2023/2/51

中學數學思想教學

郭民東北師范大學數學與統計學院

guom702@2023/2/52一、數學思想方法的認識1．數學思想方法是中學數學的一項基礎知識2．數學思想方法的內涵

2023/2/53二、中學數學中的基本數學思想方法1．用字母表示數的思想方法2．集合與對應的思想方法3．函數與方程的思想方法4．數形結合的思想方法5．數學模型的思想方法6．轉換化歸的思想方法2023/2/54三、中學數學基本思想方法教學原則1.目標性原則2．滲透性原則3．層次性原則4．概括性原則5．實踐性原則2023/2/55四、中學數學思想方法教學的基本途徑1．在知識發生過程中滲透數學思想方法(1)不簡單下定義(2)定理公式教學中不過早給結論2023/2/562．在思維教學活動過程中，揭示數學思想方法教學目標：教學過程：3．在問題解決方法的探索過程中激活數學思想方法2023/2/57

圖3-3-13

圖3-3-142023/2/584．在知識的總結歸納過程中概括數學思想方法五、新課程背景下中小學數學證明思想2023/2/59主要內容1數學證明的概念2義務教育課程標準中有關數學證明的闡述3數學證明的歷史回顧4數學家們對數學證明的看法5數學證明教學觀念的發展變化6數學證明教學價值的理解數學證明的概念

證明是一個思維過程，是概念、判斷、推理這三種思維形式的綜合運用，是引用真實的判斷來證實另一判斷為真實的過程。數學證明是由已被承認的數學命題（包括定義、公理、定理）來證實另一數學命題的思維過程。義務教育數學課程標準

義務教育<數學課程標準>中內容標準空間與圖形部分關于推理與證明是這樣敘述的：在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理的思考與表達；在積累了一定的活動經驗與圖形性質的基礎上，從幾個基本的事實出發，證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法的格式，初步感受公理化的思想。《數學課程標準》(7----9)年級有關數學證明的教學建議：

應關注證明的必要性、基本過程和基本方法。"證明"的教學所關注的是，對證明必要性的理解，對證明基本方法和證明過程的體驗，而不是追求所證命題的數量、證明的技巧。

在命題教學中，應通過生活和數學中的實例來說明什么是命題；能夠區分一個簡單命題的真偽，能夠用反例來判定一個命題是假命題；對幾何中的一些基本命題，應該要求學生能夠畫出相應的圖形，并逐步學會用符號來表示命題。

在證明的教學中，首先，應通過生活、代數和幾何中的具體例子使學生認識到，有些命題可以通過觀察和實驗得到并獲得大家的認可，但也有些命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的，從而使學生體會證明的必要性；其次，應該使學生理解證明的基本要求，有條理地闡述自己的想法，知道推理必須有依據，證明過程的表述必須條理清楚。

反證法也是一種重要的證明方法，教學中可以通過生活實例和簡單的數學例子，使學生體會反證法的思想。但在義務教育階段不必給出反證法的證明格式。

在教學中，應把證明作為探索活動的自然延續和必要發展，引導學生從問題出發，根據觀察、實驗的結果，運用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進行證明，這十分有利于學生對證明的全面理解；使用較規范的數學語言表述論證的過程，有利于學生清晰而有條理地表達自己的觀點并理解他人的思想；組織學生探索證明的不同思路，并進行適當的比較和討論，這有利于開闊學生的視野；提供一些具有實際背景的命題，增加論證的趣味性，有助于激發學生對數學證明的興趣和掌握綜合證法的信心。

數學教育界都在關注《國家數學課程標準(初稿)——目標體系》的研討,其中一個熱門的話題是如何處理中學幾何課程的改革。爭論焦點之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價值。為此,我們有必要探討一下數學證明的有關問題。有關數學證明的歷史回顧數學證明最早是在幾何學這個領域里開始的，后來，也是由于幾何學領域里的問題所推動，經歷了深刻的變化。幾何學早在數千年之前由于人類生活的需要而產生，在中國和埃及都取得了很大的發展，在古埃及，由于尼羅河經常泛濫，沖毀田地的界線，洪水過后，要重新測量，確定田地界線。幾何學就起源于這種測地數。“幾何學“

這一名詞，在拉丁文或希臘文中都含有“測地術”的意思。古埃及還有金字塔那樣的宏偉建筑。埃及人積累了十分豐富的幾何知識，并把這些幾何知識記載在“阿赫美斯手冊”。

古代希臘在同埃及通商和希臘學者到埃及留學的過程中，學到了埃及的幾何學并傳到了希臘，幾何學在希臘得到了新的發展，由于古希臘的哲學思想活躍，形式邏輯已確定為一門科學，使得豐富的幾何知識向數學理論轉化。公元前五世紀，幾何學的系統敘述已在希臘出現，到公元前三世紀，歐幾里得集前人之大成，寫成名為《幾何原本》的十三卷巨著。

這一人類歷史上的科學杰作是如此嚴密而系統，以至于在非歐幾何出現前，兩千多年的時間里，人們原則上已不能也不需要對它再增加什么新的東西，幾何學教科書也不過是《幾何原本》的通俗改寫而已。歐幾里得在他的《幾何原本》中，先列出了一些定義、公理和公設，而后應用邏輯推理導出全部定理，構造出了一個循序漸進的、前后一貫的、無矛盾的、有根據的、確定的體系，使幾何學實現了由感性認識到理性認識的飛躍，數學證明也正是在《幾何原本》中被確立和大量使用。《幾何原本》中的第五公設是平行線公理，這一公理不象其他公理那樣顯然，因而，自《幾何原本》問世以來，許多數學家都企圖證明第五公設。然而，這一企圖都失敗了，直到1826年，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基才解決了這一問題。羅巴切夫斯基的做法是：保留其他公理，以第五公設的負判斷來代替第五公設，而后進行邏輯推理，從而得出一系列深刻的結果，也構造出了一個循序漸進的、前后一貫的、無矛盾的、有根據的、確定的體系。這就是一種新的幾何學---羅巴切夫斯基幾何學。只是找不到歐幾里得幾何那樣的現實意義，所以羅巴切夫斯基把它稱為“虛擬的幾何學”。羅巴切夫斯基幾何學的產生，使人們看到歐幾里得幾何的邏輯結構并不是十全十美的。這在數學界引起了極大的震動。本來微積分缺少邏輯基礎這一事實就使數學家不安，歐幾里得幾何基礎的動搖更加劇了這種不安，于是，在1850年左右，數學家們對于“數學證明”這件事，幾乎陷入了絕望的境地。數學證明應該在怎樣的基礎上進行？各門數學學科應該建立怎樣的基礎？等等問題引起數學家們的深入思考。在19世紀后半期，數學家們為了使他們的學說建立合適的邏輯基礎，開展了一場名為批判的運動，從波爾察諾和柯西開始，又維爾斯特拉斯、戴狄金、康托、皮亞諾等人繼續對算術、代數和數學分析給予了一個公理基礎。希爾伯特等人的工作，則是給予歐幾里得幾何一個更好的公理基礎，并確立了數學研究的現代公理法。

希爾伯特把公理系統的結構的基本特性概括為五個方面：（1）基本概念的列舉；（2）定義的敘述；（3）公理的敘述；（4）定理的敘述；（5）定理的證明。希爾伯特還提出一個良好的公理系統的三項基本要求：（1）相容性；（2）獨立性：（3）完備性。

從以上敘述我們可以看出數學證明有兩個最基本的特性：順序性和嚴格性。數學證明的順序性在于：在證明中，決不能使用尚未證明的命題，決不能使用尚未引入的概念。數學證明的嚴格性在于：按著邏輯推理，一步一步地進行，在任何一個步驟中，都不能憑借直覺。一個好的數學證明就是一個堅實的邏輯鏈，任何一個環節都打不開缺口。總之，數學證明首先在幾何學領域里開始，公元前3世紀產生的歐幾里得《幾何原本》在兩千多年的時間里一直是數學證明的范例。羅巴切夫斯基幾何學的產生，使人們對數學證明的認識大大加深，并隨之產生了現代公理體系。問題的提出

我們知道，從一組原始概念和命題(即公理)出發,經過邏輯推理得到一系列的定理和證明,這一直數學學科所遵循的研究模式。但隨著現代數學的發展,特別是電子計算機的出現,人們對上述研究模式產生了懷疑。其中最典型的一個例子就是所謂“四色問題”的證明。“四色問題”所引起的爭論1852年,英國數學家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說:“看來每幅地圖若用不同顏色標出鄰國,只要用四種顏色就夠了。”這就是“四色問題”的由來。一百多年來數學家們不斷努力企圖用數學方法來證明這個結論。直到1976年美國兩位計算機專家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計算方法。他們用了三臺IBM計算機經過1000多個小時(約52天)的運算,“證明”了格思里提出的結論是正確的。因此,“四色問題”得到了“證明”。“四色問題”的“證明”引起的爭論（1）、“四色問題”的“證明”,其計算機程序就達400多頁,要用人工去檢驗其程序有無問題是十分吃力的。因此,似乎無人愿意再去重復阿—哈的“證明”。（2）、能否保證計算機在計算過程中絕對不出錯誤?（3）、人們無法確定計算出現錯誤是計算機本身的機械或電子方面的毛病,還是“證明”過程本身邏輯有問題。什么是“數學證明”的爭論有些數學家認為數學證明只能是以人工可重復檢驗的邏輯演繹(計算也是一種演繹)過程,否則只能稱為計算機證明,二者不能混為一談。因此,按這種觀點,“四色問題”只能稱已得到了計算機證明,而不能稱已得到了數學證明。但是,另一些數學家反駁說,用人工來檢驗也可能產生錯誤。例如,數學史上曾有不少數學家(如意大利的Saccheri,法國的Legendre)聲稱他們已“證明”了歐幾里得第五公設(即歐氏平行公理)。但后來發現他們的“證明”均有問題,其主要錯誤在于他們利用了與第五公設等價的命題,因此從邏輯上說他們都犯了循環論證的錯誤。

數學證明的功能到底是什么?

那么數學證明的內涵是什么？如何處理中學幾何課程有關推理證明的教學改革？如何看待幾何中數學證明的教育價值？一直都是一個熱門話題。

數學家們對數學證明的看法：

觀點1：國際數學教育委員會在《計算機對數學和數學教學的影響》報告中指出：“借助于計算機的證明不應該比人工證明加以更多的懷疑……，我們不能認為計算機將增加錯誤證明的數目，恰恰相反對計算機證明的批評，例如四色問題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力……計算機證明會給人們帶來一些新啟示，會激勵人們去尋找更好的、更短的、更具說服力的證明，會激勵數學家去更準確地把握形式化的想法。”

觀點2：英國數學家Atiyah(阿蒂亞)在評論“四色問題”的證明時說：“這證明是一大成功，但在美學觀點上看極令人失望。完全不靠人的心智創造，全靠機械的蠻力。科學活動的目的是理解客觀世界并駕馭客觀世界，然而我們能說‘理解’了四色問題的證明了嗎？”“數學是一種藝術，一種使人擺脫蠻力計算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游。”

觀點3：布爾巴基在《數學的建筑》一書中說：“單是驗證了一個數學證明的逐步邏輯推導，都沒有試圖洞察獲得這一連串推導的背后的意念，并不算理解了證明。”“計算機證明不滿意者并非它沒有核實命題，難道用人工花幾個月檢驗幾百頁證明便更可靠嗎？而是它沒有使我們通過證明獲得理解。”

觀點4：J.Horgen在《科學的美國》雜志上發表一篇《證明的死亡》文章中指出：“用計算機作實驗，來證明建立定理，如四色問題，任何人不能執行如此長的計算，也不能指望用其他辦法驗證它。……因此這就突破了傳統證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數學命題的唯一手段。”

觀點5：R.Wilder認為：“數學證明在不同的文化有不同的含義，在不同的時代也有不同的含義，我們不會擁有而且極可能永遠不會有一個這樣的數學證明標準獨立于時代，獨立于所要證明的東西，并且獨立于使用它的個人或某個學派。”

觀點6：哈代（G.H.Hardy）認為：“嚴格說起來根本沒有所謂數學證明……，歸根到底我們只是指出了一些要點，證明只不過是一些廢話，它是為了打動某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時來演示的圖片，是激發小學生想象力的工具。”

從以上一些數學家對“數學證明”的看法，我們可以得出這樣的結論：數學證明的真正含義并不在于檢驗核實數學命題，而在于理解數學命題，啟發數學思維，交流數學思想，導致數學發現.很明顯,如果你能給出某一命題的一個證明,那么你可以說你理解了(或說你懂了)這個命題。如果你能用這個命題的證法去解決另一個問題,例如,學生用一個定理的證法去做一道習題,那么,你在解決這個問題的思維過程中必然是受到原來命題證法的啟發。為了你和其他人交流對某一命題的理解,最好的辦法就是你們共同商討對此命題的證明。

數學證明的傳統觀念受到沖擊

觀點1數學證明消亡論

1993年，JohnHorgen在《科學的美國》雜志上發表了題為“證明的死亡”的具有挑戰性的文章，他聲稱，數學家們已經能用計算機作實驗（而非傳統證明）來建立有效的命題，利用計算機能產生長篇證明，如四色定理的證明就是一例。除了用計算機之外，任何人也不可能執行如此長的計算，而且也不能指望用其他的辦法去驗證它。問題：用計算機證明的成功來否定數學證明的作用是否合適？觀點2數學證明變異論數學證明變異論認為，數學證明的意義已經發生變化，不再是傳統的證明觀念，也不是以邏輯推理作為證明數學問題的唯一手段。1993年，美國明尼蘇達大學幾何中心的數學家們提出“實驗證明”的觀念，該中心出版了《實驗數學》雜志，他們認為，實驗是數學判斷的一種形式，他們利用計算機作數學實驗，并比較實驗結果，從而確定數學命題的正確性。實驗證明標志著數學證明的意義已經發生變化，邏輯證明不在是證明數學命題的唯一手段。數學開始從分析科學向試驗科學轉變。一些數學家預言，實驗證明將會在數學中獲得重要地位，并使書面證明成為古老概念而相形見絀。數學證明的教學地位發生了動搖

實驗數學的興起引起數學教育家們的極大興趣，在美國已形成一股潮流，即讓中學生也向實驗數學方向發展，并把數學教室建設成為數學實驗室。在西歐和北美的一些國家中，傳統的數學證明在教學中的地位正在弱化。在我國，一些數學家和一些數學教育家也對過分強調形式化和嚴謹化的數學證明教學觀念提出了不同的觀點

史老師觀點：初中幾何應該教學生建立在實驗基礎上有物理背景的邏輯推理的歐幾里得公理，不教給學生完全形式化的希爾伯特公理，高中和大學再教給學生完全形式化、符號化的公理體系。

張奠宙、鄭正亞觀點：“不要過份渲染邏輯思維能力”，“不嚴謹的數學也是數學”，“現今中學數學根本做不到完全嚴謹”。

陳重穆、宋乃慶觀點：“淡化形式，注重實際”作為培養邏輯思維能力的手段的數學證明教學的觀念發生了變化，數學證明在數學教學中的傳統地位發生了動搖。如何看待數學證明在數學教學中的地位？也是當今數學課程改革不能回避的課題建構主義學習論觀點：

建構主義學習論認為，知識不能傳遞，但能由學生自己建構。如果教師在數學教學中只限于對數學證明逐向講解，這無助于學生形成良好的認知結構。因而，西方不少數學教育家認為要舍得花時間讓學生分組討論，進行探索，從中感知一種用自己的語言組織的、非正式的數學證明方法。在學生討論的過程中，教師從知識傳播者的地位轉變為學習指導者的地位。他們認為這樣做可以使學生有機會自己建構有關數學推理的直覺。那么教師在數學證明教學中的作用是什么？我們認為，教師應該幫助學生理解什么是數學證明，為什么要證明，什么樣的數學證明才有效。教師既要鼓勵學生自己建構數學知識，又要對學生通過建構所獲得的數學知識作出正確的評價，及時糾正學生的錯誤，這就是教師在數學證明教學中的主導作用所在。然而，由于種種原因，教師在數學證明課堂教學中包辦的過多，往往是學生還沒來得及深入思考，教師已經把有關的數學證明講完了。非正式的數學證明得到重視

1987年，Lakatos出版了《證明與反駁》一書，書中提出了反例、反駁以及非正式證明在數學發現的作用，1992年前美國數學教師協會主席Dossey進一步提倡，在數學教學中要重視非正式的數學證明，而應降低正式數學證明在課堂教學中的地位。數學證明的本質

對于《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，一些數學家提出平面幾何的內容還是必要的，并且指出，其不必要性并不在于知識本