，，，共4個.故答案為：4.

14.已知函數若，則

.參考答案：或15.已知(x)=是定義在[a-1,2a]上的偶函數，則a=_______,b=________參考答案：

16.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)對一切實數x恒成立，則α=

參考答案：，

略17.已知向量，的夾角為，，，若點M在直線OB上，則的最小值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知首項都是1的數列滿足（I）令，求數列的通項公式；（II）若數列為各項均為正數的等比數列，且，求數列的前項和.

參考答案：（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n．（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，

兩邊同時除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1，

∴數列{cn}是首項為1，公差為3的等差數列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）設數列{bn}的公比為q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6，

整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，

∴Sn=1×()0+4×()+7×()2+…+(3n-2)×()n-1，①

∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-2)×()n，②

①-②，得：Sn=1+3×+3×()2+…+3×()n-1-（3n-2）×()n

=1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）×()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)×()n

=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，∴Sn=8-（6n+8）×()n．

略19.（12分）設二次函數，方程的兩根和滿足．（I）求實數的取值范圍；（II）試比較與的大小．并說明理由．參考答案：本小題主要考查二次函數、二次方程的基本性質及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．解析：解法1：（Ⅰ）令，則由題意可得．故所求實數的取值范圍是．（II），令．當時，單調增加，當時，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韋達定理得，，于是．故所求實數的取值范圍是．（II）依題意可設，則由，得，故．20.已知函數f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然對數的底數）．（Ⅰ）求函數g（x）的單調區間；（Ⅱ）判斷a＞1時，f（）的符號；（Ⅲ）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6D：利用導數研究函數的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根據函數的單調性判斷即可；（Ⅲ）根據函數的單調性求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴當x＜ln2時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x＞ln2時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，所以函數g（x）的單調遞增區間是（﹣∞，ln2]，單調遞減區間是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．設h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，當x＞1時，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在區間[1，+∞）單調遞減，∴x＞1時，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1時，f（）＜0，即f（）符號是“﹣”．…（Ⅲ）由函數f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，f（x）沒有兩個零點，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴當0＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．當x＞時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）設s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴當a＞0且a≠1時，f（x）max＞0，當a=1時，f（x）沒有兩個零點．…（8分）設t（x），則t′（x）=ex﹣1，∴x＞1時，t′（x）＞0，t（x）單調遞增，所以x＞1時，t（x）＞t（1），即x＞1時，ex＞x．…（9分）當a＞1時，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在區間（，）上有一個零點，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點．…（10分）當0＜a＜1時，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在區間（，）上有一個零點，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點．…（11分）綜上所述，實數a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．21.（本題滿分12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知

（Ⅰ）求證：成等差數列；

（Ⅱ）若求.參考答案：（Ⅰ）由正弦定理得：即

………………2分∴即

………………4分∵∴

即∴成等差數列。

………………6分（Ⅱ）∵

∴

……………8分又

………………10分由（Ⅰ）得：

∴

………………12分22.已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程.參考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）由拋物線的準線方程求出的值，確定左焦點坐標，再由點F到直線l：的距離為