學案7向心力[學習目標定位]1.理解向心力的概念，知道向心力是根據力的作用效果命名的.2.掌握向心力的表達式，并會分析計算實際情景中的向心力.3.知道變速圓周運動中向心力是合外力的一個分力，知道合外力的作用效果．一、向心力1．定義：做勻速圓周運動的物體產生向心加速度的原因是它受到了指向圓心的合力，這個力叫做向心力．2．大小(1)Fn＝meq\f(v2,r).(2)Fn＝mω2r.3．方向：始終沿著半徑指向圓心．二、變速圓周運動和一般的曲線運動1．變速圓周運動：同時具有向心加速度和切向加速度的圓周運動．2．一般曲線運動的處理方法：一般的曲線運動中，可以把曲線分割成許多很短的小段，每一小段可看作一小段圓弧，研究質點在這一小段的運動時，可以采用圓周運動的處理方法進行處理.一、向心力[問題設計]1．如圖1所示，用細繩拉著小球在光滑水平面內做勻速圓周運動，若小球的線速度為v，運動半徑為r，則小球的向心加速度是多少？是什么力產生的加速度？該力的大小、方向如何？圖1答案向心加速度an＝eq\f(v2,r)，產生加速度的是小球受到的重力、支持力和繩的拉力的合力．合力的大小為F＝man＝meq\f(v2,r)，方向指向圓心．2．若月球繞地球做勻速圓周運動的角速度為ω，月地距離為r，那么月球的向心加速度是多少？是什么力產生的加速度？該力的大小方向如何？答案向心加速度an＝ω2r，是地球對月球的引力產生的加速度，引力的大小為F＝man＝mω2r，方向指向地球．[要點提煉]1．向心力的大小：Fn＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mωv＝m(eq\f(2π,T))2r.2．向心力的方向無論是否為勻速圓周運動，其向心力總是沿著半徑指向圓心，方向時刻改變，故向心力是變力．3．向心力的作用效果——改變線速度的方向．由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，故向心力不改變線速度的大小．二、向心力的來源[問題設計]請同學們分析下列幾種圓周運動所需向心力分別由什么力提供．圖2(1)地球繞太陽做圓周運動．(2)圓盤上物塊隨圓盤一起勻速轉動(如圖2甲)．(3)在光滑漏斗內壁上，小球做勻速圓周運動(如圖乙)．答案(1)太陽對地球的引力．(2)物塊受到的靜摩擦力(也可以說是物塊所受重力、支持力、靜摩擦力的合力)．(3)漏斗對小球的支持力和小球所受重力的合力．[要點提煉]1．向心力是根據力的作用效果命名的，它可以是重力、彈力、摩擦力等各種性質的力，也可以是它們的合力，還可以是某個力的分力．注意：向心力不是具有特定性質的某種力，任何性質的力都可以作為向心力，受力分析時不能添加向心力．2．物體做勻速圓周運動的條件：合外力大小不變，方向始終與線速度方向垂直且指向圓心．三、實驗：用圓錐擺粗略驗證向心力的表達式[問題設計]如圖3所示，用長為l的細線系一個質量為m的小球，當小球在水平面內做周期為T的勻速圓周運動時，繩子與豎直方向夾角為θ.圖3(1)小球受哪些力作用，合力是多少？(2)若向心力的表達式正確，會有什么樣的結果？答案(1)如圖所示，小球受到重力和拉力的作用，合力F＝mgtanθ(2)小球做圓周運動需要的向心力為F＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(4π2,T2)lsinθ，若此向心力表達式正確會有mgtanθ＝meq\f(4π2,T2)lsinθ.[要點提煉]用圓錐擺粗略驗證向心力表達式的原理：(1)讓細線帶動小球做穩定的圓周運動且小球剛好離開水平桌面(如圖4所示)，用秒表測出轉n圈的時間t，計算出周期T.圖4(2)用刻度尺測出圓半徑r和小球距懸點的豎直高度h，計算出角θ的正切值，則F＝mgtanθ.(3)驗證公式mgtanθ＝meq\f(4π2,T2)r.四、變速圓周運動和一般的曲線運動[問題設計]用繩拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做變速圓周運動，思考以下問題：(1)圖5表示做圓周運動的沙袋正在加速運動的情況，分析繩對沙袋的拉力方向并討論拉力的作用效果．圖5(2)如果將拉力按照其作用效果進行分解，兩個分力各產生了怎樣的加速度？分加速度的效果如何？答案(1)繩對沙袋的拉力方向不經過圓心，即不與沙袋的速度方向垂直，而是與沙袋的速度方向成一銳角θ，如題圖，拉力F有兩個作用效果，一是改變線速度的大小，二是改變線速度的方向．(2)根據F產生的作用效果，可以把F分解為兩個相互垂直的分力：跟圓周相切的分力Ft和指向圓心的分力Fn；Ft產生切線方向的加速度，改變線速度的大小，Fn產生向心加速度，改變線速度的方向．[要點提煉]1．變速圓周運動(1)受力特點：變速圓周運動中合外力并不指向圓心，合力F產生改變速度大小和方向兩個作用效果．即(2)向心加速度，向心力公式仍適用：某一點的向心加速度和向心力仍可用an＝eq\f(v2,r)＝ω2r，Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r公式求解，只不過v、ω都是指那一點的瞬時速度．2．一般曲線運動的處理方法一般曲線運動，可以把曲線分割成許多極短的小段，每一小段的運動都可看作圓周運動的一部分，圓弧彎曲程度不同，表明它們具有不同的半徑．這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，可以采用圓周運動的分析方法進行處理．一、對向心力的理解例1關于做勻速圓周運動的物體所受的向心力，下列說法正確的是()A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個恒力B．因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小C．它是物體所受的合外力D．向心力和向心加速度的方向都是不變的解析做勻速圓周運動的物體所受的向心力是物體所受的合外力，由于始終指向圓心，且與線速度垂直，故不能改變線速度的大小，只能改變線速度的方向，向心力雖大小不變，但方向時刻改變，不是恒力，由此產生的向心加速度也是變化的，所以A、D錯誤，B、C正確．答案BC二、向心力來源分析例2如圖6所示，有一個水平大圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉動，小強站在距圓心為r處的P點相對圓盤靜止．關于小強的受力，下列說法正確的是()圖6A．小強在P點不動，因此不受摩擦力作用B．若使圓盤以較小的轉速轉動時，小強在P點受到的摩擦力為零C．小強隨圓盤做勻速圓周運動，圓盤對他的摩擦力充當向心力D．如果小強隨圓盤一起做變速圓周運動，那么其所受摩擦力仍指向圓心解析由于小強隨圓盤做勻速圓周運動，一定需要向心力，該力一定指向圓心方向，而重力和支持力在豎直方向上，它們不能充當向心力，因此他會受到摩擦力作用，且充當向心力，A、B錯誤，C正確；當小強隨圓盤一起做變速圓周運動時，合力不再指向圓心，則其所受的摩擦力不再指向圓心．D錯．答案C三、圓周運動中的動力學問題例3如圖7所示，質量為1kg的小球用細繩懸掛于O點，將小球拉離豎直位置釋放后，到達最低點時的速度為2m/s，已知球心到懸點的距離為1m，重力加速度g＝10m/s2，求小球在最低點時對繩的拉力的大小．圖7解析小球在最低點時做圓周運動的向心力由重力mg和繩的拉力FT提供(如圖所示)，即FT－mg＝eq\f(mv2,r)所以FT＝mg＋eq\f(mv2,r)＝(1×10＋eq\f(1×22,1))N＝14N小球對繩的拉力與繩對小球的拉力是一對作用力和反作用力，所以小球在最低點時對繩的拉力大小為14N.答案14N四、圓錐擺類模型例4如圖8所示，已知繩長為L＝20cm，水平桿長為L′＝m，小球質量m＝kg，整個裝置可繞豎直軸轉動．(g取10m/s2)問：圖8(1)要使繩子與豎直方向成45°角，試求該裝置必須以多大的角速度轉動才行？(2)此時繩子的張力多大？解析小球繞豎直軸做圓周運動，其軌道平面在水平面內，軌道半徑r＝L′＋Lsin45°.對小球受力分析如圖所示，設繩對小球拉力為FT，小球重力為mg，則繩的拉力與重力的合力提供小球做圓周運動的向心力．對小球利用牛頓第二定律可得：mgtan45°＝mω2r①r＝L′＋Lsin45°②聯立①②兩式，將數值代入可得ω≈rad/sF＝eq\f(mg,cos45°)≈N答案(1)rad/s(2)N1．(對向心力的理解)下列關于向心力的說法中正確的是()A．物體受到向心力的作用才可能做圓周運動B．向心力是指向圓心方向的合力，是根據力的作用效果來命名的，但受力分析時應該畫出C．向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是其中某一種力或某幾種力的合力D．向心力只改變物體運動的方向，不改變物體運動的快慢答案CD解析向心力是一種效果力，實際由某種或某幾種性質力提供，受力分析時不分析向心力，A、B錯，C對．向心力只改變物體線速度的方向，不改變線速度的大小，D對．2．(向心力來源分析)在馬戲團表演的場地里，表演者騎在大象背上，大象繞著場地走動，若大象是沿著半徑為R的圓周勻速走動，則關于大象和表演者的受力情況，下面說法正確的是()A．表演者騎在大象背上不動，他受到的力是平衡力B．表演者的向心力是地面摩擦力通過大象作用于他的C．大象和表演者所受向心力大小與兩者的質量成正比D．大象與人兩者做勻速圓周運動的向心力是地面摩擦力提供的答案CD3．(圓周運動的動力學問題)游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達20m/s2，g取10m/s2，那么此位置的座椅對游客的作用力相當于游客重力的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案C解析游客乘坐過山車在圓弧軌道最低點的受力如圖所示．由牛頓第二定律得FN－mg＝ma向＝2mg，則FN＝mg＋2mg＝3mg，eq\f(FN,mg)＝3.4．(圓錐擺類模型)兩個質量相同的小球，在同一水平面內做勻速圓周運動，懸點相同，如圖9所示，A運動的半徑比B的大，則()圖9A．A所需的向心力比B的大B．B所需的向心力比A的大C．A的角速度比B的大D．B的角速度比A的大答案A解析小球的重力和繩子的拉力的合力充當向心力，設懸線與豎直方向夾角為θ，則Fn＝mgtanθ＝mω2lsinθ，θ越大，向心力Fn越大，所以A對，B錯；而ω2＝eq\f(g,lcosθ)＝eq\f(g,h).故兩者的角速度相同，C、D錯．題組一對向心力的理解及其來源分析1．下列關于向心力的說法中正確的是()A．物體由于做圓周運動而產生了一個向心力B．向心力會改變做圓周運動物體的速度大小C．做勻速圓周運動的物體其向心力即為其所受的合力D．做勻速圓周運動的物體其向心力是不變的答案C解析當物體所受外力的合力始終有一分力垂直于速度方向時，物體就將做圓周運動，該分力即為向心力，故先有向心力然后才使物體做圓周運動．因向心力始終垂直于速度方向，所以它不改變速度的大小、只改變速度的方向，當合力完全提供向心力時，物體就做勻速圓周運動，該合力大小不變、方向時刻改變，故向心力是變化的．2．如圖1所示，物體A、B隨水平圓盤繞軸勻速轉動，物體B在水平方向所受的作用力有()圖1A．圓盤對B及A對B的摩擦力，兩力都指向圓心B．圓盤對B的摩擦力指向圓心，A對B的摩擦力背離圓心C．圓盤對B及A對B的摩擦力和向心力D．圓盤對B的摩擦力和向心力答案B解析以A、B整體為研究對象，受重力、圓盤的支持力及圓盤對B的摩擦力，重力與支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圓心．以A為研究對象，受重力、B的支持力及B對A的摩擦力，重力與支持力平衡，B對A的摩擦力提供A做圓周運動的向心力，即方向指向圓心，由牛頓第三定律，A對B的摩擦力背離圓心，所以物體B在水平方向受圓盤指向圓心的摩擦力和A對B背離圓心的摩擦力，故B正確．3．在水平面上，小猴拉著小滑塊做勻速圓周運動，O點為圓心，能正確地表示小滑塊受到的牽引力及摩擦力Ff的圖是()答案A解析滑動摩擦力的方向與相對運動的方向相反，故滑動摩擦力的方向沿圓周的切線方向，B、D錯誤；小滑塊做勻速圓周運動，其合外力提供向心力，故A正確，C錯誤．4．如圖2所示，一小球用細繩懸掛于O點，將其拉離豎直位置一個角度后釋放，則小球以O點為圓心做圓周運動，運動中小球所需的向心力是()圖2A．繩的拉力B．重力和繩的拉力的合力C．重力和繩拉力的合力沿繩方向的分力D．繩的拉力和重力沿繩方向的分力的合力答案CD解析小球僅受重力和繩子拉力作用，向心力是指向圓心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿繩方向的分力，也可以是各力沿繩方向的分力的合力，故C、D正確．5．一個小物塊從內壁粗糙的半球形碗邊下滑，在下滑過程中由于摩擦力的作用，物塊的速率恰好保持不變，如圖3所示，下列說法中正確的是()圖3A．物塊所受合外力為零B．物塊所受合外力越來越大C．物塊所受合外力大小保持不變，但方向時刻改變D．物塊所受摩擦力大小變化答案CD解析由于物塊做勻速圓周運動，故合外力的方向只是改變物體的速度方向，故合外力時刻指向圓心，且大小保持不變，A、B錯誤，C正確；對物塊受力分析知物塊所受摩擦力總是與重力沿切線方向的分力G1相等，因隨物塊下滑G1逐漸減小，故物塊所受摩擦力也逐漸減小，D正確．題組二圓錐擺類模型6．質量為m的飛機，以速率v在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，空氣對飛機作用力的大小等于()A．meq\r(g2＋\f(v4,R2)) B．meq\f(v2,R)C．meq\r(\f(v4,R2)－g2) D．mg答案A解析空氣對飛機的作用力有兩個作用效果，其一：豎直方向的作用力使飛機克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飛機可在水平面內做勻速圓周運動．對飛機的受力情況進行分析，如圖所示．飛機受到重力mg、空氣對飛機的作用力F，兩力的合力為Fn，方向沿水平方向指向圓心．由題意可知，重力mg與Fn垂直，故F＝eq\r(m2g2＋F\o\al(2,n))，又Fn＝meq\f(v2,R)，聯立解得F＝meq\r(g2＋\f(v4,R2)).7．如圖4所示，一根細線下端拴一個金屬小球P，細線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔的水平桌面上．小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)．現使小球在一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動(圖上未畫出)，兩次金屬塊Q都保持在桌面上靜止．則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是()圖4A．小球P運動的周期變大B．小球P運動的線速度變大C．小球P運動的角速度變大D．Q受到桌面的支持力變大答案BC解析對小球受力分析知，小球的合力為F合＝mgtanθ，因為mgtanθ＝mω2lsinθ，所以ω＝eq\r(\f(g,lcosθ))，當小球在一個更高的水平面上做勻速圓周運動時θ變大，則ω變大，又因為T＝eq\f(2π,ω)，所以周期變小，故A錯，C對．在更高的水平面上運動時，小球的運動半徑變大，由v＝ωr知v變大，B正確；繩子的拉力在豎直方向的分力總等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力總等于P、Q的重力和，D錯誤．8．如圖5所示，固定的錐形漏斗內壁是光滑的，內壁上有兩個質量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做勻速圓周運動，以下物理量大小關系正確的是()圖5A．速度vA＞vBB．角速度ωA＞ωBC．向心力FA＞FBD．向心加速度aA＞aB答案A解析設漏斗的頂角為2θ，則小球的合力為F合＝eq\f(mg,tanθ)，由Fn＝F合＝eq\f(mg,tanθ)＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝ma，知向心力FA＝FB，向心加速度aA＝aB，選項C、D錯誤；因rA＞rB，又由于v＝eq\r(\f(gr,tanθ))和ω＝eq\r(\f(g,rtanθ))知vA＞vB、ωA＜ωB，故A對，B錯．9．質量不計的輕質彈性桿P插在桌面上，桿端套有一個質量為m的小球，今使小球沿水平方向做半徑為R的勻速圓周運動，角速度為ω，如圖6所示，則桿的上端受到的作用力大小為()圖6A．mω2R\r(m2g2－m2ω4R2)\r(m2g2＋m2ω4R2)D．不能確定答案C解析小球在重力和桿的作用力下做勻速圓周運動．這兩個力的合力充當向心力必指向圓心，如圖所示．用力的合成法可得桿對球的作用力：F＝eq\r((mg)2＋F\o\al(2,向))＝eq\r(m2g2＋m2ω4R2)，根據牛頓第三定律，小球對桿的上端的反作用力F′＝F，C正確．題組三圓周運動中的動力學問題10．如圖7所示，半徑為r的圓筒，繞豎直中心軸OO′旋轉，小物塊a靠在圓筒的內壁上，它與圓筒內壁間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦與動摩擦相同現要使a不下落，則圓筒轉動的角速度ω至少為()圖7\r(μgr) \r(μg)\r(\f(g,r)) \r(\f(g,μr))答案D解析對物塊受力分析知Ff＝mg，Fn＝FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解這三個方程得角速度ω至少為eq\r(\f(g,μr))，D選項正確．11．在光滑的水平面上，用長為l的細線拴一質量為m的小球，使小球以角速度ω做勻速圓周運動．下列說法中正確的是()A．l、ω不變，m越大線越易被拉斷B．m、ω不變，l越小線越易被拉斷C．m、l不變，ω越大線越易被拉斷D．m不變，l減半且角速度加倍時，線的拉力不變答案AC解析在光滑的水平面上細線對小球的拉力提供小球做圓周運動的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不變時，Fn與小球的質量m、半徑l都成正比，A正確，B錯誤；質量m不變時，Fn又與l和ω2成正比，C正確，D錯誤．12．如圖8所示，在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，有m1＝2m2，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為()圖8A．1∶1B．1∶eq\r(2