§1回歸分析1．1回歸分析1．2相關系數1．3可線性化的回歸分析1．了解回歸分析的思想和方法．(重點)2．掌握相關系數的計算和判斷線性相關的方法．(重點)3．了解常見的非線性回歸模型轉化為線性回歸模型的方法．(難點)[基礎·初探]教材整理1回歸分析閱讀教材P3～P6“練習”以上部分，完成下列問題．設變量y對x的線性回歸方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數的計算公式為：b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為，據此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為()【導學號：67720000】A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝42－×＝，∴回歸方程為y＝＋，∴當x＝6時，y＝×6＋＝，故選B．【答案】B教材整理2相關系數閱讀教材P6“練習”以下至P9“練習”以上部分，完成下列問題．1．相關系數r的計算假設兩個隨機變量的數據分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關系數r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).2．相關系數r與線性相關程度的關系(1)r的取值范圍為[－1,1]；(2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關程度越高；(3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關程度越低．3．相關性的分類(1)當r>0時，兩個變量正相關；(2)當r<0時，兩個變量負相關；(3)當r＝0時，兩個變量線性不相關．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個變量的相關系數r＞0，則兩個變量正相關．()(2)兩個變量的相關系數越大，它們的相關程度越強．()(3)若兩個變量負相關，那么其回歸直線的斜率為負．()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3可線性化的回歸分析閱讀教材P9～P13“練習”以上部分，完成下列問題．1．非線性回歸分析對不具有線性相關關系的兩個變量做統計分析，通過變量代換，轉化為線性回歸模型．2．非線性回歸方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lnyu＝c＋bx曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數y＝aeeq\f(b,x)(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝eq\f(1,x)u＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0)v＝lnxu＝yu＝a＋bv下列數據x，y符合哪一種函數模型()x12345678910y234A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\f(1,x) D．y＝2＋lnx【解析】分別將x的值代入解析式判斷知滿足y＝2＋lnx.【答案】D[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：___________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：___________________________________________[小組合作型],變量間的相關關系及判定(1)對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖1-1-1①，對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖1-1-1②.由這兩個散點圖可以判斷()圖1-1-1A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關(2)兩個變量x，y與其線性相關系數r有下列說法：①若r＞0，則x增大時，y也隨之相應增大；②若r＜0，則x增大時，y也相應增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上，其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③(3)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成績；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個變量成正相關的是()A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤【精彩點撥】可借助于線性相關概念及性質作出判斷．【自主解答】(1)由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關，故選C．(2)根據兩個變量的相關性與其相關系數r之間的關系知，①③正確，②錯誤，故選C．(3)其中①③成負相關關系，②⑤成正相關關系，④成函數關系，故選C．【答案】(1)C(2)C(3)C1．線性相關系數是從數值上來判斷變量間的線性相關程度，是定量的方法．與散點圖相比較，線性相關系數要精細得多，需要注意的是線性相關系數r的絕對值小，只是說明線性相關程度低，但不一定不相關，可能是非線性相關．2．利用相關系數r來檢驗線性相關顯著性水平時，通常與作比較，若r>，則線性相關較為顯著，否則為不顯著．[再練一題]1．下列兩變量中具有相關關系的是()A．正方體的體積與邊長B．人的身高與體重C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間D．球的半徑與體積【解析】選項A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數關系；選項C中勻速行駛車輛的行駛距離與時間成正比，也是函數關系；選項D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定函數關系．只有選項B中人的身高與體重具有相關關系．【答案】B,求線性回歸方程某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數據如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷售量y(件)24334055(1)算出線性回歸方程y＝bx＋a(a，b精確到；(2)氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6℃【精彩點撥】(1)可利用公式求解；(2)把月平均氣溫代入回歸方程求解．【自主解答】(1)由散點圖易判斷y與x具有線性相關關系．eq\x\to(x)＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，eq\x\to(y)＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，eq\o(∑,\s\up6(4))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1267，eq\o(∑,\s\up6(4))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝526，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－4\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(4))\o(,\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(1267－4×10×38,526－4×102)≈－，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈38－(－×10＝，所以線性回歸方程為y＝－＋.(2)氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6℃，據此估計，該商場下個月毛衣的銷售量為y＝－＋＝－×6＋≈1．回歸分析是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，因此，在做回歸分析時，要先判斷這兩個變量是否相關，利用散點圖可直觀地判斷兩個變量是否相關．2．利用回歸直線，我們可以進行預測．若回歸直線方程y＝a＋bx，則x＝x0處的估計值為y0＝a＋bx0.3．線性回歸方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計而得到的，存在著誤差，這種誤差可能導致預報結果的偏差，所以由線性回歸方程給出的是一個預報值而非精確值．4．回歸直線必過樣本點的中心點．[再練一題]2．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得到下表數據：x681012y2356(1)請畫出上表數據的散點圖(要求：點要描粗)；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(3)試根據求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力.【導學號：67720001】【解】(1)如圖：(2)eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝4－×9＝－，故線性回歸方程為y＝－.(3)由(2)中線性回歸方程知當x＝9時，y＝×9－＝4，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4.[探究共研型],可線性化的回歸分析探究1如何解答非線性回歸問題？【提示】非線性回歸問題有時并不給出經驗公式．這時我們可以畫出已知數據的散點圖，把它與學過的各種函數(冪函數、指數函數、對數函數等)圖像作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數，然后采用適當的變量變換，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：探究2已知x和y之間的一組數據，則下列四個函數中，模擬效果最好的為哪一個？x123y3①y＝3×2x－1;②y＝log2x；③y＝4x;④y＝x2.【提示】觀察散點圖中樣本點的分布規律可判斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1附近．所以模擬效果最好的為①.某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)(1)試建立y與x之間的回歸方程；(2)如果一名在校男生身高為168cm，預測他的體重約為多少？【精彩點撥】先由散點圖確定相應的擬合模型，再通過對數變換將非線性相關轉化為線性相關的兩個變量來求解．【自主解答】(1)根據表中的數據畫出散點圖，如下：由圖看出，這些點分布在某條指數型函數曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110zx120130140150160170z作出散點圖，如下：由表中數據可求得z與x之間的回歸直線方程為z＝＋，則有y＝＋.(2)由(1)知，當x＝168時，y＝＋×168≈，所以在校男生身高為168cm，預測他的體重約為57.57kg.兩個變量不具有線性關系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關系，可以通過變換的方法轉化為線性回歸模型，如y＝c1ec2x，我們可以通過對數變換把指數關系變為線性關系，令z＝lny，則變換后樣本點應該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．[再練一題]3．在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數據如下表：x124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．【解】作出變量y與x之間的散點圖如圖所示．由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數關系．設y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.由y與x的數據表可得y與t的數據表：t421y1612521作出y與t的散點圖如圖所示．由圖可知y與t呈近似的線性相關關系．又eq\x\to(t)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝5，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\a\vs4\al(\x\to(t))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f－5××,5－5×≈4，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝－4×≈，∴y＝4t＋.所以y與x的回歸方程是y＝eq\f4,x)＋.[構建·體系]1．下列結論正確的是()①函數關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回歸分析是對具有函數關系的兩個變量進行統計分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④【解析】函數關系和相關關系的區別是前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故①②正確；回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種方法，故③錯誤，④正確．【答案】C2．下表是x和y之間的一組數據，則y關于x的線性回歸方程必過點()x1234y1357A．(2,3) B．,4)C．,4) D．,5)【解析】線性回歸方程必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即,4)，故選C．【答案】C3．對具有線性相關關系的變量x和y，由測得的一組數據求得回歸直線的斜率為，且恒過(2,3)點，則這條回歸直線的方程為________.【解析】由題意知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝3，b＝，所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3－×2＝－10，即回歸直線的方程為y＝－10.【答案】y＝－104．部門所屬的10個工業企業生產性固定資產價值與工業增加值資料如下表(單位：百萬元)：固定資產價值33566789910工業增加值15172528303637424045根據上表資料計算的相關系數為________.【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝.eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝.所以r＝eq\f(\o(eq\i\su(i＝1,10,)\s\up6())\o()xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(eq\i\su(i＝1,10,))xi－\x\to(x)2\o(eq\i\su(i＝1,10,))yi－\x\to(y)2))≈8.【答案】85．隨著我國經濟的發展，居民的儲蓄存款逐年增長．設某地區城鄉居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20232023202320232023時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關于t的回歸方程y＝bt＋a；(2)用所求回歸方程預測該地區2023年(t＝6)的人民幣儲蓄存款．附：回歸方程y＝bt＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\