定積分的簡單應用同步練習1.由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()\i\in(0,2,)(x2－1)dx B．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|\i\in(0,2,)|x2－1|dx \i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx答案：C解析：解答:y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，故應選C.分析：函數f(x)與x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積為2.曲線y＝x3－3x和y＝x圍成的圖形面積為()A．4 B．8C．10 D．9答案：B解析：解答:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x3－3x，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2.))∵兩函數y＝x3－3x與y＝x均為奇函數，∴S＝2eq\i\in(0,2,)[x－(x3－3x)]dx＝2·eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝2(2x2－eq\f(1,4)x4)＝8，故選B.分析：求解兩個函數圍成的面積先求它們的交點確定積分的上下限，在進行積分3.一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t＝0s到t＝3s時間段內的位移是()A．31m B．36mC．38m D．40m答案：B解析：解答:S＝eq\i\in(0,3,)(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故應選B.分析：位移是對速度的積分，速度是位移的導數4.一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為()A．8J B．10JC．12J D．14J答案：C解析：解答:由變力做功公式有：W＝eq\i\in(1,3,)(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故應選D分析：機械功是力對路程的積分，考查定積分在物理學上的應用5.若某產品一天內的產量(單位：百件)是時間t的函數，若已知產量的變化率為a＝eq\f(3,\r(6t))，那么從3小時到6小時期間內的產量為()\f(1,2) B．3－eq\f(3,2)eq\r(2)C．6＋3eq\r(2) D．6－3eq\r(2)答案：D解析：解答:eq\i\in(3,6,)eq\f(3,\r(6t))dt＝eq\r(6t)＝6－3eq\r(2)，故應選D.分析：產量的變化率是產量的導數，故產量是對產量變化率的積分6.如圖所示，陰影部分的面積為()A.QUOTEabf(x)dxB.QUOTEabg(x)dxC.QUOTEab[f(x)-g(x)]dxD.QUOTEab[g(x)-f(x)]dx答案：C解析：解答:由題圖易知，當x∈[a，b]時，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為QUOTEab[f(x)-g(x)]dx.分析：注意在這里式QUOTEab[f(x)-g(x)]dx.中要保證f(x)>g(x)對于任意x∈[a，b]恒成立7.直線x=-1，x=1，y=0與曲線y=sinx所圍成的平面圖形的面積表示為()A.QUOTE-11sinxdx B.QUOTE01sinxdxC.QUOTE-102sinxdx D.QUOTE012sinxdx答案：D解析：解答:選D.由于y=sinx，x∈[-1，1]為奇函數，當x∈[-1，0]時，sinx≤0；當x∈(0，1]時，sinx>0.由定積分的幾何意義，直線x=-1，x=1，y=0與曲線y=sinx所圍成的平面圖形的面積為QUOTE-11|sinx|dx=QUOTE012sinxdx.分析：定積分滿足可加性，定積分也滿足奇偶性8.由y=QUOTE1x，x=1，x=2，y=0所圍成的平面圖形的面積為() +ln2 答案：A解析：解答:選A.畫出曲線y=QUOTE1x(x>0)及直線x=1，x=2，y=0，則所求面積S為如圖所示陰影部分面積.所以S=QUOTE121xdx=lnxQUOTE|12=ln2-ln1=ln2分析：簡單題，考查定積分在求解面積中的應用9.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，則直線x=0，x=QUOTE3π4，y=0以及曲線y=f(x)圍成平面圖形的面積為()A.QUOTE12 B.QUOTE34 C.QUOTE32 D.QUOTE32答案：C解析：解答:選C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，當x∈QUOTE0,π2時，sin2x≥0；當x∈QUOTEπ2,3π4時，sin2x<0.由定積分的幾何意義，直線x=0，x=QUOTE3π4，y=0以及曲線y=f(x)圍成平面圖形的面積為QUOTE0π2sin2xdx-QUOTEπ23π4sin2xdx=-QUOTE12cos2x|QUOTE

0π2+QUOTE12cos2x|=1+QUOTE12=QUOTE32.分析：求出函數解析式，確定積分區間，利用定積分的幾何意義計算面積.10.若兩曲線y=x2與y=cx3(c>0)圍成圖形的面積是QUOTE23，則c等于()A.QUOTE13 B.QUOTE12 D.QUOTE23答案：B解析：解答:選B.由QUOTEy=x2,y=cx3得交點(0，0)，QUOTE1c,1則S=QUOTE01c(x2-cx3)dx=，c=QUOTE12.分析：解答此題時往往誤認為積分上限是1，積分區間錯誤的確定為[0，1].確定積分區間必須通過解曲線交點確定11.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()A.QUOTEacf(x)dxB.QUOTEacf(x)dx|C.QUOTEabf(x)dx+QUOTEbcf(x)dxD.QUOTEbcf(x)dx-QUOTEabf(x)dx答案：D解析：解答:s==QUOTEbcf(x)dx-QUOTEabf(x)dx,故選D分析：函數f(x)與x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積為12.eq\i\in(0,1,)(x2＋2)dx＝()\f(7,2) \f(7,3)C．2 D．1答案：B解析：解答:＝eq\f(7,3).分析：定積分的求解運用到微積分基本定理。13.設物體以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直線運動，則它在0～4s內所走的路程為()A.70m B.72m C.75m 答案：B解析：解答:選=QUOTE04(3t2+t)dt=QUOTEt3+12t2|0分析：路程是速度對時間的積分14.設函數f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(m)，則m＝()A．±1 \r(2)C．±eq\r(3) D．2答案：C解析：解答:eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，由eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(m)，得9a＋3b＝3am2＋3b，所以m2＝3，所以m＝±eq\r(3).分析：簡單題，把f(x)的解析式帶入求解即可15.一物體受到與它的運動方向相反的力F(x)＝eq\f(1,10)ex＋x的作用，則它從x＝0運動到x＝1時，F(x)所做的功等于()\f(e,10)＋eq\f(2,5) \f(e,10)－eq\f(2,5)C．－eq\f(e,10)＋eq\f(2,5) D．－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)答案：D解析：解答:解析：W＝－＝－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)，故選D.分析：功是力對路程的積分。16.由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________．答案：18解析：解答:如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線交點的坐標，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝x－4，))得交點坐標為(2，－2)，(8,4)．因此所求圖形的面積S＝eq\i\in(,4,)－2(y＋4－eq\f(y2,2))dy取F(y)＝eq\f(1,2)y2＋4y－eq\f(y3,6)，則F′(y)＝y＋4－eq\f(y2,2)，從而S＝F(4)－F(－2)＝18.分析：由于對x軸積分比較復雜，我們可以采用對y軸積分簡化計算量17.一物體沿直線以速度v＝eq\r(1＋t)m/s運動，該物體運動開始后10s內所經過的路程是________．答案：eq\f(2,3)(11eq\f(3,2)－1)解析：解答:S＝eq\r(1＋t)dt＝eq\f(2,3)(1＋t)eq\f(3,2)＝eq\f(2,3)(11eq\f(3,2)－1)．分析：路程是速度對時間的積分，考查定積分在物理學上的運用18.由曲線y=x2+2與y=3x，x=0，x=1所圍成的平面圖形的面積為________.答案：解析：解答:聯立QUOTEy=x2+2,y=3xS=QUOTE01(x2+2-3x)dx=QUOTE13x3+2x-32x分析：簡單題，考查定積分在求解面積中的應用19.如圖所示，函數y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是答案：eq\f(4,3)解析：解答:因為函數y＝－x2＋2x＋1與y＝1的兩個交點為(0,1)和(2,1)，所以閉合圖形的面積S＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝＝eq\f(4,3).分析：求解兩個函數圍成的面積先求它們的交點確定積分的上下限，在進行積分20.函數f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為.答案：eq\f(5,6)解析：解答:eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝＝eq\f(5,6).分析：求解兩個函數圍成的面積先求它們的交點確定積分的上下限，在進行積分21.計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．答案：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0及x＝3.從而所求圖形的面積S＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))＝eq\f(9,2).解析：分析：求解兩個函數圍成的面積先求它們的交點確定積分的上下限，在進行積分22.以初速度40m/s豎直向上拋一物體，ts時刻的速度v=40-10t2，求此物體達到最高時的高度為多少？答案：由v=40-10t2=0，得物體達到最高時t=2(s).所以物體達到最高時的高度為h=QUOTE02(40-10t2)dt=m解析：分析：路程是速度對時間的積分，考查定積分在物理學上的運用23.設f(x)是二次函數，其圖象過點(0,1)，且在點(－2，f(－2))處的切線方程為2x＋y＋3＝0.（1）求f(x)的表達式；答案：設f(x)＝ax2＋bx＋c，∵其圖象過點(0,1)，∴c＝1，又∵在點(－2，f(－2))處的切線方程為2x＋y＋3＝0，∴∵f′(x)＝2ax＋b，∴∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.（2）求f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；答案：依題意，f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形如圖中陰影部分所示，故所求面積S＝eq\i\in(,0,)－1(x2＋2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－1)＝eq\f(1,3).（3）若直線x＝－t(0<t<1)把f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．答案：依題意，有eq\f(1,2)S＝eq\i\in(,0,)－t(x2＋2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－t)＝eq\f(1,6)，即eq\f(1,3)t3－t2＋t＝eq\f(1,6)，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).解析：分析：中檔題，考查定積分在求解面積中的運用。理解并掌握定積分與面積的關系，函數f(x)與x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積為24.計算eq\r(1－\f(1,4)x2)dx＝.答案：y＝eq\r(1－\f(1,4)x2)(－2≤x≤2)表示橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的x軸上方部分，所以S＝eq\f(1,2)πab＝π解析：分析：考查定積分的意義，難度較大。25.設f(a)＝eq\i\in(0,1,)|x2－a2|dx.（1）當0≤a≤1與a＞1時，分別求f(a