《數學歸納法及其應用舉例》教學設計重慶第八中學校鄧禮咸【教學目標】知識與技能：1.了解由歸納法得出的結論具有不可靠性,理解數學歸納法的原理與本質;2.掌握數學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應用；3.培養學生觀察、探究、分析、論證的能力,體會類比的數學思想．過程與方法:1.創設情境，激發學生學習興趣，讓學生體驗知識的發生與發展過程;2.通過對數學歸納法的學習、應用，逐步體驗觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養學生嚴謹的邏輯推理意識，并初步掌握論證方法;3.通過發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養學生創新能力.情感與價值觀:1.通過對數學歸納法原理的探究，培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神；2.通過對數學歸納法原理和本質的討論，培養學生團結協作的精神；3.通過置疑與探究，培養學生獨立的人格與敢于創新的精神；【教學重點】數學歸納法產生過程的分析，初步理解數學歸納法的原理并能簡單應用.【教學難點】數學歸納法中兩個條件的歸納，提煉和理解,及數學歸納法證明命題的兩個步驟.【教學方法】師生互動討論、共同探究的方法【教學手段】多媒體輔助課堂教學【教學過程】一、創設情境，引入課題情境一、“摸球實驗”

這盒子中裝的不是糖，而是乒乓球，下面抽幾個同學從盒中分別摸出一個球，并判斷乒乓球的顏色，由此猜想這盒子中所有乒乓球的顏色。

問：這個猜想對嗎？

答：不對

問：怎樣判斷這個猜想是對的？

答：把它全部倒出來看或一個一個摸出來看。

問：為什么可以一個一個摸出來看？答：因為是有限的。

問：如果是無限的呢？

答：不能采用一個一個摸出來看。再看一個數學問題：情境二：已知＝（），(1)

分別求；；．（由學生齊答；；的值，老師播放幻燈片）(2)

由此猜想出的值？這個猜想正確嗎？檢驗：所以這個猜想是錯的。（的值是對的，就接著檢驗后面的,不要一檢驗就是錯的）由上面兩個例子看出：由幾個特殊的事例得出一般的結論有時是對的，有時是錯的。由此引出歸納法的定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法.分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法；不完全歸納法:根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法.

下面看一個比較熟悉的數學問題：等差數列的通項公式：（由學生齊答，老師在黑板上書寫）

回顧等差數列通項公式推導過程：

（學生齊答，老師放幻燈）

問：這個猜想對嗎？

學生答：不一定對但我們已把它當成一個公式在用，說明這個猜想是對的，怎樣證明？法一：一個一個的檢驗，由于n是無限的，這個方法不可行，除非我們把有限的生命投入到無限的驗算中去。問：有沒有更好的方法呢？從而引出課題：數學歸納法。（放幻燈片）

二、師生互動，探究知識先看一個大家比較熟悉的游戲：演示多米諾骨牌游戲視頻.我們把剛才的視頻簡化一下，得到這樣的一個實驗（老師彈出事先準備好的簡化的多米諾骨牌游戲的動畫,并再次演示一遍）提問：滿足什么條件能使所有的骨牌全部倒下？（把學生按前后四個同學分組，每組選一個代表發言，討論時間大約3分鐘左右）學生代表發言（老師在黑板上書寫）：條件1：第一塊要倒下;條件2：當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下問：其它組還有其它意見嗎？（給學生提出的條件老師進行歸納整理）問：是否滿足這兩個條件就可以保證所有的骨牌倒下？給出推理（播放幻燈片）：

第1塊倒下

第2塊倒下

第3塊倒下

第n塊倒下

所有的骨牌全部倒下。對多米諾骨牌游戲的原理進行推廣：因為骨牌是1塊，2塊，……,無數塊,而我們要這么的等差數列的通項公式也是要證明成立,所以可將多米諾骨牌游戲的原理類比到與正整數有關的數學命題上.多米諾骨牌游戲的原理與正整數有關的數學命題(1)第一塊要倒下(1)時命題成立(2)當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下;(2)假設成立，則時接結論也成立。根據(1)和(2),可知無論多少塊骨牌都能全部倒下根據(1)和(2),可知對任意的正整數n，命題都成立。（全部由學生總結提煉，老師播放幻燈片）進一步總結數學歸納法的兩個步驟：(1)時命題成立；(2)假設成立，則時接結論也成立。我們把用這種模式來證明與正整數有關的數學命題叫作數學歸納法。下面解釋一下用數學歸納法來證題是可行的，有效的：1.推理過程：

成立

成立

成立

……

對所有的正整數n都成立。2.假設成立的依據

根據第1步，成立，取，這時假設成立就不是假設而是一個已經成立的事實了，再根據第2步，由成立就可推出成立，再取，這時假設成立就不是假設而是一個已經成立的事實了；如此取下去，每一個假設成立都是有依據的。所以用數學歸納法來證明數學問題是有效的和可靠的，大家可以放心大膽使用。三、通過實例，運用知識例：用數學歸納法證明等差數列通項公式(師生共同完成,老師在黑板上書寫并強調步驟及注意點)證明：(1)當n＝1時,左=，右=，所以左=右，即n=1時結論成立；(2)假設當時結論成立,即,則時，=,即n＝k＋1時等式也成立．綜合(1),(2),對一切的，成立．數學歸納法原理的強調(學生表述,教師補正)：（1）（遞推奠基）：驗證時命題成立；（2）（遞推根據）：假設時結論正確；去證明當時結論也正確.（一定要用到假設）數學歸納法的本質：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關系）四、反饋練習,鞏固知識用數學歸納法證明：多邊形的內角和為．（學生獨立完成，通過投影儀指出學生在書寫過程中的不足，最后老師播放幻燈片寫出規范的解答）通過這個練習，我們發現數學歸納法的第一步不一定是從開始的，所以對數學歸納法的兩步略作改動：(1)時命題成立；(2)假設成立，則時結論也成立。改為：(1)驗證時命題成立；(2)假設成立，則時結論也成立。五、總結歸納，加深理解

（先由學生總結，最后老師再總結，最后播放幻燈片）1、兩個方法：歸納法和數學歸納法；2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。歸納法的本質：特殊到一般

歸納法的作用：發現規律歸納法的缺陷：具有不可靠性3、數學歸納法

基本思想：遞推的思想

適用范圍：與正整數有關的數學命題

兩個步驟：

(1)驗證時命題成立；（遞推的基礎）(2)假設成立，則時接結論也成立。（遞推的依據）

兩個條件缺一不可，相互依存．附數學歸納法打油詩一首：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，

歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。數學歸納法的應用是非常廣泛的，用數學歸納法證題的關鍵是如何由成立去證明成立，有那些方法和技巧，且聽下回分解。六、布置作業,課外延伸

《數學歸納法及其應用舉例》教學設計說明重慶第八中學校鄧禮咸一．數學歸納法的本質、地位、作用分析《數學歸納法及其應用舉例》是人教社全日制普通高級中學教科書數學第選修II第二章第三節的內容，本節共三課時，這是第一課時,主要內容是數學歸納法理解與簡單應用。數學歸納法體現了遞推的思想，數學歸納法的本質就是利用遞推思想去證題的一種方法。1．數學歸納法在教材中的地位與作用數學歸納法是證明與正整數有關命題的一種重要的證明方法，通過對數學歸納法的學習，可對中學數學中的許多重要結論，如等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、二項式定理以及中小學很多思維上開拓創新的題目可以進行很好地證明，使很多數學結論更加嚴密，也為后繼學習打下了良好的基礎。2．數學歸納法對思維發展的地位與作用人類對問題的研究，結論的發現認同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結論對不對，證明是尤為關鍵的。運用數學歸納法解題時，有助于學生對等式的恒等變形，不等式的放縮，數、式、形的構造與轉化等知識加強訓練與掌握。對數學歸納法原理的理解，蘊含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數學思想和方法，對思維的發展起到了完善與推動的作用。二．教學目標分析知識與技能：1.了解由歸納法得出的結論具有不可靠性,理解數學歸納法的原理與本質;2.掌握數學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應用；3.培養學生觀察、探究、分析、論證的能力,體會類比的數學思想．過程與方法:1.創設情境，激發學生學習興趣，讓學生體驗知識的發生與發展過程;2.通過對數學歸納法的學習、應用，逐步體驗觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養學生嚴謹的邏輯推理意識，并初步掌握論證方法;3.通過發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養學生創新能力.情感、態度與價值觀:1.通過對數學歸納法原理的探究，培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神；2.通過對數學歸納法原理和本質的討論，培養學生團結協作的精神；3.通過置疑與探究，培養學生獨立的人格與敢于創新的精神；三．教學問題診斷運用數學歸納法證明與正整數有關的命題雖說只有兩步，但是原理很抽象．新教材理念告訴我們，不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的簡單操練.對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是兩步呢？假設成立有依據嗎？學生學完數學歸納法后對這兩點不能完全理解，只能依葫蘆畫瓢，在需要用數學歸納法時卻想不起來，等等．為此，我在教學設計中，設法進行強化數學歸納法產生過程的教學，由學生對多米諾骨牌游戲的原理進行討論并自己提煉概括，然后由多米諾骨牌游戲的原理類比到數學歸納法的兩步，并對數學歸納法的兩步進行理論上的證明，加深了學生對數學歸納法的兩步的理解，使學生對數學歸納法的理解更有深度和廣度，這不僅培養了學生的自主學習，探究學習，合作學習的能力，而且也是引導學生發展創新能力的良機．由此不難確定本課教學重點為數學歸納法產生過程的分析,初步理解數學歸納法的原理;教學難點是數學歸納法中遞推思想的理解,及用數學歸納法證明命題的兩個步驟的理解.運用數學歸納法證明與正整數有關的數學命題，兩個步驟缺缺一不可．此外，數學歸納法的應用將重點放在下一課時完成。四．教法特點及預期效果1．教學特點本節課在教法上貫徹如下幾個原則：一是建構主義原則。皮亞杰的認知結構學說：“所有的認知結構，結構再構建，構成復雜的結構，不斷發展。”數學知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數學知識必須基于個人對經驗的歸納、交流，通過反思來主動建構，這就是建構主義的數學學習觀。如在多米諾骨牌游戲原理的提煉上都由學生自己討論、歸納、總結而得出，在由多米諾骨牌游戲原理類比到數學歸納法的兩步上也由學生自己提煉而成。二是寓教于樂原則。實踐證明，學生在積極愉快的情形下，學習效率會大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發其聰明才智和創造性。結合本節課特點，將知識性與趣味性相結合，以吸引學生喜歡數學，自覺地學習數學，以調動學生的“心理場”。比如，讓學生摸球的游戲，