學業(yè)分層測評(十二)第3章復數(shù)的幾何意義(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1.在復平面內(nèi)，復數(shù)6＋5i，-2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是________.【解析】∵復數(shù)6＋5i，-2＋3i對應點分別為A，B，∴點A(6,5)，B(-2,3).∴中點C(2,4)，其對應復數(shù)2＋4i.【答案】2＋4i2.(2023·啟東月考)若復數(shù)z＝a2-1＋(a＋1)i.(a∈R)是純虛數(shù)，則|z|＝________.【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-1＝0，,a＋1≠0，))解得a＝1，則z＝2i，故|z|＝2.【答案】23.復數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)位于第________象限.【解析】∵z＝i·(1＋i)＝-1＋i，∴復數(shù)z對應復平面上的點是(-1,1)，該點位于第二象限.【答案】二4.已知復數(shù)z1＝-1＋2i，z2＝1-i，z3＝3-2i，它們所對應的點分別是A，B，C，若eq\o(OC,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))(x，y∈R)，則x＋y的值是________.【解析】由復數(shù)的幾何意義，知3-2i＝x(-1＋2i)＋y(1-i)，∴3-2i＝y(tǒng)-x＋(2x-y)i.根據(jù)復數(shù)相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝y(tǒng)-x，,-2＝2x-y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))∴x＋y＝5.【答案】55.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝-eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)，則eq\x\to(z)＋|z|＝________.【解析】eq\x\to(z)＝-eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i，|z|＝1，∴eq\x\to(z)＋|z|＝eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i.【答案】eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i6.已知|z-3|＝1，則|z-i|的最大值為________.【導學號：97220236】【解析】由|z-3|＝1知z表示以(3,0)為圓心，1為半徑的圓，|z-i|表示點(0,1)到圓上的距離，則|z-i|的最大值為eq\r(10)＋1.【答案】eq\r(10)＋17.(2023·江西師大附中三模)設復數(shù)z＝-1-i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)，則|(1-z)·eq\x\to(z)|＝________.【解析】eq\x\to(z)＝-1＋i，則|(1-z)·eq\x\to(z)|＝|(2＋i)·(-1＋i)|＝|-3＋i|＝eq\r(10).【答案】eq\r(10)8.復數(shù)z＝x＋1＋(y-2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，則點Z(x，y)的軌跡是________.【解析】∵|z|＝3，∴eq\r(x＋12＋y-22)＝3，即(x＋1)2＋(y-2)2＝32.故點Z(x，y)的軌跡是以(-1,2)為圓心，以3為半徑的圓.【答案】以(-1,2)為圓心，以3為半徑的圓二、解答題9.已知復數(shù)z＝1＋ai(a∈R)，ω＝cosα＋isinα，α∈(0,2π)，若z＝eq\x\to(z)＋2i，且|z-w|＝eq\r(5)，求角α的值.【解】由題意知1＋ai＝1＋(2-a)i，則a＝2-a，即a＝1，∴z＝1＋i.由|z-w|＝eq\r(5)得(1-cosα)2＋(1-sinα)2＝5，整理得sinα＋cosα＝-1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝-eq\f(\r(2),2)，∵0<α<2π，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(9,4)π，∴α＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或α＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4)，∴α＝π或α＝eq\f(3π,2).10.已知復數(shù)z滿足(z-2)i＝a＋i(a∈R).(1)求復數(shù)z；(2)a為何值時，復數(shù)z2對應的點在第一象限.【解】(1)由(z-2)i＝a＋i，得z-2＝eq\f(a＋i,i)＝1-ai，∴z＝3-ai.(2)由(1)得z2＝9-a2-6ai，∵復數(shù)z2對應的點在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9-a2>0，,-6a>0，))解得-3<a<0.故當a∈(-3,0)時，z2對應的點在第一象限.能力提升]1.在復平面內(nèi)，O是原點，eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))對應的復數(shù)分別為-2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up10(→))對應的復數(shù)為________.【解析】由eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))，知eq\o(OB,\s\up10(→))對應的復數(shù)為(-2＋i)＋(1＋5i)＝-1＋6i，又eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))-eq\o(OB,\s\up10(→))，∴eq\o(BC,\s\up10(→))對應的復數(shù)為(3＋2i)-(-1＋6i)＝4-4i.【答案】4-4i2.(2023·宜昌模擬)已知復數(shù)z滿足(1＋i)z＝1-i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝________.【導學號：97220237】【解析】由(1＋i)z＝1-i得z＝eq\f(1-i,1＋i)＝-i，∴|z|＝1.【答案】13.(2023·鎮(zhèn)江二模)在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝eq\f(i,1-i)＋i2014表示的點所在的象限是________.【解析】z＝eq\f(i,1-i)＋i2014＝eq\f(i-1,2)＋i2＝-eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i，對應點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)，\f(1,2)))，故在第二象限.【答案】第二象限4.已知O為坐標原點，eq\o(OZ,\s\up10(→))1對應的復數(shù)為-3＋4i，eq\o(OZ,\s\up10(→))2對應的復數(shù)為2a＋i(a∈R).若eq\o(OZ,\s\up10(→))1與eq\o(OZ,\s\up10(→))2共線，求a的值.【解】因為eq\o(OZ,\s\up10(→))1對應的復數(shù)為-3＋4i，eq\o(OZ,\s\up10(→))2對應的復數(shù)為2a＋i，所以eq\o(OZ,\s\up10(→))1＝(-3,4)，eq\o(OZ,\s\up10(→))2＝(2a,1).因為eq\o(OZ,\s\up10(→))1與eq\o(OZ,\s\up10(→))2共線，所以存在實數(shù)k使eq\o(OZ,\s\up10(→))2＝keq\o(OZ,