學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結果為()A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i【解析】(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】C2．在復平面內，復數1＋i和1＋3i分別對應向量eq\o(OA,\s\up15(→))和eq\o(OB,\s\up15(→))，其中O為坐標原點，則|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝()\r(2) B．2\r(10) D．4【解析】由復數減法運算的幾何意義知，eq\o(AB,\s\up15(→))對應的復數為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2.【答案】B3．復數z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它們的和為實數，差為純虛數，則實數a，b的值為()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4【解析】由題意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是實數，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是純虛數，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，))解得a＝－3，b＝－4.【答案】A4．(2023·石家莊高二檢測)A，B分別是復數z1，z2在復平面內對應的點，O是原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB一定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【解析】根據復數加(減)法的幾何意義，知以eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形，故△AOB為直角三角形．【答案】B5．設z＝3－4i，則復數z－|z|＋(1－i)在復平面內的對應點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－eq\r(32＋－42)＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.【答案】C二、填空題6．計算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_______________________.【導學號：19220236】【解析】原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.【答案】16i7．z為純虛數且|z－1－i|＝1，則z＝________.【解析】設z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝eq\r(1＋b－12)＝1，解得b＝1，∴z＝i.【答案】i8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，則|z－z1|的最大值為________．【解析】|z|＝1，即|OZ|＝1，∴滿足|z|＝1的點Z的集合是以(0,0)為圓心，以1為半徑的圓，又復數z1＝2(1－i)在坐標系內對應的點為(2，－2)．故|z－z1|的最大值為點Z1(2，－2)到圓上的點的最大距離，即|z－z1|的最大值為2eq\r(2)＋1.【答案】2eq\r(2)＋1三、解答題9．已知z1＝eq\f(\r(3),2)a＋(a＋1)i，z2＝－3eq\r(3)b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4eq\r(3)，求復數z＝a＋bi.【解】z1－z2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋a＋1i))－[－3eq\r(3)b＋(b＋2)i]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋(a－b－1)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b＝4\r(3)，a－b－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，b＝1，))∴z＝2＋i.10．如圖3-2-3，已知復數z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形ABCD的三個頂點A，B，C，求這個正方形的第四個頂點對應的復數．圖3-2-3【解】法一：設正方形的第四個點D對應的復數為x＋yi(x，y∈R)，∴eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))對應的復數為(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))對應的復數為(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，y－2＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝－1.))故點D對應的復數為2－i.法二：∵點A與點C關于原點對稱，∴原點O為正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，∴x＝2，y＝－1，故點D對應的復數為2－i.[能力提升]1．(2023·昆明高二檢測)實數x，y滿足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，則xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，x－y＝0，))∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】A2．△ABC的三個頂點對應的復數分別為z1，z2，z3，若復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的()【導學號：19220237】A．內心 B．垂心C．重心 D．外心【解析】由已知z對應的點到z1，z2，z3對應的點A，B，C的距離相等．所以z對應的點為△ABC的外心．【答案】D3．已知|z|＝2，則|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知復數z對應的點在圓x2＋y2＝4上，圓心為O(0,0)，半徑r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示復數z對應的點與M(－3,4)之間的距離，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值為|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在復平面內，A，B，C三點分別對應復數1,2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))對應的復數；(2)判斷△ABC的形狀．【解】(1)∵A，B，C三點對應的復數分別為1,2＋i，－1＋2i.∴eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))對應的復數分別為1,2＋i，－1＋2i(O為坐標原點)，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(－1,2)．∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(－2,2)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝(－3,1)．即eq\o(AB,\s\up15(→))對應的復數為1＋i，eq\o(AC,\s\up15(→))對應的復數為－2＋2i，eq\o(BC,\s\up15(→))對應的復數為－3＋i.(2)∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(－22＋22)＝eq\r(8)，|eq\o