山西省忻州市原平第二中學2022年高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，若b=2，A=120°，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為A. B.2 C. D.4參考答案：B略2.設命題p：函數的最小正周期為；命題q：函數的圖象關于直線對稱.則下列判斷正確的是

(A)p為真(B)為假(C)為假(D)為真參考答案：C3.一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其主視圖如圖所示，該四棱錐側面積等于(

) A．20 B．5 C．4（+1） D．4參考答案：D考點：簡單空間圖形的三視圖．專題：空間位置關系與距離．分析：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，求出側面的高后，計算各個側面的面積，相加可得答案．解答： 解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其底面棱長為2，高h=2，故側面的側高為=，故該四棱錐側面積S=4××2×=4，故選：D點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．4.在下列函數中，圖象關于原點對稱的是（

）

A．y=xsinx

B．y=

C．y=xlnx

D．y=參考答案：D5.設函數y=的定義域為A，函數y=ln（x﹣1）的定義域為B，則A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）參考答案：B【分析】利用函數的定義域分別求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：函數y=的定義域為A，函數y=ln（x﹣1）的定義域為B，∴A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故選：B．【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義、函數性質的合理運用．6.已知，則下列區間為函數的單調遞增區間的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.如圖是某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區間是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]，則圖中的值等于

（A）

（B）

（C） （D）參考答案：C略8.已知函數，則下列說法中正確的是(

)A.為奇函數，且在上是增函數B.為奇函數，且在上是減函數C.為偶函數，且在上是增函數D.為偶函數，且在上是減函數參考答案：B9.函數的部分圖象是（

）

參考答案：【知識點】函數的奇偶性；函數的圖像.B4

B8【答案解析】D

解析：顯然函數是奇函數，所以排除選項A,C,又時，故選D.【思路點撥】利用排除法及特殊值法確定選項.10.已知關于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個實根分別為一個橢圓，一個拋物線，一個雙曲線的離心率，則的取值范圍（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一個實根∴a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）設g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0作出可行域，如圖所示的幾何意義是區域內的點與原點連線的斜率，∴故答案為：C【考點】拋物線的簡單性質；函數的零點與方程根的關系．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是等差數列的前項和，且，有下列五個命題：①；②；③；④數列中的最大項為；⑤.其中正確的命題是

（寫出你認為正確的所有命題的序號）參考答案：①、②、⑤12.已知函數且，其中為奇函數,為偶函數，若不等式對任意恒成立,則實數的取值范圍是

.參考答案：13.已知平面上的向量、滿足,，設向量，則的最小值是

。參考答案：答案：214.已知函數則________.參考答案：0因為所以.試題立意：本小題主要考查分段函數；意在考查學生運算求解能力.15.方程的實數解為________參考答案：16.已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則的值是

。參考答案：17.函數（）的最小值為

參考答案：25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知四邊形是菱形,,，點為線段上的任一點.(1)若,,求與面所成角的正切值；(2)若二面角的平面角的余弦值為，求線段的長.參考答案：（1）為四邊形的兩條對角線，.又，,.且，.再,,且，.與面所成角為.由條件，,（2）如圖建立空間直角坐標系，則，,,易求得面的一個法向量.設線段的長為，，，,設面的一個法向量.由，可得：，由，，令，可得：,由（2）已知面面的一個法向量，再因二面角的平面角的余弦值為，，可解得：，即：線段的長為.19.已知數列，An：a1，a2，…，an（n≥2，n∈N*）是正整數1，2，3，…，n的一個全排列．若對每個k∈{2，3，…，n}都有|ak﹣ak﹣1|=2或3，則稱An為H數列．（Ⅰ）寫出滿足a5=5的所有H數列A5；（Ⅱ）寫出一個滿足a5k（k=1，2，…，403）的H數列A2015的通項公式；（Ⅲ）在H數列A2015中，記bk=a5k（k=1，2，…，403）．若數列{bk}是公差為d的等差數列，求證：d=5或﹣5．參考答案：【考點】數列的應用；數列與函數的綜合；數列與解析幾何的綜合．【專題】函數的性質及應用；等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）利用已知條件直接寫出數列即可．（Ⅱ）數列A5，推出a5=5，把數列各項分別加5后，所得各數依次排在后，利用|a6﹣a5|=2，得到a10=10．推出a5K=5k，（k=1，2，…，403）的H數列A2015即可．（Ⅲ）利用已知條件推出d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．轉化為（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．分別討論推出結果即可．【解答】（本小題共13分）解：（Ⅰ）滿足條件的數列有兩個：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．（Ⅱ）由（1）知數列A5：2，4，1，3，5滿足a5=5，把各項分別加5后，所得各數依次排在后，因為|a6﹣a5|=2，所得數列A10顯然滿足|ak﹣ak﹣1|=2或3，k∈{2，3，4，…，10}，即得H數列A10：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a5=5，a10=10．如此下去即可得到一個滿足a5K=5K（k=1，2，…，403）的H數列A2015為：an=（其中k=1，2，…，403）（Ⅲ）由題意知d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．|x|+|y|=5有解：（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．①（|x|，|y|）=（0，5），y=±5，d=±15，則b403=b1+402d=b1±6030，這與1≤b1，b403≤2015是矛盾的．②（|x|，|y|）=（5，0）時，與①類似可得不成立．③（|x|，|y|）=（1，4）時，|d|≥3×4﹣2=1，則b403=b1+402d不可能成立．④（|x|，|y|）=（4，1）時，若（|x|，|y|）=（4，﹣1）或（﹣4，1），則d=5或﹣5．若（|x|，|y|）=（4，1）或（﹣4，﹣1），則|d|=11，類似于③可知不成立．④（|x|，|y|）=（2，3）時，若x，y同號，則d|=13，由上面的討論可知不可能；若（x，y）=（2，﹣3）或（x，y）=（﹣2，3），則d=﹣5或5；⑤（|x|，|y|）=（3，2）時，若x，y異號，則d=0，不行；若x，y同號，則|d|=12，同樣由前面的討論可知與1≤b1，b403≤2015矛盾．綜上，d只能為5或﹣5，且（2）中的數列是d=5的情形，將（2）中的數列倒過來就是d=﹣5，所以d為5或﹣5．【點評】本題考查數列與函數的綜合應用，考查分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．20.一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，M、N分別為A1B、B1C1的中點。

（1）求證：MN//平面ACC1A1；（2）求證：MN⊥平面A1BC。參考答案：解：由題意，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1。…………1分（1）連接AC1、AB1，由直三棱柱的性質得AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1B1，則四邊形ABB1A1為矩形。由矩形性質得AB1經過A1B的中點M，又∵N為B1C1的中點，∴△AB1C1中，MN//AC1。………………5分又∵AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1。∴MN//平面ACC1A1。……7分（2）∵直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，且AC⊥BC∴BC⊥平面ACC1A1。又∵AC1-平面ACC1A1∴BC⊥AC1。在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C。……10分由（1）知MN//AC1。∴MN⊥BC且MN//A1C。……11分又∵BC∩A1C=C。∴MN⊥平面A1BC。……12分

略21.已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，點在橢圓C上，滿足.（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線過點P，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點P的兩點M，N，與直線交于點K（K介于M，N兩點之間）.（i）求證：；（ii）是否存在直線，使得直線、、PM、PN的斜率按某種順序能構成等比數列？若能，求出的方程；若不能，請說明理由.參考答案：（1）設，，則，解得，∵，所以，∴，故橢圓的標準方程為.（2）（i）設方程為，聯立，得，由題意知，解得，∵直線與的傾斜角互補，∴的斜率是，設直線的方程為，，，聯立，得，由，得，，，直線、的斜率之和∴、關于直線對稱，即，在和，由正弦定理得，，又∵，，所以，故成立.（ii）由（i）知，，，，假設存在直線滿足題意，不妨設，，，若，，，按某