第14課時函數奇偶性的簡單應用課時目標1.能利用奇偶函數的圖象特征求函數的單調區間及函數的解析式．2．能綜合應用函數的單調性、奇偶性解決一些簡單的數學問題．識記強化1．奇函數?函數圖象關于原點對稱．2．偶函數?函數圖象關于y軸對稱．課時作業(時間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．下列函數中既是奇函數又在定義域上為增函數的是()A．f(x)＝3x＋1B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝1－eq\f(1,x)D．f(x)＝x答案：D解析：(x)＝3x＋1在定義域R上是增函數但不是奇函數．(x)＝eq\f(1,x)是奇函數但不是增函數．(x)＝1－eq\f(1,x)不是奇函數且在定義域上不是增函數，只有D符合．2．奇函數y＝f(x)(x∈R)的圖象必定經過點()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))))答案：C解析：∵f(－a)＝－f(a)，∴C正確，故選C.3．若函數f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，則下列結論正確的是()A．對任意實數a，f(x)在(0，＋∞)上是增函數B．對任意實數a，f(x)在(0，＋∞)上是減函數C．存在實數a，使f(x)是偶函數D．存在實數a，使f(x)是奇函數答案：C解析：對于A，取a＝，則f(1)＝12＋eq\f,1)＝，f＝＋eq\f,＝，顯然f(1)>f，所以A錯誤；對于B，取a＝0，則f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函數，所以B錯誤；對于C，取a＝0，則f(x)＝x2，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，則f(x)是偶函數，所以C正確；對于D，假設存在實數a使得f(x)是奇函數，則f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，顯然f(－1)≠－f(1)，即假設不成立，所以D錯誤．故選C.4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，則f(1)＝()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)\f(3,2)\f(1,2)答案：A解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).5．若f(x)＝(x－a)(x＋3)為R上的偶函數，則實數a的值為()A．－3B．3C．－6D．6答案：B解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化簡得(6－2a)x＝0.因為x∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.6．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則()A．f(－1)＜f(3)＜f(4)B．f(4)＜f(3)＜f(－1)C．f(3)＜f(4)＜f(－1)D．f(－1)＜f(4)＜f(3)答案：D解析：因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)＝0，又f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，則f(4)＝－f(0)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在區間[0,2]上是增函數，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)7．已知函數f(x)為偶函數，且當x＜0時，f(x)＝x＋1，則x＞0時，f(x)＝________.答案：－x＋1解析：當x＞0時，－x＜0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)為偶函數，∴f(x)＝－x＋1.8．已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域均為[－2,2]，且它們在x∈[0,2]上圖象如圖所示，f(x)>g(x)的解集是________．答案：[－2,0)∪(0,1)解析：做出函數f(x)，g(x)在[－2,2]上的圖象．若f(x)>g(x)，f(x)圖象應位于g(x)圖象上方，結合圖象，f(x)>g(x)解集為[－2,0)∪(0,1)．9．若奇函數f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x－1，則滿足不等式f(x－1)<0的x的取值范圍是________．答案：(1,2)∪(－∞，0)解析：方法一：當x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x－1.又函數為奇函數，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋1，x∈(－∞，0)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x＋1，x<0.))所以f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x>1，,x，x<1.)))則f(x－1)<0時，有1<x<2或x<0，此即為x的取值范圍．方法二：由于當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x－1，所以f(1)＝0，且函數在(0，＋∞)上為增函數，又函數為奇函數，所以f(－1)＝0，且函數在(－∞，0)上也為增函數，于是f(x－1)<0轉化為f(x－1)<f(1)或f(x－1)<f(－1)．當x∈(0，＋∞)時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1<1，))即1<x<2.當x∈(－∞，0)時，x－1<－1，即x<0.三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)已知函數f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數且f(x)<0.問F(x)＝eq\f(1,fx)在(－∞，0)上是增函數還是減函數？并證明你的結論．解：F(x)在(－∞，0)上是增函數，證明過程如下：設x1<x2<0，則－x1>－x2>0.F(x1)－F(x2)＝eq\f(1,fx1)－eq\f(1,fx2)＝eq\f(fx2－fx1,fx1fx2).∵f(x)是奇函數，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x2)－f(x1)<0.∵f(x)在(0，＋∞)上總小于0，－x1>－x2>0，∴f(x1)＝－f(－x1)>0，f(x2)＝－f(－x2)>0.∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x1)－F(x2)<0.即F(x1)<F(x2)．∴F(x)在(－∞，0)上是增函數．11．(13分)奇函數f(x)是定義在(－1,1)上的減函數，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求實數m的取值范圍．解：原不等式化為f(m－1)＜－f(3－2m)．因為f(x)是奇函數，所以f(m－1)＜f(2m－3)．因為f(x)是減函數，所以m－1＞2m－3，所以m＜2.又f(x)的定義域為(－1,1)，所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.綜上得1＜m＜2.故實數m的取值范圍是(1,2)．能力提升12．(5分)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為()A．－1B．0C．1D．2答案：B解析：∵f(x)是R上的奇函數∴f(0)＝0.f(2)＝－f(0)＝0.f(4)＝－f(2)＝0.f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝0.13．(15分)已知函數f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)確定函數f(x)的解析式；(2)求函數f(x)的值域．解：(1)因為f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(a－x＋b,1＋－x2)＝－eq\f(ax＋b,1＋x2)，求得b＝0.又f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5)，即eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,2)2)＝eq\f(2,5)，求得a＝1.故所求函數解析式為f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(x∈(－1,1))．(2)當x＝0時，f(0)＝0；當x≠0時，f(x)＝eq\f(x,1＋x2)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))令u(x)＝x＋eq\f(1,x)，x∈(－1,1)，且x≠0，設任意的x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，則u(x1)－u(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)(1－eq\f(1,x1x2))．因為0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1,1－eq\f(1,x1x2)＜0.又x1－x2＜0，所以u(x1)－u(x2)＞0，即u