學業分層測評(十)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．如圖2-5-17，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝()圖2-5-17A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】B2．PT切⊙O于T，割線PAB經過點O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝()\f(4,5) \f(1,2)\f(3,8) \f(3,4)【解析】如圖所示，連接OT，根據切割線定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝eq\f(PT,PO)＝eq\f(4,5).【答案】A3．如圖2-5-18，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為()圖2-5-18A． B．5C．6 D．【解析】由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為.【答案】A4．如圖2-5-19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一點O為圓心作⊙O與AC，AB都相切，又⊙O與BC的另一個交點為D，則線段BD的長為()【導學號：07370047】圖2-5-19A．1 \f(1,2)\f(1,3) \f(1,4)【解析】觀察圖形，AC與⊙O切于點C，AB與⊙O切于點E，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.如圖，連接OE，由切線長定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根據切割線定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝eq\f(1,3).【答案】C5.如圖2-5-20，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論：圖2-5-20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結論的序號是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①項，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確；②項，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正確；③項，延長AD于M，連接FD，∵AD與圓O切于點D，則∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯誤，故選A.【答案】A二、填空題6．如圖2-5-21，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線交于D，過點C作BD的平行線與圓交于點E，與AB交于點F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，則CD＝________.圖2-5-21【解析】因為AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)7．如圖2-5-22，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________.圖2-5-22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，設PD＝9a，則DB＝16a.根據切割線定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．如圖2-5-23所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．圖2-5-23【解析】設⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延長PO交⊙O于點C，則PC＝PO＋r＝3＋r.設PO交⊙O于點D，則PD＝3－r.由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)三、解答題9．(2023·山西四校聯考)如圖2-5-24所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E.圖2-5-24(1)求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．【解】(1)證明：∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA為圓O的切線，PC是過點O的割線，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，連接EC，則∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.10．如圖2-5-25，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點，PO＝4cm，∠APB＝60°，求陰影部分的周長．圖2-5-25【解】如圖所示，連接OA，O B.∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∠APO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，在Rt△PAO中，AP＝PO·coseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，OA＝eq\f(1,2)PO＝2(cm)，PB＝2eq\r(3)(cm)．∵∠APO＝eq\f(π,6)，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴leq\x\to(AB)＝∠AOB·R＝eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π(cm)，∴陰影部分的周長為PA＋PB＋leq\x\to(AB)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＋eq\f(4,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3)＋\f(4π,3)))(cm)．[能力提升]1．如圖2-5-26，已知PT切⊙O于點T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于()【導學號：07370048】圖2-5-26A．20 B．10C．5 D．8eq\r(5)【解析】∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝eq\f(DB·DA,DC)＝eq\f(4×3,2)＝6.因為TC為⊙O的直徑，所以PT⊥DT.設PB＝x，則在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割線定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.【答案】A2．如圖2-5-27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直徑CE在BC上，且與AB相切于D點，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，則BE等于()圖2-5-27\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D．1【解析】連接OD，則OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(BD,BC).設⊙O的半徑為a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由題知AD，AC均為⊙O的切線，AD＝2，∴AC＝2.∴eq\f(a,2)＝eq\f(BD,4a)，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2，∴4a4＝8a2，∴a＝eq\r(2)，∴BE＝2a＝2eq\r(2).【答案】B3．如圖2-5-28，已知P是⊙O外一點，PD為⊙O的切線，D為切點，割線PEF經過圓心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，則圓O的半徑長為__________，∠EFD的度數為__________．圖2-5-28【解析】由切割線定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°4．如圖2-5-29，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E.圖2-5-29(1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．【解】(1)證明：如圖，連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由