山西省忻州市奇村高級中學2023年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知直線l過圓x2+（y﹣3）2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是（） A． x+y﹣2=0 B． x﹣y+2=0 C． x+y﹣3=0 D． x﹣y+3=0參考答案：D考點： 直線與圓的位置關系．專題： 直線與圓．分析： 由題意可得所求直線l經過點（0，3），斜率為1，再利用點斜式求直線l的方程．解答： 由題意可得所求直線l經過點（0，3），斜率為1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故選：D．點評： 本題主要考查用點斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質，屬于基礎題．2.下列可作為函數y=f（x）的圖象的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數的圖象．【分析】利用函數的定義分別對A、B、C、D四個選項進行一一判斷，即可的答案．【解答】解：∵函數要求對應定義域P中任意一個x都有唯一的y值與之相對應，也就是說函數的圖象與任意直線x=c都只有一個交點；選項A、B、C中均存在直線x=c，與圖象有兩個交點，故不能構成函數；故選D．3.已知函數,則（

）

A.0

B.1

C.

D.+1參考答案：A試題分析：，選A.考點：分段函數求值【名師點睛】(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.4.函數y=sin2（x﹣）的圖象沿x軸向右平移m個單位（m＞0），所得圖象關于y軸對稱，則m的最小值為（）A．π B． C． D．參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數、余弦函數的圖象的對稱性，求得m的最小值．【解答】解：函數y=sin2（x﹣）==的圖象沿x軸向右平移m個單位（m＞0），可得y=的圖象，再根據所得圖象關于y軸對稱，可得2m=（2k+1）?，k∈Z，即m═（2k+1）?，則m的最小值為，故選：D．5.直線在x軸上的截距為(

)A. B. C.－1 D.1參考答案：A【分析】取計算得到答案.【詳解】直線在軸上的截距：取故答案選A【點睛】本題考查了直線的截距，屬于簡單題.6.集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一種表示法是（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}參考答案：B【考點】集合的表示法．【分析】集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法，看出描述法所表示的數字，在集合中列舉出元素．【解答】解：∵集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法，∵{x∈N+|x﹣3＜2}={x∈N+|x＜5}={1，2，3，4}故選：B．7.已知映射f：AB,A=B=R,對應法則f：xy=–x2+2x,對于實數kB在A中沒有原象，則k的取值范圍是（▲

）A．k>1

B．k≥1

C．k<1

D．k≤2參考答案：A略8.函數f(x)=sinx+的最小值是（

）（A）–

（B）2–

（C）

（D）

參考答案：B9.等比數列的公比為，其前項積為，且滿足，，．得出下列結論：（1）；（2）；（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大自然數等于198．其中正確的結論的個數為（

▲

）A．１個

B．２個

C．３個

D．４個參考答案：C略10.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個，每次從中任取一個，有放回地取3次，則下

列事件：⑴顏色全同；⑵顏色不全同；⑶顏色全不同；⑷無紅球.

其中發生的概率等于的事件共有（

）

A．1個

B．1個

C．2個

D．3個

參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數列{an}滿足，則a2017=．參考答案：2【考點】8H：數列遞推式．【分析】數列{an}滿足a1=2，an=1﹣，可得an+3=an，利用周期性即可得出．【解答】解：數列{an}滿足a1=2，an=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴an+3=an，數列的周期為3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案為：212.有下列說法：①函數y＝－cos2x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是；③把函數的圖像向右平移個單位長度得到函數y＝3sin2x的圖像；④函數在[0，π]上是減函數．其中，正確的說法是________．參考答案：①③

13.在等比數列中，已知，，，則項數

.參考答案：

4

略14.設為實數，若，則的最大值是________.參考答案：

略15.在如圖所示的程序框圖中，若U=lg?log3，V=2，則輸出的S=，參考答案：

【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數S=的值，從而計算得解．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數S=的值．∵U=lg?log3=1，V=2=，∴U＞V，∴S=．故答案為：．16.已知是上的奇函數，且時，，則不等式的解集為__________.參考答案：略17.定義：區間的長度為，已知函數定義域為，值域為[0，2]，則區間的長度的最大值為___________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．參考答案：【考點】三角函數的化簡求值；任意角的三角函數的定義．【分析】（Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方關系求出sinα，sinβ的值，結合兩角差的正弦求得sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），結合角的范圍求得α+2β的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，∵α，β為銳角，∴sinα=，sinβ=．∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=；（Ⅱ）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=，cos（α+β）==．∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ==．又0＜α+2β＜，∴α+2β=．19.某公司是一家專做某產品國內外銷售的企業，第一批產品在上市40天內全部售完，該公司對第一批產品的銷售情況進行了跟蹤調查，其調查結果如下：圖①中的折線是國內市場的銷售情況；圖②中的拋物線是國外市場的銷售情況；圖③中的折線是銷售利潤與上市時間的關系（國內外市場相同）．（1）求該公司第一批產品日銷售利潤Q（t）（單位：萬元）與上市時間t（單位：天）的關系式，（2）求該公司第一批新產品上市后，從哪一天開始國內市場日銷售利潤不小于國外市場？參考答案：見解析【考點】分段函數的應用．【專題】應用題；函數思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】（1）運用一次函數的解析式可得f（t），再設g（t）=at（t﹣40），代入（20，60），即可得到g（t）；設每件產品A的銷售利潤為q（t），求得q（t），可得Q（t）=q（t）?[f（t）+g（t）]；（2）由題意可得國內外銷售利潤q（t）與上市時間t相同，要使國內市場日銷售利潤不小于國外市場，只需國內市場銷售量f（t）不小于國外市場日銷售量g（t）．討論t的范圍：①當0≤t≤30時，②當30＜t≤40時，解不等式即可得到結論．【解答】解：（1）由圖①得函數的解析式為：f（t）=，設國外市場的日銷售量g（t）=at（t﹣40），g（20）=20a?（﹣20）=60，解得a=﹣，則g（t）=﹣t2+6t（0≤t≤40）．設每件產品A的銷售利潤為q（t），則q（t）=，從而這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式為：Q（t）=q（t）?[f（t）+g（t）]=；（2）由題意可得國內外銷售利潤q（t）與上市時間t相同，要使國內市場日銷售利潤不小于國外市場，只需國內市場銷售量f（t）不小于國外市場日銷售量g（t）．①當0≤t≤30時，令f（t）≥g（t），則2t≥﹣t2+6t，解得≤t≤30；②當30＜t≤40時，令h（t）=f（t）﹣g（t）=t2﹣12t+240，由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．由①②可得該公司第一批新產品上市后，從27開始國內市場日銷售利潤不小于國外市場．【點評】本題考查分段函數的應用題的解法，考查不等式的解法，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．20.如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）中，，，是的中點.（I）求證：平面；

（II）求直線與平面所成角的正切值.參考答案：解：（I）證明：連接，交于，則為的中點，連接，∵是的中點，∴.……分又∵平面，平面，∴平面.

………………分（II），則是直線與平面所成的角.

………………分因為，在Rt△中，，從而.……………………分

略21.已知=4，=8，與夾角是120°．（1）求的值及的值；（2）當k為何值時，？參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用數量積定義及其向量的運算性質，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的數量積的運算公式，即可求解．【詳解】（1）由向量的數量積的運算公式，可得，.（2）因為，所以，整理得，解得．即當值時，．【點睛】本題主要考查了數量積定義及其運算性質、向量垂直與數量積的關系，其中解答中熟記向量的數量積的運算公式，以及向量垂直的坐標運算是解答的關鍵，著重考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.（12分）已知點P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；（2）設過點P的直線ll與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；（3）設直線ax﹣y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：考點： 直線與圓的位置關系．專題： 計算題；直線與圓．分析： （1）分兩種情況：當直線l的斜率存在時，設出直線l的斜率為k，由P的坐標和設出的k寫出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當直線l的斜率不存在時，得到在線l的方程，經過驗證符合題意；（2）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發現|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設符合條件的a存在，由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上，根據P與C的坐標即可求出l2的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率，進而求出a的值，經過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設錯誤，故這樣的a不存在．解答： （1）設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y﹣0=k（x﹣2）．又圓C的圓心為（3，﹣2），半徑r=3，由=1，解得k=﹣．所以直線方程為y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；當l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P為MN的中點，所以所求圓的圓心坐標為（2，0），半徑為|MN|=2，故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4；（3）把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，