山西省忻州市樓板寨鄉中學2023年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則an＋1－an=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知定義域為上的函數滿足，當時，單調遞增，如果，且，則的值

A．可能為0

B．恒大于0

C．恒小于0

D．可正可負參考答案：C略3.向量=（2，3），⊥，||=，則等于（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】設向量=（x，y），根據平面向量垂直的定義和模長公式，列出方程組求出解即可．【解答】解：設向量=（x，y），∵=（2，3），⊥，||=，∴，解得或；∴=（﹣3，2）或（3，﹣2）．故選：D．4.已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：D略5.若直線與圓相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°（其中O為原點），則k的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：A解析：如圖，直線過定點（0，1），6.在R上定義運算，若成立，則x的取值范圍是（

）

A．（-4,1） B．（-1,4）

C．

D．參考答案：A7.設上以點為切點的切線傾斜角為（

）A．arctan2 B．π-arctan2 C．450 D．1350參考答案：D8.設向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab=(

)A.

1B.

2C.3D.5參考答案：A9.若角α的終邊過點（﹣1，2），則cos（π﹣2α）的值為(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點】任意角的三角函數的定義．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數的定義求得cosα的值，再利用誘導公式、二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：∵角α的終邊過點（﹣1，2），∴cosα=，則cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（2cos2α﹣1）=1﹣2cos2α=1﹣=，故選：A．【點評】本題主要考查任意角的三角函數的定義，誘導公式、二倍角的余弦公式的應用，屬于基礎題．10.已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線共有(

)A．4條

B．3條C．2條

D．1條參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.14．在空間給出下列五個命題：①如果兩條直線、分別平行于直線，則∥；②如果直線與平面內的一條直線平行，則∥；③如果直線與平面內的兩條直線都垂直，則⊥；④如果平面內的兩條直線都平行于平面，則∥；⑤如果平面內的一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則⊥

其中是真命題的是_____________（將所有真命題的序號填上）參考答案：答案:（1）（5）

解析:（考查空間線面之間的平行垂直關系）解：只有（1）（5）是真命題12.過原點且傾斜角為的直線被圓所截的弦長為_________參考答案：略13.設函數，，其中，為常數，已知曲線與在點（2,0）處有相同的切線l。（1）求的值，并寫出切線l的方程；（2）若方程有三個互不相同的實根0、、，其中，且對任意的，恒成立，求實數m的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ） 由于曲線在點（2，0）處有相同的切線， 故有由此得 所以，切線的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 依題意，方程有三個互不相同的實數， 故是方程的兩相異的實根。 所以 又對任意的成立， 特別地，取時，成立，得 由韋達定理，可得 對任意的 則 所以函數的最大值為0。 于是當時，對任意的恒成立， 綜上，的取值范圍是

略14.若復數是純虛數，則實數等于______.參考答案：

略15.

有下列命題：①函數y=f(-x+2)與y=f(x-2)的圖象關于軸對稱；②若函數f（x）＝，則，都有；③若函數f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上單調遞增，則f（－2）>f（a＋1）；④若函數(x∈)，則函數f(x)的最小值為.其中真命題的序號是

.參考答案：②④16.函數，若互不相同，且，則的取值范圍是___________;參考答案：（32，35）17.從中隨機選取一個數，從中隨機選取一個數，則關于的方程有兩個虛根的概率是

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數列{an}的各項均為正數，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n項和是Sn．（Ⅰ）若{an}是遞增數列，求a1的取值范圍；（Ⅱ）若a1＞2，且對任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），證明：Sn＜2n+1．參考答案：【考點】8H：數列遞推式；8E：數列的求和．【分析】（I）由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2．可得：1＜a1＜2．下面利用數學歸納法證明：當1＜a1＜2時，?n∈N*，1＜an＜2成立即可．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，滿足{an}是遞增數列，即可得出a1的取值范圍．（II）a1＞2，可用數學歸納法證明：an＞2對?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即數列{an}是遞減數列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下證：（1）當時，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事實上，當時，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．累加求和即可證明．再證明：（2）時不合題意．事實上，當時，設an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是數列{bn}的前n和Tn≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，令a1=+t（t＞0），可得：Sn＜na1﹣．這與Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用數學歸納法證明：當1＜a1＜2時，?n∈N*，1＜an＜2成立．（1）當n=1時，1＜a1＜2成立．（2）假設當n=k∈N*時，1＜an＜2成立．則當n=k+1時，ak+1=ak+﹣1∈?（1，2），即n=k+1時，不等式成立．綜上（1）（2）可得：?n∈N*，1＜an＜2成立．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，∴{an}是遞增數列，a1的取值范圍是（1，2）．（II）證明：∵a1＞2，可用數學歸納法證明：an＞2對?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即數列{an}是遞減數列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下證：（1）當時，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事實上，當時，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再證明：（2）時不合題意．事實上，當時，設an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是數列{bn}的前n和Tn≤＜3b1≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：Sn＜na1﹣．這與Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴時不合題意．綜上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故數列{bn}的前n項和Tn≤＜b1＜1，∴Sn=2n+Tn＜2n+1．19.已知函數，.

（1）求的極值；（2）設，函數在區間（2,3）上不是單調函數，求實數的取值范圍;（3）當時，若對任意的,恒成立，求的最小值.參考答案：

略20.（本小題滿分12分）已知數列{an}滿足，an+1+an＝4n－3(n∈N*)．（1）若數列{an}是等差數列，求a1的值；（2）當a1＝2時，求數列{an}的前n項和Sn；參考答案：解:（1）若數列{an}是等差數列，則an＝a1+(n－1)d，an+1＝a1+nd．由an+1+an＝4n－3，得(a1+nd)+[a1+(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝4－3，解得，d＝2，a1＝－．………….4分（2）由an+1+an＝4n－3，得an+2+an+1＝4n+1(n∈N*)．兩式相減，得an+2－an＝4．所以數列{a2n-1}是首項為a1，公差為4的等差數列[，數列{a2n}是首項為a2，公差為4的等差數列，由a2+a1＝1，a1＝2，得a2＝－1．所以an＝

………8分①當n為奇數時，則an＝2n，an+1＝2n－3．所以Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an

＝1+9+…+(4n－11)+2n＝．…………10分②當n為偶數時，Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)＝1+9+…+(4n－7)＝．所以Sn＝………..12分21.（本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四點構成的四邊形的面積的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）【知識點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的綜合應用解析：（Ⅰ）由題意知，，則，，

所以．所以橢圓的方程為．

………4分

（Ⅱ）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，

由題意知；

……………5分

②當兩弦斜率均存在且不為0時，設，，

且設直線的方程為，

則直線的方程為．

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，所以．

……………8分同理，．

…………9分

所以

，當且僅當時取等號

……11分∴綜