山西省忻州市杏嶺子中學2022年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則=與=的大小關系（）A． B．

C． D．參考答案：C；初步判斷便可以確定：、都是周期函數，且最小正周期都為．所以，只需考慮的情形．另外，由于為偶函數，為奇函數，所以，很自然的可以聯想到：能否把需考慮的的范圍繼續縮小？事實上，當時，>0，恒成立，此時，>．下面，我們只需考慮的情形．如果我們把看作是關于的余弦函數，把看作是關于的正弦函數，那么這兩個函數既不同名，自變量也不相同，為了能進行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數，以期利用三角函數的單調性．至此為止，可以看出：由于和同屬于余弦函數的一個單調區間，（即，），所以，只需比較與的大小即可．事實上，（）—=—=所以，利用余弦函數在上單調遞減，可得：<．也即<另解：可用特值法代入驗算，輕易得出結論。2.2007年12月中旬，我國南方一些地區遭遇歷史罕見的雪災，電煤庫存吃緊。為了支援南方地區抗災救災，國家統一部署，加緊從北方采煤區調運電煤。某鐵路貨運站對6列電煤貨運列車進行編組調度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列，且甲、乙兩列列車不在同一小組。如果甲所在小組3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發車順序共有A、36種B、108種

C、216種

D、432種參考答案：答案：C3.已知集合，或，若，則的取值范圍是（

）A．(－∞,3]

B．(－∞,4]

C．[3,4]

D．(3,4)參考答案：C4.有語文、數學兩學科，成績評定為“優秀”“合格”“不合格”三種.若同學每科成績不

低于同學，且至少有一科成績比高，則稱“同學比同學成績好.”現有若干同學，他們之間沒有一個人比另一個成績好，且沒有任意兩個人語文成績一樣，數學成績也一樣的.問滿足條件的最多有多少學生（）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.若函數f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，則f（x）在[0，]上的最大值為（）A．2 B． C． D．參考答案：C【考點】三角函數的周期性及其求法；三角函數的化簡求值．【分析】利用三角恒等變換化簡函數f（x），根據f（x）的最小正周期求出ω的值，由x的取值范圍求出f（x）的最大值【解答】解：f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+），∵函數f（x）的最小正周期為π，∴ω==2，∴f（x）=cos（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）在[0，]上的最大值為f（0）=cos=故選：C6.設全集，集合，集合，則=A．

B．

C．

D．參考答案：D7.（7）關于的不等式（）的解集為，且：，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A．8.已知M是△ABC內的一點，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面積分別為，x，y，則+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．20參考答案：C【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】利用向量的數量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得?=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，當且僅當x=，y=時取等號．故選：C．9.函數的零點所在的區間是A

() B

() C

() D

()參考答案：A略10.一個三位數，個位、十位、百位上的數字依次為，當且僅當時，稱這樣的數為“凸數”（如243），現從集合中取出三個不相同的數組成一個三位數，則這個三位數是“凸數”的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B本題考查古典概型,新定義問題.因為從集合中取出三個不相同的數共有個,由題意知,凸數有132,231,143,341,243,342,342,243共8個,所以這個三位數是“凸數”的概率.選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為

．（容器壁的厚度忽略不計）參考答案：41π【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【分析】由題意，該球形容器的半徑的最小值為=，即可求出該球形容器的表面積的最小值．【解答】解：由題意，該球形容器的半徑的最小值為=，∴該球形容器的表面積的最小值為=41π．故答案為41π12.設數列滿足，(n∈N﹡)，且，則數列的通項公式為

.參考答案：設，即，所以，即，所以數列是以為首項，公比的等比數列，所以，所以.13.設函數f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=

．參考答案：2【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】函數可化為f（x）==，令，則為奇函數，從而函數的最大值與最小值的和為0，由此可得函數f（x）=的最大值與最小值的和．【解答】解：函數可化為f（x）==，令，則為奇函數，∴的最大值與最小值的和為0．∴函數f（x）=的最大值與最小值的和為1+1+0=2．即M+m=2．故答案為：2．14.已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），則a1=

；數列{an}的通項公式為an=．參考答案：2,.【考點】8H：數列遞推式．【分析】本題直接利用數列前n項和與數列通項的關系，可得到本題結論【解答】解：∵Sn=n2+2n﹣1，當n=1時，a1=1+2﹣1=2，當n≥2時，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵當n=1時，a1=﹣2+1=3≠2，∴an=，故答案為：2，=．15.已知函數若f(2－a2)>f(a)，則實數a的取值范圍是________．參考答案：(－2,1)16.已知，，，則在方向上的投影為

．參考答案：﹣．【考點】平面向量數量積的運算．【分析】運用向量模的公式和向量的平方即為模的平方，可得?，再由在方向上的投影為，計算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即為2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影為=﹣．故答案為：﹣．17.函數的值域是 .

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）在數列中，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列；（3）設數列滿足的前項和.參考答案：（1）（2）見解析（3）（1）,∴數列是首項為，公比為的等比數列，

∴.（2）因為，所以.因為，公差，所以數列是首項，公差的等差數列.（3）由（1）知，,所以①??②由①-②得：19.已知正實數a、b滿足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）設函數f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），對于（1）中求得的m，是否存在實數x，使得f（x）=成立，說明理由．參考答案：【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應用．【分析】（1）利用基本不等式的性質即可得出；（2）利用絕對值形式的三角不等式的性質即可得出．【解答】解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，當且僅當a=b時取等號．∴m=2．（2）函數f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴滿足條件的實數x不存在．【點評】本題考查了基本不等式的性質、絕對值形式的三角不等式的性質，考查了計算能力，屬于基礎題．20.已知函數，其中a∈R.(1)當時，求曲線在點處的切線的斜率；(2)當時，求函數的單調區間與極值．參考答案：略21.已知△ABC的三個內角△ABC所對的邊分別為a，b，c，向量，，且（1）求角A的大小；（2）若BC＝，試求△ABC面積的最大值及此時△ABC的形狀．參考答案：(1)60°；(2)，等邊三角形.【分析】（1）根據數量積的運算，結合倍角公式的使用，通過解三角方程，即可求解；（2）根據余弦定理，結合均值不等式，即可求得面積的最值，以及此時的形狀.【詳解】（1）因，故可得，由公式可得即可得，解得，又，故可得.（2）因為BC＝，即.由余弦定理可得，整理得即可得，解得，當且僅當時取得最大值，又因為，故此時為等邊三角形.故，此時三角形的形狀是等邊三角形.【點睛】（1）本題考查余弦的倍角公式，三角形面積的最大值問題，涉及均值不等式的使用，屬綜合性中檔題.22.已知E，F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中點，求：

（Ⅰ）A1D與EF所成角的大小；（II）A1F與平面B1EB所成角的余弦值；

（III）二