4．函數的概念唐雪梅學習目標1．體會函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型，理解函數的概念．2．了解構成函數的要素有定義域、對應法則、值域，會求一些簡單的定義域和值域．3．能用區間正確表示一個數集（包括運算）．一、夯實基礎基礎梳理1．函數的概念設、是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到時集合的一個函數．記作：，．其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．2．區間的概念及表示（1）區間定義及表示設，是兩個實數，而且．定義名稱符合數軸表示閉區間開區間半開半閉區間半開半閉區間（2）無窮概念及無窮區間表示定義符號3．題型分析（1）函數的概念；（2）函數的三要素：定義域、對應法則及值域．基礎達標1．下列從集合到集合的對應，不是函數的是__________．（1），，對應關系；（2），，對應關系；（3），，對應關系由解出的；（4），，對應關系．2．下列函數中哪個函數與函數是同一函數（）．A． B． C． D．3．下列所給圖象中，能作為函數圖象的只能是（）．4．函數，的值域是（）．A． B． C． D．5．已知函數，則__________；__________．二、學習指引自主探究1．初中，我們是這樣定義函數的：在某變化過程中，有兩個變量，，如果對于變量4的每一個允許取值，按照某種對應方式，都有唯一的取值與之對應，則稱是的函數．請思考初中關于定義與高中關于函數的定義有什么區別和聯系？2．（1）若，試找出一個集合，使得是從到的函數，這個的集合是唯一的嗎？（2）已知一個函數的解析式為，它的值域為，這樣的函數有多少個？試寫出其中兩個函數．3．（1）符號，表示某一函數？則該函數可否用，表示？（2）函數有哪些要素？如何判斷兩個函數是否為相同的函數？4．函數的自變量的取值范圍為，關于其定義域的寫法，下列哪些是規范的？①定義域為； ②定義域為； ③定義域為④定義域為； ⑤定義域為；5．（1）說出你對“區間”理解．（2）“區間一定是非空數集”這句話對嗎？（3）集合能寫成區間形式嗎？案例分析1．給出下列從集合到集合的對應：（1），，，，；（2），，，；（3），；（4），；（5），，為奇數時，；為偶數時，．則從集合到集合的對應是函數的有__________（寫上相應的序號即可）．【解析】（1）（2）（3）（4）是函數，（3）不是函數．2．已知函數與分別由下表給出，那么__________．__________．__________．__________．1234234112342143【解析】；2；3；4．3．求函數的定義域．【解析】要使函數解析有意義，當且僅當，所以函數定義域為：．4．畫出函數的圖象，并利用圖象解決下列問題：（1）求函數，的值域；（2）求函數，的值域．（3）若函數的定義域為，值域為，求的取值范圍．【解析】（1）畫出二次函數在上的圖象，時，；時，，容易看出函數的值域為．（2）畫出二次函數在上的圖象，時，；時，，容易看出函數的值域為．（3）畫出二次函數圖象，其頂點坐標為，時，或3，容易看出當且僅當，，，值域為，故的取值范圍是．三、能力提升能力闖關1．已知函數，，那么集合中所含元素的個數是（）．A．0個 B．1個 C．0或1個 D．0或1或無數個2．若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”．那么，函數解析式為，值域為的同族函數有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．求下列函數的值域:（1），；（2），；（3），；拓展遷移1．已知函數的定義域為，試研究的值域中有多少個整數，為什么？2．對于定義域為函數，若存在實數，使得，則稱是函數的一個不動點．若二次函數存在不動點，求實數的取值范圍．挑戰極限1．（1）（2023陜西）定義在上的函數，對任意的實數，滿足，，求的值．（2）設是定義在上的函數，且滿足，，求的值．課程小結1．客觀世界充滿著函數問題，無論是物體運動，還是經濟生活，無論是生命科學，還是航天科學都有大量的函數問題等待我們去研究，學好函數知識對于學好高中數學極為重要，而正確理解函數概念和符號是學好函數知識的基礎，應高度重視這一點．2．判斷兩個函數是否相同，主要是看函數的三要素：定義域，對應法則，值域．3．根據解析式，確定函數的定義域，可根據下列提示處理：（1）如果是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合．（2）如果是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子女大于或等于零的實數的集合．（3）如果是由幾個部分的數學式構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合（即求各集合的交集）．求函數的定義域就是根據使函數解析式有意義的條件，列出自變量應滿足的不等式或不等式組，解不等式或不等式組就得到所求函數的定義域．4．已學過的函數的定義域和值域：（1）一次函數，定義域：；值域：；（2）反比例函，定義域：，值域：；（3）二次函數，定義域：；值域：當時，為；當時，為．5．研究函數值域，最基本的方法是通過函數圖象來觀察函數值變化范圍．想一想任何兩個集合之間都可能建立函數關系嗎？

4．函數的概念基礎達標1．（1）（2）（3）．2．．3．．4．．5．；自主探究【解析】區別：初中函數的定義強調函數是變量與變量之間的對應關系，而高中函數的定義則強調函數是數集與數集之間的對應關系．初中的函數概念側重函數解析式研究（即變量與變量之間的確定關系），而高中的函數概念側重研究兩個數集元素之間的對應關系．函數可以沒有解析式．高中研究函數時，不僅關注函數對應法則（函數解析式本質上是函數對應法則一種表現形式）．還關注函數定義域，如函數．2．【解析】（1）（答案不唯一，的非空子集都符合題意）．（2）無數個，例如：；．3．【解析】（1）可以，表示某一函數，變量是一種符號，沒有固定的限制，我們只是通常用來表示變量．（2）函數有三個要素：定義域、對應法則、值域．函數的值域是由函數定義域及對應法則決定的，因此兩個函數是同一函數當且僅當對應法則相同，定義域也相同．當然如果值域不相同，則兩個函數一定不是同一函數．4．【解析】④⑤正確，定義域是自變量取值的集合．5．【解析】（1）區間是一種特殊的數集，根據端點是否被包含，區間可以分成四類，設是兩個實數，且，我們規定：①開區間：；②閉區間：；③半開半閉區間：；④含有無窮大的區間：；；；．實數集也可以用區間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”．從上述規定可以看出：區間是一種特殊的數集，這種特殊性表現在：（1）數集中的數是連續變化的，不會發生中斷情形；（2）數集中的數一定有無窮個，不會只有一個或有限個元素，不會是空集．區間在寫法上是按數軸的方向書寫，左小右大，無窮大可理解為一個無限的過程，不是一個具體的實數，所以無窮大這一側一律寫成開區間．（2）根據區間的定義，“區間一定是非空數集”這句話是錯的．（3）不一定能寫成區間形式，只有當時，才有．例如是空集，它不能寫成區間的形式．能力闖關1．．【解析】垂直于軸的直線與函數的圖象最多只有一個交點．2．．【解析】由．得．由，得，所以函數的定義域可以是，，，故值域為的同族函數共有個．3．【解析】（1）函數圖象如圖（1），，所以所求函數值域為．（2）函數圖象如右圖（2），，所以所求函數值域為．（3）∵，∴所求函數值域為．拓展遷移