第五

章概率分布與抽樣分布第一節隨機事件與概率分布第二節抽樣分布及其性質學習目標了解隨機事件及概率分布理解抽樣分布的意義了解抽樣分布的形成過程理解中心極限定理理解抽樣分布的性質第一節隨機事件與概率分布一、隨機試驗與隨機事件必然現象（確定性現象）變化結果是事先可以確定的，一定的條件必然導致某一結果這種關系通常可以用公式或定律來表示隨機現象（有不確定性，但不等同于偶然現象）在相同條件下可能發生也可能不發生的現象個別觀察的結果完全是偶然的、隨機會而定大量觀察的結果會呈現出某種規律性

（隨機性中寓含著規律性）

——統計規律性十五的夜晚能看見月亮？十五的月亮比初十圓！隨機試驗嚴格意義上的隨機試驗滿足三個條件：試驗可以在相同的條件下重復進行；每次試驗的可能結果不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是明確可知的；每次試驗只能觀察到可能結果中的一個，但在試驗結束之前不能肯定哪一個結果會出現。廣義的隨機試驗是指對隨機現象的觀察（或實驗）實際應用中多數試驗不能同時滿足上述條件，常常從廣義角度來理解。隨機事件（事件）隨機事件（簡稱事件）隨機試驗的每一個可能結果常用大寫英文字母A、B、……、來表示基本事件（樣本點）——中國足球隊勝、負、平不可能再分成為兩個或更多事件的事件：樣本空間（Ω）在一項隨機試驗中，每一個基本事件稱為一個樣本點，而所有樣本點構成這項試驗的樣本空間。顯然，樣本空間等同于集合論中的全集，基本事件對應于全集中的元素，滿足某些規定性質的隨機事件就是集合論中的一個子集。隨機事件（續）隨機事件的兩種特例必然事件在一定條件下，每次試驗都必然發生的事件必然事件發生的概率為1

不可能事件在一定條件下，每次試驗都必然不會發生的事件不可能事件是一個空集（Φ）二、隨機事件的概率概率用來度量隨機事件發生的可能性大小的數值必然事件的概率為1，表示為P(

)=1不可能事件發生的可能性是零，P(

)=0隨機事件A的概率介于0和1之間，0<P(A)<1概率的統計定義當試驗次數n

很大時，事件A發生頻率m/n穩定地在某一常數p上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數增加而縮小，則定義p為事件A發生的概率當n相當大時，可用事件發生的頻率m/n作為其概率的一個近似值——計算概率的統計方法（頻率方法）：貝努利概型事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現正面和反面的頻率，隨著投擲次數n的增大，出現正面和反面的頻率穩定在1/2左右試驗的次數正面/試驗次數1.000.000.250.500.750255075100125實驗次數正面正面/實驗次數111.00210.50310.33410.25520.40630.50740.57850.63960.671070.701180.731290.751390.691490.641590.6016100.6317100.5918100.5619110.5820120.6021130.6222140.6423150.6524160.6725160.64歷史上有很多人都曾經做過拋硬幣試驗：試驗者試驗次數正面出現的頻率蒲豐40400.5069K.皮爾遜120000.5016K.皮爾遜240000.5005羅曼諾夫斯基806400.4979三、隨機變量的概念隨機變量——表示隨機試驗結果的變量取值是隨機的，事先不能確定取哪一個值一個取值對應隨機試驗的一個可能結果用大寫字母如X、Y、Z...來表示，具體取值則用相應的小寫字母如x、y、z…來表示根據取值特點的不同，可分為：離散型隨機變量——取值可以一一列舉連續型隨機變量——取值不能一一列舉離散型隨機變量隨機變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產品一家餐館營業一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數顧客數銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續型隨機變量隨機變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任意點連續型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0四、隨機變量的概率分布

1.離散型隨機變量的概率分布

2.連續型隨機變量的概率密度

3.分布函數不同的隨機試驗，其樣本空間的具體構成千差萬別。但是，實質上，如果把具體內容抽象掉，將隨機事件數量化，就會發現許多隨機試驗中概率的計算具有某種共同性，遵循某一種概率分布模型。只要能找到這些概率分布模型，就會為我們計算概率和研究同類隨機現象的規律性提供方便?！虼?，隨機變量及其概率分布是描述隨機現象的重要工具。概率函數P(X=xi)=pi離散型概率分布的表示：1.離散型隨機變量的概率分布離散變量X的概率分布

——離散型隨機變量X的每一個可能的取值xi與其概率pi（i=1，2，3，…，n）之間所確立的對應關系稱為這個離散型隨機變量的分布。概率分布具有如下兩個基本性質：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn離散型隨機變量的概率分布

（實例）【例】如規定打靶中域Ⅰ得2分，中域Ⅱ得1分，中域Ⅲ及中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，60次中域Ⅱ，10次中Ⅲ及中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2這一離散型隨機變量，求其概率分布。射擊得分的概率分布表示：分布圖0.60.30012xP(x)圖3-5例3-9的概率分布X=xi012P(X=xi)pi0.10.60.32.連續型隨機變量的概率密度對于連續型隨機變量，我們關心的往往不是它取某個特定值的概率，而是該隨機變量落在一定區間內的概率；連續型隨機變量的概率分布只能表示為：數學函數——概率密度函數f(x)和分布函數F(x)圖形——概率密度曲線和分布函數曲線概率密度函數f(x)的函數值不是概率；而x軸以上、概率密度曲線下方面積才表示概率。f(x)xab隨機變量X在一定區間（a，b）上的概率為：

什么是

概率密度?

連續數據的概率分布：表

零件尺寸的分組表按零件尺寸分組頻數（個）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064合計50頻數直方圖頻數(個)1512963105110115120125130135140零件尺寸圖

零件尺寸分布頻數的直方圖問題：曲線下面積為1嗎？連續數據的概率分布：表

零件按尺寸數據的分組表按零件尺寸分組頻數（個）頻率105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.08合計501頻率=頻數/總數頻率直方圖頻率

0.32

0.240.180.120.06105110115120125130135140零件尺寸圖

零件尺寸分布頻率的直方圖問題：曲線下面積為1嗎？連續數據的概率分布：表

零件按尺寸數據的分組表按零件尺寸分組頻數（個）頻率頻率密度105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.080.0120.0200.0320.0560.0400.0240.016合計501-----頻率密度=頻率/組距頻率密度直方圖頻率密度

0.060

0.0480.0360.0240.012105110115120125130135140

零件尺寸圖

零件尺寸分布頻率密度的直方圖問題：曲線下面積為1嗎？頻數直方圖—頻率直方圖—頻率密度直方圖在頻數分布直方圖中，如果按各組的頻率密度來測定各直條的高，則第i個直條的面積等于該組的頻率，所有直條的面積之和等于1。與直方圖的直條高為頻率密度相仿，曲線上某一點的縱坐標為隨機變量在相應橫坐標附近的一個狹小區間內（在這個狹小區間的寬度趨近于零的過程中）取值概率的概率密度（即概率/區間寬度）。所以，這條曲線叫做隨機變量的（分布）密度曲線。今后可以看到，概率密度曲線可以用適當的數學解析式來描述。我們把密度曲線以及相應的數據解析式所表達的數學函數關系稱作隨機變量的（分布）密度函數。密度函數刻畫了連續型隨機變量的分布規律。相對于由頻率直方圖來描述的隨機變量的經驗分布來講，由密度函數所刻畫的連續型隨機變量的概率分布規律稱為它的理論分布。連續型隨機變量的分布綜上所述，連續型隨機變量X的一系列取值區間和隨機變量在該區間取值的概率之間確立的對應關系，稱作這個連續型隨機變量的分布。連續型隨機變量的分布可以用密度函數來描述，隨機變量X的密度函數記作f(x)。頻數分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來畫圖的。當分組數無窮多，而組距（即直條的底邊長趨近于0時，直方圖演變成平滑的曲線。這時，直條的高就成為f(x)。連續型隨機變量X在某一數值區間[a,b]

內取值的概率等于豎立在該區間上的、以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。記作：概率密度f(x)的性質（1）f(x)≥0。概率密度是非負函數。（2）即：所有區域上取值的概率總和為1。只要滿足上述兩條性質，即可認為是一個概率密度。f(x)xab

隨機變量X在一定區間（a，b）上的概率為：

密度曲線是把分布加以理想化之后產生的圖形，對于描繪大量觀測值的時候最為有用。密度曲線的結構是利用曲線底下的面積表示落在該區的觀測值的比例。因此，必須選擇適當的尺度，使得曲線底下的面積恰恰是1，這樣就得到一個密度曲線。3.分布函數適用于兩類隨機變量概率分布的描述分布函數的定義：F(x)＝P{X≤x}連續型隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數

F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函數與概率密度4.隨機變量的數字特征

隨機變量的數學期望

隨機變量的方差和標準差

兩個隨機變量的協方差和相關系數（1）

隨機變量的數學期望又稱均值描述一個隨機變量的概率分布的中心位置離散型隨機變量X的數學期望：——相當于所有可能取值以概率為權數的平均值連續型隨機變量X的數學期望：數學期望的主要數學性質若k是一常數，則

E(kX)＝kE(X)對于任意兩個隨機變量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若兩個隨機變量X、Y相互獨立，則

E(XY)＝E(X)E(Y)

（2）隨機變量的方差方差是它的各個可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或σ2公式：離散型隨機變量的方差：連續型隨機變量的方差：方差和標準差（續）標準差＝方差的平方根方差和標準差都反映隨機變量取值的分散程度。它們的值越大，說明離散程度越大，其概率分布曲線越扁平。方差的主要數學性質：若k是一常數，則D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若兩個隨機變量X、Y相互獨立，則

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

【例3-10】試求優質品件數的數學期望、方差和標準差。解：σ＝0.6xi012pi0.10.60.3（3）兩個隨機變量的協方差協方差的定義如果X,Y獨立（不相關），則

Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)

協方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關性協方差受兩個變量本身量綱的影響。（4）兩個隨機變量的相關系數相關系數ρ具有如下的性質：相關系數ρ是一個無量綱的值

0≤|ρ|≤0當ρ=0，兩個變量不相關（不存在線性相關）當|ρ|=1，兩個變量完全線性相關五、常見的概率分布現實世界中的隨機現象有無限多種，相應地，隨機變量及其概率分布也無窮無盡。但在不同應用背景下，隨機變量往往具有相同的性質。在概率論發展的歷程中，數學家們總結出了很多概率模型，為我們解決不同類型的大量現實問題提供了極大的方便。常用概率分布及其均值、方差σ2μN(μ,σ2)NORMDIST正態分布(a+b)/2均勻分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超幾何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二點分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二項分布方差均值記號名稱1.二項試驗

（貝努里試驗）二項分布與貝努里試驗有關貝努里試驗具有如下屬性試驗包含了n

個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結果，即“成功”和“失敗”出現“成功”的概率p對每次試驗結果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1n次試驗是相互獨立的二項分布在n重貝努里試驗中，“成功”的次數X服從參數為n、p的二項分布，記為X～B(n,p)二項分布的概率函數：二項分布的數學期望和方差：n＝1時，二項分布就成了二點分布（0-1分布）二項分布圖形p＝0.5時，二項分布是以均值為中心對稱p≠0.5時，二項分布總是非對稱的p<0.5時峰值在中心的左側p>0.5時峰值在中心的右側隨著n無限增大，二項分布趨近于正態分布p=0.3p=0.5p=0.7二項分布圖示2.泊松分布（應用背景）通常是作為稀有事件發生次數X的概率分布模型。一段時間內某繁忙十字路口發生交通事故的次數一定時間段內某電話交換臺接到的電話呼叫次數…服從泊松分布的現象的共同特征在任意兩個很小的時間或空間區間內事件發生次數是相互獨立的；各區間內事件發生次數只與區間長度成比例，與區間起點無關；在一段充分小的區間內事件發生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計泊松分布X服從泊松分布，記為X～P(λ）:E(X)=D(X)=λ當λ很小時，泊松分布呈偏態，并隨著λ增大而趨于對稱當λ為整數時，λ和（λ-1）是最可能值3.超幾何分布

N個單位的有限總體中有M個單位具有某特征。用不重復抽樣方法從總體中抽取n個單位，樣本中具有某種特征的單位數X服從超幾何分布，記為X～H(n,N,M)數學期望和方差:N很大而n相對很小時，趨于二項分布(p=M/N)4.均勻分布X只在一有限區間[a，b]上取值且概率密度是一個常數其概率密度為：X落在子區間[c，d]

內的概率與該子區間的長度成正比，與具體位置無關f(x)ac

dbxP(c≤X≤d)5.正態分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度為：正態分布的均值和標準差

均值E(X)=μ

方差D(X)=σ2

-∞<x<∞

正態密度曲線σ相同而μ不同的正態密度曲線

2xf(x)μ相同而σ不同的正態密度曲線f(x)σ較小σ較大x正態密度曲線的主要特性關于x=μ對稱的鐘形曲線參數μ決定正態曲線的中心位置參數σ

決定正態曲線的陡峭或扁平程度以X軸為漸近線，即當x→±∞時，f(x)→0正態密度曲線的性質只要給出了平均數和標準差，就可以完全描述特定的正態曲線平均數決定分布的中心；標準差決定曲線的形狀：標準差就是從平均數到其左側或右側的曲率轉變點的距離圖6-12常用的正態概率值（在一般正態分布及標準正態分布中）-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%3σ

原則（68-95-99.7規則）圖6-12常用的正態概率值（在一般正態分布及標準正態分布中）

-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%|X－μ|>3σ的概率很小，因此可認為正態隨機變量的取值幾乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]區間內——但要記住，沒有哪組資料是百分之百用正態分布描述的，68-95-99.7規則只是大體正確。利用正態分布做參數估計的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65xGhiselietal.1981)在他們的研究中指出：要判斷數據是否服從正態分布主要是檢驗數據的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)這兩個指標，檢驗標準如下：如果數據的均值(mean)和中位數（median)相近，且斜度小于2，峰度值小于5就可以認為該數據滿足正態分布要求；如果峰度和斜度的絕對值都超過2，那么該樣本數據就不滿足正態分布的要求。參考：符合正態分布的判斷標準正態分布最常用、最重要大千世界中許多常見的隨機現象服從或近似服從正態分布例如，測量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強度，一種設備的使用壽命，農作物的產量…特點是“中間多兩頭少”由于正態分布特有的數學性質，正態分布在很多統計理論中都占有十分重要的地位正態分布是許多概率分布的極限分布，如二項式分布。根據中心極限定理，不論總體服從何種分布，只要其數學期望和方差存在，對這一總體進行重復抽樣時，當樣本量n充分大，所有樣本之和以及樣本均值就趨于正態分布。該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎。統計推斷中許多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正態分布的基礎上推導出來的。用正態分布近似二項分布用正態分布近似二項分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否則二項分布太偏）一般要求——np和np(1-p)都要大于5如果np

或np(1-p)小于5，二項分布可以用泊松分布來近似標準正態分布μ＝0、σ＝1的正態分布，記為N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函數Ф(x)X～N(μ、σ2),則：Z～N(0，1

)若Z～N(0，1

)，則有：

P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)標準化標準正態曲線

-a

0aφ(z)zΦ(a)【例6-14】例6-14某廠生產的某種節能燈管的使用壽命服從正態分布，對某批產品測試的結果，平均使用壽命為1050小時，標準差為200小時。試求：（a）使用壽命在500小時以下的燈管占多大比例？（b）使用壽命在850～1450小時的燈管占多大比例？（c）以均值為中心，95％的燈管的使用壽命在什么范圍內？解:

X＝使用壽命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的燈管壽命在均值左右392（即658～1442）小時＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.00298Excel計算正態分布的概率值方法一：先標準化——查標準正態分布函數值表方法二：利用Excel來計算首先標準化，再選擇函數“NORMSDIST”插入函數fx——選擇“統計”－“NORMSDIST”，進入“函數參數”對話框中，在Z后填入正態隨機變量的Z值；計算隨機變量取值小于等于指定Z值的累積概率值。Excel計算正態分布的概率值利用Excel來計算時，也可不必標準化，此時應利用函數“NORMDIST”插入函數fx——選擇“統計”－“NORMDIST”，進入“函數參數”對話框中，在X后填入正態隨機變量的取值區間點；在Mean后填入正態分布的均值；在Standard_dev后填入正態分布的標準差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示計算隨機變量取值小于等于指定值x的累積概率值。已知隨機變量的取值x，求概率值：也可在選定的輸出單元格中，順次輸入函數名和參數值即可如輸入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，確定后即可得到所求概率值0.0029798。已知概率值F(X≤x)，求隨機變量取值的區間點x：選擇函數“NORMINV”

如輸入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,顯示計算結果為500?！绻龖B分布本身已經標準化，則可直接使用函數NORMSDIST和NORMSINV計算正態分布的概率值常用概率分布及其均值、方差σ2μN(μ,σ2)NORMDIST正態分布(a+b)/2均勻分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超幾何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二點分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二項分布方差均值記號名稱練習題1.美國家庭日常交通費用年平均支出為6312美元（Money,2001.8）。假定交通費用服從正態分布。（1）若已知5%的美國家庭的日常交通費用支出低于1000美元，求日常交通費用支出的標準差；（2）日常交通費用支出最高的3%家庭的年化費有多大？2.某公司正考慮提供一項特殊服務合同，以負擔服務工作所要求的設備租憑的總成本。根據經驗，公司經理估計年勞務成本近似服從正態分布，均值150元，標準差25元。（1）如果公司以每年200元的價格向客戶提供這種服務合同，則一名客戶勞務成本超過200元的合同價格概率是多少？（2）該公司每個勞務合同的期望利潤是多少？第二節抽樣分布與中心極限定理一、抽樣分布的概念二、樣本均值的抽樣分布三、樣本比率的抽樣分布四、樣本方差的抽樣分布總體概率分布與抽樣分布:如果已知總體的概率分布，就可以直接利用前面描述統計的有關知識計算總體的均值和方差等參數；但是，在大多數的實踐應用中，總體的概率分布是難以確知的，真實的總體均值和方差也是未知、需要我們進行估計的；因此，我們必須先在總體中抽取樣本，根據抽樣分布計算樣本的統計量，并通過樣本統計量去估計總體參數。總體參數

樣本統計量平均數標準差比例參數統計量xsp總體樣本樣本統計量本身是隨機變量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結果來自容量相同的所有可能樣本所有樣本指標（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布.抽樣分布是樣本統計量的概率分布，是一種理論分布即在大量重復抽樣試驗的基礎上，根據統計量取值的集合以及相應的概率，進而通過判斷與比較得到統計量的概率分布。在實際應用中,統計量的抽樣分布是通過數學推導或在計算機上利用程序進行模擬而得到的.提供了樣本統計量長遠而穩定的信息，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據

一、抽樣分布

(samplingdistribution)抽樣分布的形成過程

(samplingdistribution)總體計算樣本統計量如：樣本均值、比例、方差樣本樣本均值x是推斷總體均值

的理論基礎。樣本均值x的抽樣分布的形式與原有總體的分布和樣本容量n

有關。如果原有總體是正態分布，則無論樣本容量大小，樣本均值的抽樣分布都服從正態分布；如果原有總體的分布是非正態分布，就要看樣本容量的大小了。隨著樣本容量n的增大（通常要求n>30），樣本均值的抽樣分布將趨于正態分布；在樣本均值的抽樣分布符合正態分布條件時，樣本均值的數學期望為總體均值，方差為總體方差的

1/n。

——（中心極限定理）二、樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布

（一個例子）【例】設一個總體，含有4個元素（個體），即總體單位數N=4。4個個體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。總體的均值、方差及分布如下均值和方差總體分布14230.1.2.3樣本均值的抽樣分布

（一個例子）

現從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重復抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個觀察值第一個觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個）樣本均值的抽樣分布

（一個例子）計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個觀察值第一個觀察值16個樣本的均值（x）樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x所有樣本均值的均值和方差式中：M為樣本數目比較及結論：1.樣本均值的均值（數學期望）等于總體均值

2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n樣本均值的分布與總體分布的比較抽樣分布=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當總體服從正態分布N~(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態分布，X

的數學期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理

(centrallimittheorem)當樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態分布中心極限定理：設從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態分布一個任意分布的總體