第1章

測試技術的基本知識第1篇：測試技術基礎第2章

測量誤差和數據處理2.1測量誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統誤差分析2.6間接測量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測量數據的處理2.9最小二乘法第2章：測量誤差和數據處理授課時間：4學時主要內容：測量誤差、來源及分類、隨機誤差和系統誤差分析、間接測量的誤差傳遞和分配、誤差的合成、測量數據的處理重點與難點：誤差分析、傳遞、分配、合成和測量數據的處理。第2章：測量誤差和數據處理1.為什么測量結果都帶有誤差？2.為什么方差和標準差可以描述測量的重復性或被測量的穩定性？3.什么是真實值？應用中如何選擇？4.誤差的來源一般如何考慮？5.試驗中為什么要進行多次測量？思考？§2.1：測量誤差2.1.1誤差2.1.2誤差的表示方法真值A0一個物理量在一定的條件下所呈現的客觀大小或真實數值。2.1.1誤差理想的測量儀器?無誤差測量？物理量的真值是無法測量指定值As(計量基準)一般由國家設立各種盡可能維持不變的實物標準（基準），以法定的形式指定其所體現出來的量值作為計量單位的指定值。指定值也叫約定真值，一般用來代替真值。2.1.1誤差實際值A也叫相對真值，在每一級的比較中，都以上一級標準所體現的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值。如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/3～1/10，就可以認為更高一級測量器具的測量值為真值。2.1.1誤差標稱值測量器具上標定的數值稱為標稱值。標稱值并不一定等于它的真值或實際值。在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級。2.1.1誤差示值也稱測量器具的測得值或測量值，測量器具指示的被測量量值，包括數值和單位。與測量儀表的讀數存在區別。比如：100分度表表示50mA的電流表，指針指在刻度盤的50處時，讀數是50，而值是25mA。在記錄測量數據時，需要記錄儀表量程、讀數和示值。數字顯示儀表，示值和讀數是統一的。2.1.1誤差電流表電壓表測量誤差測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異，稱之為測量誤差。測量器具不準確測量手段不完善環境影響測量操作不熟練工作疏忽等2.1.1誤差單次測量單次測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。單次測量不能反映測量結果的精密度。給出被測量的大致概念和規律。多次測量多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結果的一致性。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量。2.1.1誤差等精度測量在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱為等精度測量。等精度測量的測量結果具有同樣的可靠性。非等精度測量如果在同一被測量的多次重復測量中，不是所有的測量條件都是維持不變的，稱為非等精度測量。有時為了驗證某些結果或結論，研究新的測量方法，檢定不同的測量儀器也要進行非等精度測量。2.1.1誤差絕對誤差Δx2.1.2誤差的表示方法絕對誤差測量值實際值人體體溫：37±2℃爐窯爐溫：1400±2℃

特點：有量綱有符號有方向恒不為零測量儀表的絕對誤差2.1.2誤差的表示方法

修正值c與絕對誤差的絕對值相等符號相反；由上級標準給出，可以是表格、曲線或函數表達式可以得到被測量的實際值A為實際值x為標稱值某溫度表測得溫度示值為120.1℃，查溫度表鑒定書得知該溫度表在120.1℃及其附近的修正值為－0.1℃，則被測量的實際值？舉例測量值：x＝120.1℃修正值：c＝－0.1℃實際值：A＝x+c＝120.0℃實際相對誤差2.1.2誤差的表示方法示值相對誤差/標稱相對誤差滿度相對誤差/滿度誤差/引用誤差2.1.2誤差的表示方法

滿度誤差實際上給出了儀表量程內絕對誤差的最大值。

儀表準確度等級S按照滿度誤差分級，0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0舉例：某電壓表S＝0.5，表明準確度等級為0.5，即滿度誤差不超過0.5級，即|γm|≤0.5% 或γm＝±0.5％例2.1.1某電壓表S＝1.5，試算出它在0～100V量程中的最大絕對誤差。解：由題知

儀器滿度值xm＝100V

準確度等級S＝1.5

即滿度誤差γm＝±1.5％

則最大絕對誤差Δxm＝±1.5%×100＝±1.5V例題誤差整量化處理：認為儀器在同一量程各處的絕對誤差為常數且等于最大絕對誤差Δxm。例2.1.2某1.0級壓力表，滿度值xm＝1.00MPa，求測量值分別為x1＝1.00MPa，x2＝0.80MPa，x3＝0.20MPa時的絕對誤差和示值相對誤差。

例題絕對誤差示值相對誤差例2.1.3要測量100℃的溫度，限于現有0.5級、測量范圍為0～300℃和1.0級、測量范圍為0～100℃的兩種溫度計，試選擇合適的溫度計。

例題0～300℃0～100℃為了減小測量誤差，盡量選擇使示值接近量程的儀表，一般以示值不小于滿度值的2/3為宜；同一量程內，測得值越小，示值相對誤差越大；儀表的準確度并不是測量結果的準確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等，否則測得值的準確度要低于儀表的準確度等級；實際中需要選擇合適量程的儀表，以減小示值相對誤差。

結論練習題某臺溫度儀表的標尺范圍為0-500℃，精度等級為1.0級，已知其絕對誤差最大值為6℃，問該儀表是否合格？某臺0-1000℃的溫度顯示儀表，工藝上要求指示誤差不超過7℃，問如何確定該儀表的精度？現有2.5級、2.0級、1,

5級三塊測溫儀表，測量范圍分別為-100~500℃、-50~550℃、0~1000℃，現要測量500℃的溫度，其測量值的相對誤差不超過2.5%，問選哪塊儀表最合適？§2.2：測量誤差的來源2.2.1儀器誤差2.2.2人身誤差2.2.3影響誤差2.2.4方法誤差儀器誤差又稱設備誤差，是由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器帶有的誤差。細分讀數誤差內部噪聲誤差穩定誤差動態誤差等2.2.1儀器誤差減小儀器誤差的主要途徑：根據測量任務，正確的選用合適的測量方法和使用測量儀器，在額定的使用工作條件下按照使用要求進行操作。對于數字式儀器，盡量使顯示設備顯示盡可能多的有效數字。人身誤差主要指測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習慣等而對測量實驗中的現象與結果判斷不準確而造成的誤差。減小人身誤差的主要途徑提高測量者的操作技能和工作責任心，采用更合適的測量辦法，采用數字式儀表避免讀數視差。2.2.2人身誤差影響誤差指各種環境與要求條件不一致造成的誤差；當環境條件符合要求時，影響誤差通常可以忽略不計；當對于精密測量和計量而言，需要根據現場的溫度、壓力、濕度、電源電壓等影響值求出各項影響誤差。2.2.3影響誤差方法誤差測量方法不當測量設備操作使用不當測量所依據的理論不嚴格測量計算公式不適當簡化方法誤差修正方法誤差通常以系統誤差（恒值系統誤差）形式表現出來，原則上是可以通過理論分析和計算或改變測量方法加以消除或修正。2.2.4方法誤差§2.3誤差的分類2.3.1系統誤差2.3.2隨機誤差2.3.3粗大誤差系差在多次等精度測量同一恒定量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時按照某種規律變化的誤差。分類恒定系差：大小和符號保持不變變值系差累進性系差周期性系差按復雜規律變化系差2.3.1系統誤差系差ε時間/tabcd體現了測量的正確度系差特點測量條件不變，系差為確切數值；多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差；條件改變時，系差也隨之改變，具有重復性。產生系差原因測量儀器設計原理及制作缺陷；測量時的環境條件與儀器儀表使用要求不一致等；采用近似的測量方法或近似的計算公式；測量人員估計讀數時習慣等。2.3.1系統誤差隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一恒定量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號無規則變化的誤差。隨機誤差特點有界性：多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限；對稱性：測量次數足夠多時，正負誤差出現的機會幾乎相等；抵償性：正負誤差的算術平均值趨于零。2.3.2隨機誤差基于隨機誤差特點，可以對多次測量取平均值的辦法減小隨機誤差的影響。體現了測量的精密度2.3.2隨機誤差隨機誤差產生原因測量儀器元件產生噪聲，零部件配合的不穩定、摩擦、接觸不良等；溫度即電源電壓的無規格波動，電磁干擾，地基震動等；測量人員感官器官的無規則變化而造成的讀數不穩定。2.3.2隨機誤差2.3.3粗大誤差粗大誤差也稱疏失誤差，在一定的測量條件下，測量值明顯地偏于實際值所形成的誤差。產生粗大誤差原因測量方法不當或錯誤；測量操作疏忽和失誤；測量條件的突然變化。三種誤差之間誤差三種誤差之間關系粗大誤差隨機誤差系統誤差測量結果系差和隨機誤差關系系差和隨機誤差關系同時存在，具體問題，具體分析；系統誤差遠大于隨機誤差，按照純粹系差處理；系統誤差極小或已得到修正，此時可以按照純粹隨機誤差處理；系統誤差和隨機誤差相差不遠，兩者均不可忽略，則應按照不同的辦法處理。§2.4隨機誤差分析2.4.1隨機誤差定義2.4.2測量值的數學期望和標準差2.4.3誤差正態分布規律2.4.4隨機誤差的表達形式2.4.5標準偏差的計算2.4.6算術平均值的標準差和標準差的標準差2.4.7有限次測量結果的表達2.4.1隨機誤差的定義定義在相同條件下，多次重復測量同一個物理量，以不可預定的方式變化的測量誤差的分量稱為隨機誤差。特點隨機性不能修正不能完全消除，只能加以減小或限制。因此，要想得到正確的測量結果，必須經過多次重復測量。理論基礎：概率論和數理統計2.4.2測量值的數學期望和標準差樣本平均值n個測量值的算術平均值（n次等精度測量）數學期望測量次數n趨于無窮大時，樣本平均值的極限定義為測量值的數學期望。2.4.2測量值的數學期望和標準差隨機誤差假設上述測量不含系統誤差和粗大誤差，則測量值與真值之間的絕對誤差即為隨機誤差。隨機誤差的算術平均值由于隨機誤差的補償性，隨機誤差的數學期望值為零。測量值的數學期望等于被測量真值2.4.2測量值的數學期望和標準差隨機誤差有限次測量，當測量次數足夠多時近似認為實際測量工作中，將多次測得值的算術平均值稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值！2.4.2測量值的數學期望和標準差剩余誤差/殘差當進行有限次測量時，各次測量值與算術平均值之差，定義為剩余誤差或殘差。殘差的代數和為零，可以用來檢驗計算的算術平均值是否正確，當進行無窮多次測量時，殘差即為隨機誤差！兩邊分別求和2.4.2測量值的數學期望和標準差樣本方差方差定義為測量次數無窮大時測量值與期望值之差的平方的統計平均值，即標準差為了與隨機誤差單位一致，上式兩邊開方得到測量值的標準誤差或均方根誤差，也稱標準偏差。2.4.3誤差正態分布規律正態分布規律－高斯分布Exφ(x)φ(δ)δ測量值在數學期望值上出現的概率最大等于零的隨機誤差出現的概率最大2.4.3誤差正態分布規律測量值的概率密度函數隨機誤差的概率分布函數概率密度函數正態分布概率密度函數2.4.3誤差正態分布規律隨機誤差特征絕對值小的誤差出現的概率大，反之則小——有界性；大小相等，符號相反的誤差出現的概率相等——對稱性和抵償性；正態分布曲線愈尖銳，表明測量值越集中，精密度高，反之則低；2.4.4隨機誤差的表達形式剩余誤差v最大絕對誤差U標準偏差σ2.4.4隨機誤差的表達形式算術平均誤差θ算術平均誤差θ與標準差之間關系2.4.4隨機誤差的表達形式算術平均誤差θ與標準差之間關系（續）θ＝0.7979σ＝4σ/5對應置信區間為57.62%2.4.4隨機誤差的表達形式或然誤差(中值誤差)

ρ或或然誤差ρ與標準差關系ρ＝0.674489σ＝2σ/3對應置信區間為50%2.4.4隨機誤差的表達形式極限誤差δlim[-σ,+σ][-2σ,+

2σ][-3σ,+3σ]即：即測得值xi的置信區間為[Ex－3σ，Ex＋3σ]時的置信概率分別為0.997，因此定義Δ＝3σ為極限誤差，或稱最大誤差。2.4.4隨機誤差的表達形式2.4.4隨機誤差的表達形式萊特準則δlim按照|δi|>3σ來判斷壞值的前提：大量等精度測量測量數據滿足正態分布極限誤差和最大誤差區別最大絕對誤差的定義是不超過，極限誤差定義說明測量誤差有可能超過，只是概率很小。2.4.4隨機誤差的表達形式極差R測量序列中測量值的最大值和最小值之差的絕度值：評價測量序列的精度極限誤差、標準偏差、算術平均偏差、或然誤差置信限大小置信概率2.4.5標準偏差的計算極差法n2345678910d1.141.912.242.482.672.832.963.083.19d：轉換因子，隨測量次數n不同而異2.4.5標準偏差的計算標準偏差的極大似然估計標準偏差的極大似然估計是有偏估計2.4.5標準偏差的計算貝塞爾公式計算n>1，計算標準偏差時常用的公式2.4.5標準偏差的計算標準偏差的無偏估計即根據貝塞爾公式求得標準差的估計值，乘以修正系數，得到標準偏差的無偏估計！2.4.6算術平均值和標準差的標準差算術平均值的標準差2.4.6算術平均值和標準差的標準差相關結論在n次測量的等精度測量列中，算術平均值的標準差為單次測量標準差的倍，測量次數越大，算術平均值越接近被測量的真值，測量精度也越高；N次重復測量的算術平均值服從以真值為中心，以為方差的正態分布；算術平均值的分布范圍是單次測量值的分布范圍的，即其測量精度提高了倍。2.4.6算術平均值和標準差的標準差標準差的標準差或當n＝8時當n＝100時2.4.6算術平均值和標準差的標準差相關結論當n較大時，所求出的標準差比n較小時求出的更可靠，說明估計值密集在標準差周圍的比較多；總的來說，估計值并不精密，用貝塞爾公式求出的標準差的有效數字最多取兩位。2.4.7有限次測量的表達算術平均值的標準差算術平均值的極限誤差測量結果表示2.4.7有限次測量的表達有限次測量時測量值的標準差測量平均值的標準差算術平均值標準差的最佳估計2.4.7有限次測量的表達測量結果的處理舉例例2.4.1用溫度表對某一溫度測量10次，設已消除系統誤差和粗大誤差，得到數據如下表，試給出最終測量結果表達式§2.5系統誤差分析2.5.1系統誤差的特性2.5.2系統誤差的判斷2.5.3消除系統誤差產生的根源2.5.4消除系統誤差的典型測量技術2.5.5消除系統誤差的其他方法2.5.1系統誤差的特性

排除粗差后設系差為恒值隨機誤差抵償性由此可見：系差與隨機誤差同時存在，若測量次數足夠多，則各次測量絕對誤差的算術平均值等于系差。2.5.2系統誤差的判斷理論分析法凡屬于測量方法或測量原理引入的誤差，可通過對測量方法的定性定量分析發現系統誤差，甚至計算出系統誤差的大小。校準和比對法可用準確度更高的測量儀表進行重復測量以發現系統誤差。用多臺同型號儀器進行比對，觀察比對結果以發現系差，但通常不能察覺和衡量理論誤差。2.5.2系統誤差的判斷改變測量條件法系差常與測量條件有關，改變測量條件，根據對分組測量數據的比較，有可能發現系差。剩余誤差觀察法根據測量數據數列出各個剩余誤差的大小、符號和變化規律，以判斷有誤系差及類型。2.5.3消除系差產生的根源消除系差產生的根源采用的測量方法和測量原理正確；選用的儀器儀表類型正確，準確度滿足測量要求；測量儀器定期檢定、校準，測量前正確調零，按照操作規范正確使用儀表；條件允許時，可盡量用數字顯示儀器代替指針式儀器；提高測量人員的學識水平，操作技能，去除不良習慣。2.5.4消除系差的典型測量技術零示法XPSPEsRsR1R2UxUsIp被測量僅與標準量有關2.5.4消除系差的典型測量技術替代法PER1R2RxR3Rs可見，測量誤差僅取決于標準電阻Rs的誤差2.5.5消除系差的其他方法利用修正值或修正因數加以消除利用測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數據或校正公式進行修正。隨機化處理同一被測量用多臺測量儀器測量，取測量值的平均值作為測量結果。2.5.5消除系差的其他方法智能儀器中系統誤差的消除直流零位校準（萬用表校準）自動校準2.5.5消除系差的其他方法課后習題4，6，7，9，17，182.1測量誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統誤差分析2.6間接測量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測量數據的處理2.9最小二乘法第2章：測量誤差和數據處理1.誤差合成和誤差分配有何區別？2.在測試技術中，什么情況下用到誤差分配？3.對含有粗大誤差的異常值如何處理和判別？思考？§2.6：

間接測量的誤差傳遞與分配2.6.1間接測量的誤差傳遞2.6.2常用函數的誤差傳遞2.6.3間接測量的誤差分配2.6.1間接測量的誤差傳遞誤差傳遞已知每一個直接測量誤差，求間接測量量的誤差，即為誤差傳遞。R——直接測量量l——直接測量量d——直接測量量ρ——間接測量量G——直接測量量T1——直接測量量T2——直接測量量Q——間接測量量2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的絕對誤差2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的絕對誤差（續）誤差傳遞系數2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的相對誤差兩邊同時除以y2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差前提是測量列只含隨機誤差2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）定義相關系數2.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的標準差（續）測量次數足夠多隨機誤差相互獨立相關系數＝02.6.1間接測量的誤差傳遞間接測量的誤差傳遞公式取y的極限誤差Δy2.6.1間接測量的誤差傳遞等精度多次測量的間接測量量的誤差傳遞公式絕對誤差形式相對誤差形式2.6.2常用函數的誤差傳遞和差函數的誤差傳遞誤差符號不能確定2.6.2常用函數的誤差傳遞和差函數的誤差傳遞（續）2.6.2常用函數的誤差傳遞和差函數的誤差傳遞（續）對于差函數，當測得值非常接近時，可能造成很大誤差！例題例2.6.1已知電阻R1＝1KΩ，R2＝2KΩ，相對誤差均為5％，求串聯后的相對誤差。解：串聯后電阻R＝R1＋R2由和函數誤差傳遞可知相對誤差相同的電阻串聯后總電阻的相對誤差與單個電阻相等例題例2.6.2用溫度表測量散熱器進出口水溫差，溫度表滿量程為100℃，準確度為±1％，測得進口水溫T1為65℃，出口水溫T2為60℃，試計算溫差T＝T1－T2的相對誤差。解：溫度表最大絕對誤差為±1%×100℃＝±1℃

進口水溫T1的最大相對誤差為±1℃/65℃≈±1.5%出口水溫T1的最大相對誤差為±1℃/60℃≈±1.7%雖然所用溫度表相對誤差小，但測量結果誤差大2.6.2常用函數的誤差傳遞積函數誤差傳遞2.6.2常用函數的誤差傳遞商函數誤差傳遞2.6.2常用函數的誤差傳遞冪函數誤差傳遞例題2.6.3電流流過電阻產生的熱量Q=0.24I2Rt，若已知γi＝±2％，γR＝±1％，γt＝±0.5％，求γQ？解：直接由積函數的誤差傳遞公式得：2.6.3間接測量的誤差分配已知要求總誤差的前提，合理分配各誤差分量。總誤差誤差分量誤差分量誤差分量選擇合適儀表選擇合適儀表選擇合適儀表2.6.3間接測量的誤差分配等作用原則分配誤差2.6.3間接測量的誤差分配極限誤差表示形式例題例2.6.4設計一個簡單的散熱器熱工性能實驗裝置，利用下式計算散熱量，Q＝Lρc(t1-t2),設計工況為t1－t2＝25℃，L＝50L/h。最高不超過100℃，要求散熱量的測量誤差不超過10％，需要如何進行誤差分配及選擇測量儀表。依正態分布可寫成誤差限ΔQ的傳遞公式，兩邊同時除以Q2，1)根據標準誤差傳遞公式，寫出相對誤差關系式例題2)按誤差等作用原則進行誤差分配有D≤7.1%，以此為選擇儀表的依據例題3)選擇測量儀表流量測量量程：40～400L/h，精度：1.5級溫度測量量程：0～100℃，允許誤差：±1.0℃現有儀表例題流量測量最大誤差設計工況示值相對誤差不滿足要求溫度測量設計工況示值相對誤差例題選擇上述儀表，則總誤差為：要求誤差總誤差即：上述儀表不滿足設計要求！更換設備例題重新選擇流量計：量程：40～400L/h，精度：1.0級最大誤差設計工況示值相對誤差復核：選擇上述儀表，則總誤差為：§2.7：

誤差的合成2.7.1隨機誤差的合成2.7.2系統誤差的合成2.7.3隨機誤差與系統誤差的合成2.7誤差的合成實際測量中可能同時存在粗大誤差、隨機誤差和系統誤差；當剔除粗大誤差后，決定測量準確度的是系統誤差和隨機誤差，而測量的準確度是用總誤差來度量的；誤差合成：已知不同類型的單項誤差求測量中的總誤差即為誤差合成問題。2.7.1隨機誤差的合成K個測量結果的隨機誤差彼此獨立，則綜合后誤差的標準差：2.7.2系統誤差的合成確定的系統誤差的合成代數合成法：已知各系差的大小和符號絕對值合成法：可以估計系差絕對值大小，不能確定符號此法對于測量次數大于10時誤差估計偏大2.7.2系統誤差的合成確定的系統誤差的合成（續）方和根合成法：可以估計系差絕對值大小，不能確定符號,且測量次數大于10當系差純屬于定值系統誤差（大小及符號確定）時，可直接采用與定值系差大小相等，符號相反的量去修正例題例2.7.1使用彈簧管壓力表測量管道壓力，試計算系統誤差。壓力表p’ph管道流體壓力測量示意圖已知條件：壓力表S＝0.5量程0～600kPa刻度分度值2kPah＝0.5m示值300kPa指針擺動±1格環境溫度30℃（20℃使用，每偏1℃造成附加誤差為基本誤差4%）例題儀表基本誤差：環境溫度附加誤差：安裝位置誤差：讀數誤差：系統總誤差：相對誤差：例題方和根合成法：相對誤差：2.7.2系統誤差的合成不確定的系統誤差的合成線性相加法：方根合成法：測量次數q小于10標準差方根合成法：2.7.3隨機誤差和系統誤差的合成隨機誤差的極限誤差：k個獨立的隨機誤差確定系統誤差：m個確定的系統誤差不確定系統誤差：q個不確定的系統誤差測量結果綜合誤差：§2.8：

測量數據的處理2.8.1有效數字的處理2.8.2等精度測量結果的處理2.8.1有效數字的處理有效數字從誤差的觀點定義近似值的有效數字；末位數字是個位，則包含的絕對誤差不大于0.5；末位是十位，則包含的絕對誤差不大于5；對于絕對誤差不大于末位數字的一半，從它左邊第一個不為0的數字起，到右邊最后一個數字（包括零）止，都叫有效數字。2.8.1有效數字的處理3.1416五位有效數字Δ≤0.000053.142四位有效數字Δ≤0.00058700四位有效數字Δ≤0.587×102二位有效數字Δ≤0.5×1020.087二位有效數字Δ≤0.00050.807三位有效數字Δ≤0.0005可以發現：位于中間和末尾的零都是有效數字，位于第一個非零數字前面的0，都不是有效數字2.8.1有效數字的處理欠準數字測量結果最后一位是欠準確的估計值。決定有效數字位數的標準是誤差。2.8.1有效數字的處理舍入規則：小于5舍，大于5入，等于5采取偶數法則最后面的數字大于0.5個單位，末位進1；最后面的數字小于0.5個單位，末位不變；恰為0.5個單位，則奇數進1，偶數不變。例如：12.34——12.3（4<5，舍去）12.36——12.4（4>5，進一）12.35——12.4（3是奇數，5入）12.45——12.4（4是偶數，5舍）2.8.1有效數字的處理有效數字的運算法則保留的位數原則上取決于各數中精度最差的那一項。加法運算原則：以小數點后位數最少的為準（無小數點則以有效數字最少者為準），其余各項可多取一位。減法運算原則：當相減兩數相差甚遠時，原則同加法。2.8.1有效數字的處理有效數字的運算法則：保留的位數原則上取決于各數中精度最差的那一項。乘除法運算原則：以有效數字位數最少的為準，其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等2.8.1有效數字的處理有效數字的運算規則乘方、開方運算：運算結果比原數多保留一位有效數字。2.8.2等精度測量結果的處理對測量結果初步修正，列出表格求出算術平均值列出殘差，驗證計算結果列出殘差平方，計算標準偏差按照極限誤差剔除粗差和壞值所有殘差小于極限誤差判斷有無系差，并給以修正、消除后重新測量算出平均值的標準差列出最后表達式2.8.2等精度測量結果的處理對某溫度進行了16次等精度測量，測量數據已計入修正值，要求給出測量結果的表達式。nxivivi'(vi')21205.300.00+0.090.00812204.94-0.36-0.270.07293205.630.330.420.17644205.24-0.06+0.030.00095206.651.3506204.97-0.33-0.240.05767205.360.06+0.150.02258205.16-0.14-0.050.00259205.710.41+0.500.2510204.70-0.60-0.510.260111204.86-0.44-0.350.122512205.350.05+0.140.019613205.21-0.090.00014205.19-0.11-0.020.000415205.21-0.090.00016205.320.02+0.110.0121計算值205.300.000.002.8.2等精度測量結果的處理極限誤差Δ＝1.332.8.2等精度測量結果的處理極限誤差Δ＝0.812.8.2等精度測量結果的處理極限誤差Δ＝0.81§2.9：

最小二乘法2.9.1最小二乘法的原理2.9.2線性經驗公式的最小二乘法擬合2.9.3冪級數多項式的最小二乘法擬合2.9.4兩種常用非線性模型的最小二乘法擬合2.9.5一般線性參數最小二乘法2.9.1最小二乘法原理基本原理：最小二乘法是指測量值與測量結果最佳值之差的平方和最小，即：等精度測量：算術平均值即為最佳值，各測量值與算術平均值之差的平方和最小；非等精度測量：最佳值為各測量值與算術平均值之差的加權平均值。2.9.1線性經驗公式的最小二乘法擬合兩個量x，y間有線性關系：(xn,yn)(x2,y2)(x1,y1)2.9.2線性經驗公式的最小二乘法擬合