第15章壓桿穩(wěn)定

（課本第11章內(nèi)容）2/5/20231北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-1.1構(gòu)件穩(wěn)定的概念演示實(shí)驗(yàn)12/5/20232北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院構(gòu)件除了強(qiáng)度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。2/5/20233北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院失穩(wěn)的工程實(shí)例2/5/20234北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院龍門吊梁失穩(wěn)失穩(wěn)的工程實(shí)例2/5/20235北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。失穩(wěn)的工程實(shí)例2/5/20236北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-1.2臨界力使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時(shí)所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡稱為臨界力。演示實(shí)驗(yàn)2、32/5/20237北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院平衡路徑、平衡路徑（構(gòu)形）分叉失穩(wěn)（屈曲）臨界點(diǎn)、臨界載荷（分叉載荷）幾個(gè)概念2/5/20238北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-2細(xì)長壓桿的臨界力根據(jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑问降倪@一重要概念，可以預(yù)料，凡是影響彎曲變形的因素，如截面的抗彎剛度，桿件長度和兩端的約束情況，都會(huì)影響壓桿的臨界力。2/5/20239北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖，從撓曲線入手，求臨界力。①彎矩：②撓曲線近似微分方程：PPxPxyPM§15-2.1兩端鉸支壓桿的臨界力－歐拉公式2/5/202310北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院③微分方程的解：④確定積分常數(shù)：A、B不能全為零！2/5/202311北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院

臨界力Pcr

是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。屈曲模態(tài)：A為不定常數(shù)，屈曲模態(tài)幅值2/5/202312北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-2.2其他約束情況壓桿的臨界力

μ

l為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效（相當(dāng)）長度。μ稱為長度系數(shù)，它反映了約束情況對(duì)臨界力的影響：

兩端鉸支

μ

=1.0

一端固定一端自由μ

=2.0

兩端固定

μ

=0.5

一端固定一端鉸支μ

=0.7

2/5/202313北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院匯總表支承情況失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀臨界力Pcr歐拉公式長度系數(shù)μ兩端鉸支PcrABlμ=1l一端固定另端鉸支μ0.7PcrAB0.7lCC—撓曲線拐點(diǎn)Pcrl一端固定另端自由μ=22ll兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)μ=10.5lPcrC—撓曲線拐點(diǎn)lC、D—撓曲線拐點(diǎn)0.5l兩端固定μ=0.5ABCD2/5/202314北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-3壓桿的臨界應(yīng)力歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時(shí)是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計(jì)算問題，必須引入臨界應(yīng)力及柔度（長細(xì)比）的概念。截面的慣性半徑

柔度

2/5/202315北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1.細(xì)長桿這類壓桿又稱為大柔度桿。對(duì)于不同的材料，因彈性模量Ｅ和比例極限σp各不相同，λp的數(shù)值亦不相同。例如A3鋼，E=210GPa，σp=200MPa，可算得λp=102。

歐拉公式只適用于大柔度桿的穩(wěn)定性計(jì)算！2/5/202316北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.中長桿這類壓桿失穩(wěn)時(shí)，橫截面上的應(yīng)力已超過比例極限，故屬于彈塑性穩(wěn)定問題。對(duì)于中長桿，一般采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。拋物線公式：直線公式：例如Ａ3鋼：2/5/202317北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院常用材料的a、b值2/5/202318北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院3.粗短桿這類桿又稱為小柔度桿。這類壓桿將發(fā)生強(qiáng)度失效，而不是失穩(wěn)。故：2/5/202319北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院臨界應(yīng)力總圖2/5/202320北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2/5/202321北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-1】A3鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情形如圖所示，其中a為正視圖,b為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。已知l=2.0m,b=40mm,h=60mm,材料的彈性模量E=210GPa,求此桿的臨界載荷。

2/5/202322北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-1：解】在x-z平面內(nèi):2/5/202323北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院在x-y平面內(nèi):2/5/202324北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院所以2/5/202325北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算之一安全系數(shù)法為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度，因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為:

nst是穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿存在初曲率和載荷偏心等不利因素的影響。nst值一般比強(qiáng)度安全系數(shù)要大些，并且λ越大，nst值也越大。

2/5/202326北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-2】千斤頂如圖所示,絲杠長度l=375mm,內(nèi)徑d=40mm,材料是A3鋼,最大起重

量P=80KN,規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3。試校核絲杠的穩(wěn)定性。

2/5/202327北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-2：解】（1）絲杠可簡化為下端固定上端自由的壓桿,故長度系數(shù)u=2。計(jì)算絲杠的柔度:

(2)計(jì)算臨界力并較核穩(wěn)定性

A3鋼的而,可知絲杠是中柔度壓桿,采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界載荷。由表查得a=304MPa，b=1.12MPa2/5/202328北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-2：解】故絲杠的臨界載荷為校核絲杠的穩(wěn)定性

所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的。

2/5/202329北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院*§15-4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算之二折減系數(shù)法(穩(wěn)定系數(shù)法)2/5/202330北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院壓桿的穩(wěn)定系數(shù)

2/5/202331北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-3】T1ABWT2xyzO起重機(jī)的

AB

桿為圓松木，長

L=6m，[σ]=11MPa,直徑d=0.3m，試此桿的容許壓力。2/5/202332北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-3：解】T1ABWT2xyzO①最大柔度x-y面內(nèi)，

=1.0z-y面內(nèi)，=2.02/5/202333北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-3：解】T1ABWT2xyzO②查折減系數(shù)③求容許壓力2/5/202334北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【例15-4】柱由兩個(gè)No.20a的槽鋼組成。柱長l=6m,下端固定上端鉸支(圖15-10a)。材料是A3鋼，[σ]=160MPa。（1）兩個(gè)槽鋼緊靠在一起（連結(jié)為一整體）（圖15-10b）；(2)兩槽鋼拉開距離a,使Iy=Iz。分別求兩種情況下柱的許用載荷[P]。

2/5/202335北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院【解】（1）兩槽鋼緊靠的情況

由型鋼表查得：

2/5/202336北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院由表15-2查得用直線內(nèi)插法求得于是壓桿的許用載荷為

2/5/202337北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院(2)Iy=Iz的情況

由表15-2查得壓桿的許用載荷為

2/5/202338北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院其次，為保證每個(gè)槽鋼不發(fā)生局部失穩(wěn)，沿柱長每隔

l1的長度內(nèi)應(yīng)有連接板(綴條)(圖15-10d)。因兩連接板間的每個(gè)槽鋼通常看作兩端鉸支，而單個(gè)槽鋼的

imin=21.1mm

故由

2/5/202339北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§15-5提高壓桿承載能力的措施壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大小。由臨界應(yīng)力圖可知，當(dāng)柔度減小時(shí)，則臨界應(yīng)力提高，所以提高壓桿承載能力的措施主要是盡量減小壓桿的長度，選用合理的截面形狀，增加支承的剛性以及合理選用材料。

2/5/202340北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1.減小壓桿的長度減小壓桿的長度，可提高了壓桿的臨界載荷。工程中，為了減小柱子的長度，通常在柱子的中間設(shè)置一定形式的撐桿，它們與其他構(gòu)件連接在一起后，對(duì)柱子形成支點(diǎn)，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱長的作用。對(duì)于細(xì)長桿，若在柱子中設(shè)置一個(gè)支點(diǎn)，則長度減小一半，而承載能力可增加到原來的4倍。2/5/202341北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.選擇合理的截面形狀壓桿的承載能力取決于最小的慣性矩I，當(dāng)壓桿各個(gè)方向的約束條件相同時(shí)，使截面對(duì)兩個(gè)形心主軸的慣性矩盡可能大，而且相等，是壓桿合理截面的基本原則。2/5/202342北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院3.增加支承的剛性對(duì)于大柔度的細(xì)長桿，一端鉸支另一端固定壓桿的臨界載荷比兩端鉸支的大一倍。因此，桿端越不易轉(zhuǎn)動(dòng)，桿端的剛性越大，長度系數(shù)就越小，圖15-12所示壓桿，若增大桿右端止推軸承的長度a，就加強(qiáng)了約束的剛性。2/5/202343北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院4.合理選用材料對(duì)于大柔度桿，臨界應(yīng)力與材