學業分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．(2023·浙江高考改編)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的序號是__________．(1)若m⊥n，n∥α，則m⊥α；(2)若m∥β，β⊥α，則m⊥α；(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α；(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α.【解析】(1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．【答案】(3)2．如圖1-2-98，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為________．圖1-2-98【解析】如圖，取BD中點O，連結OC，OC1，∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6).∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角，∴tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.【答案】30°3．下列四個命題：①過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直；②過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行；③如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行；④如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內．其中真命題的序號是________.【導學號：60420233】【解析】根據空間點、線、面間的位置關系，過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直，故①正確；過平面外一點有無數條直線與該平面平行，故②不正確；根據平面與平面平行的性質定理知③正確；根據兩個平面垂直的性質知④正確．從而正確的命題有①③④.【答案】①③④4．如圖1-2-99所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為________．圖1-2-99【解析】∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小為90°.【答案】90°5．已知三棱錐D-ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則二面角D-BC-A的大小為________．【解析】如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.取BC的中點E，連結DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90°.【答案】90°6．如圖1-2-100所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，此時∠B′AC＝60°，那么這個二面角大小是________．圖1-2-100【解析】連結B′C，則△AB′C為等邊三角形，設AD＝a，則B′C＝AC＝eq\r(2)a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.【答案】90°7．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個四棱錐的五個面中兩兩垂直的共有________對．【解析】因為AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對．【答案】58．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，則平面α與平面β的位置關系是________．【解析】因為PC⊥α，AB?α，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.設AB與平面PCD的交點為H，連結CH，DH.因為AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.【答案】垂直二、解答題9.如圖1-2-101，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.圖1-2-101求證：平面PBD⊥平面PAC.【證明】∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD?平面PBD，平面PBD⊥平面PAC.10．如圖1-2-102，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C圖1-2-102(1)求證：平面MNF⊥平面NEF；(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值．【解】(1)證明：連結MN，∵N，F均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN又∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連結MG.由(1)得知MN⊥平面NEF.又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角．設該正方體的棱長為2.在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(\r(2)×2,\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2).[能力提升]1．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出下列四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：__________.【解析】由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性質定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.【答案】①③④?②(或②③④?①)2．如圖1-2-103，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.【圖1-2-103【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝【答案】a或23．如果一個三棱錐的三個側面兩兩垂直，則頂點在底面內的射影是底面三角形的________心．【解析】三側面兩兩垂直，則三條側棱也兩兩垂直，∴PC⊥平面PAB，∴AB⊥PC，作PO⊥平面ABC于點O，則AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC，同理，OB⊥AC，∴O為△ABC的垂心．【答案】垂4．如圖1-2-104，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.圖1-2-104(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．【證明】(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，連結PG.∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG?平面PGB，BG?平面PGB