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文檔簡介
5.函數的表示方法曾勁松學習目標1.會用解析法、圖象法、列表法表示函數,了解這三種表示方法的特點.2.了解簡單的分段函數,并能簡單應用.3.了解映射的概念,理解函數是一類特殊的映射.一、夯實基礎基礎梳理1.函數的表示方法解析法:用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.圖象法:用圖象表示兩個變量之間的對應關系.列表法:通過列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.2.分段函數如果函數,,根據自變量在中不同的取值范圍,有著__________,則稱這樣的函數為分段函數.3.映射設是兩個__________集合,如果按某一個確定的對應關和紗,使對于集合中的任意一個元素,在集合中都有__________的元素與之對應,那么就稱對應:為從集合到集合的一個映射.4.題型分析(1)函數圖象的作法及應用;(2)求函數的解析式;(3)函數的三種表示;(4)分段函數的求值、圖象;(5)映射的概念.基礎達標1.等腰三角形的周長是20,底邊長是一腰長的函數,則()A. B.C. D.2.已知函數,分別由下表給出:則滿足的的值__________.1231311231313.如圖所示,液體從一圓錐形漏斗一圓柱形桶中,開始時,漏斗盛滿液體,經過3分鐘漏完,已知圓柱中液面上升的速度是一個常量,是圓錐形漏斗中液面下落的距離,則與下落時間(分)的函數關系表示的圖象只可能是()4.右圖中的圖象所表示的函數的解析式為().A.,B.,C.,D.,5.車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共500輛次,其中電動車保管費是每輛一次元,自行車保管費是每次一輛元.(1)若設自行車停放的輛次數為,總的保管費收入為元,試寫出關于的函數關系式;(2)若估計前來停放的3500輛次自行車中,電動車的輛次不小于,但不大于,試求該保管站這個星期日收入保管費總數的范圍.二、學習指引自主探究1.根據函數定義,下列給出的從到的對應關系是否是函數關系?(1)(2)五個學生的身高與其體重之間的關系如下表:1501501601651705055565560(3)某單位五位職工(用編號表示)與他們月工資收入(元)之間的關系如下表:1234535004550560056006000(4)某水文觀測站測得某河流在某天24小時中,水深與時間(小時)之間的關系如下圖所示:2.函數的三種基本表示方法,它們各自有什么特點?表示法優點缺點解析法列表法圖象法3.(1)“每個函數都有解析式,研究函數就是研究函數解析法”這種說法對嗎?試舉例說明.(2)每個能用解析法表示的函數都可以只用一個數學式子來表示嗎?4.(1)集合,,從到的映射滿足,那么這樣的映射有多少個?(2)下列對應關系,是否為從到的映射?如果是從到的映射,那么能否建立從到的函數?①,,;②,,,其中是的小數部分.回答上題,并體會映射與函數的關系.5.動手實驗:研究函數與(其中是不為0的常數).(1)請你取一個的值,將對應的函數圖象畫出來(如下圖).你也可以利用軟件《幾何畫板》畫圖.(2)研究取不同的值時,函數與圖象的特點,將函數表示為分段函數的形式,并寫出其值域.(3)猜想圖象會有什么特點?(4)觀察發現,函數的圖象關于軸對稱:函數的圖象關于原點中心對稱.(5)的圖象是一條折線,共有個折點,讓每一個絕對值等于零,我們就可以得到這引起折點的橫坐標.案例分析1.某種筆記本的單價是5元,買個筆記本需要元,試用三種表示法表示函數.【解析】這個函數的定義域是,用解析法可將函數表示為:.用列表法可將函數表示為:筆記本數12345錢數510152025用圖象可將函數表示為(如右圖):注:本例的設問,此處“”有三種含義,它可以是解析表達示,可以是圖象,也可以是對應值表,本題的定義域是有限集,且僅有5個元素.2.下表是某高校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.【解析】把“成績”看成“測試序號”的函數,用圖象法表示函數,如圖所示.由圖可看到:王偉同學的數學成績始終高于班級平均分,學習情況比較穩定而且成績優秀;張城同學的數學成績不穩定,總是在班級平均分水平上下波動,而且波動幅度較大:趙磊同學的數學學習成績呈上升趨勢,表明他的數學成績和穩步提高.說明:本題主要考查根據實際情境需要選擇恰當解決實際問題的能力.為了研究學生的學習情況,將離散的點用虛線連接,這樣便于研究成績的變化特點.通過本題可見,圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數值的變化趨勢.3.水池有2個進水口,1個出水口,每個水口進出水的速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下三個論斷:①0點到3點只進水不出水;②3點到4點不進水只出水;③4點到6點不進水不出水.其中一定正確的論斷是().A.① B.①② C.①③ D.①②③【答案】A.【解析】由圖甲可看出:如果進水口與出水口同時打開,每個進水口的速度為出水口速度的一半,即;由圖丙可看出在0點到3點之間蓄水量以速度2勻速增加,所以在此時間段內一定是兩個進水口均可打開,出水口關閉,故①正確.由圖丙可看出:在3點到4點之間蓄水量以速度1勻速減少,所以在此時間段內一定是一個進水口打開,出水口打開,故②正確.由圖丙可看出:在4點到6點之間蓄水量不變,所以在此時間段內一定是兩個進水口打開,出水口打開,或者兩個進水口關閉,出水口關閉,故③不正確.綜上所述論斷僅有①正確.4.如圖所示,在邊長為2的正方形的邊上有一個動點,從點出發沿折線移動一周后,回到點.設點移動的路程為,的面積為(可取0).(1)求函數的解析式;(2)畫出函數的圖象;(3)求函數的值域.【解析】(1)當點在線段上時,即,則;當點在線段上時,即,則;當點在線段上時,即,則;當點在線段上時,即,則.綜上所述:函數的解析式為(2)函數的圖象如圖所示:(3)由函數圖象可知,函數的值域是.三、能力提升1.(1)畫出=的圖象,①若,試比較與的大?。谑欠翊嬖?,使得?(2)畫出的圖象,①若,試比較與的大??;②利用圖象解不等式;③若不等式對一切實數恒成立,求實數的取值范圍.2.如圖,是邊長為2的正三角形,記位于直線左側的圖形的面積為.(1)試求函數的解析式;(2)畫出函數的圖象.3.已知函數且,,試研究關于的方程實數根個數.拓展遷移4.若函數則方程的解為__________.5.已知函數.(1)當時,其值為正,時,其值為負,求的值及的表達式;(2)設,為何值時,函數的值恒為負值?挑戰極限6.對于任意的實數,規定取,,三個值中的最小值.(1)求關于的函數關系式,并畫出此函數的圖象;(2)為何值時,最大?最大值是多少?(3)由圖象可知:當時,最大,其最大值為.課程小結1.函數有三種基本表示方法:解析法、列表法、圖象法.2.描點法畫函數圖象應注意:(1)先確定函數的定義域與值域(甚至可以初步考慮函數圖象所在的象限);(2)列表時,注意函數值隨自變量的變化規律;(3)連線要用光滑的曲線(離散的點則不要連).3.要能利用函數圖象,直觀地了解函數的某些性質,如值域,函數值大小關系,方程的解,不等式的解集等.4.對于分段函數,要會分析它的定義域、值域、最值等,能根據函數值求相應的自變量,并會畫出它的圖象,帶有絕對值符號的函數一般采用零點分段法(讓每一個絕對值等于零,解出相應的)去絕對值符號,把函數變為分段函數,再來分段畫出.5.會根據實際情境建立函數模型.想一想1.映射是函數嗎?2.分段函數的對應關系不同,那么分段函數是由幾個函數構成的嗎?3.是否所有函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示?
5.函數的表示方法基礎達標2.分段函數:不同的對應關系3.映射:非空,唯一確定.基礎達標1..【解析】∵,∴,則,∴.由構成三角形的條件(兩邊之和大于第三邊)可知,得,所以函數的定義域為,所以.2..3..4..5.【解析】(1)由題意得.(2)若電動車的輛次不小于,但不大于,則,即,畫出函數的圖象,可得函數,的值域是,即收入在元至元之間.說明:本題主要考查函數的解析式和值域,以及應用函數知識解決實際問題的能力.解函數應用題的步驟是:①審清題意讀懂題;②恰當設未知數;③列出函數解析式,并指明定義域;④轉化為函數問題,并解決函數問題;⑤將數學問題的答案還原為實際答案.自主探究1.【解析】(1)(3)(4)是函數,(2)不是函數.2.【解析】這三種表示方法的特點如下:表示法優點缺點解析法簡明、全面概括了變量間的關系;容易求出任意一個自變量的值所對應的函數值.不夠形象、直觀、具體,而且并不是所有的函數都能用解析式表示出來.列表法簡潔明了,函數的“輸入值”與“輸出值”一目了然.只能表示自變量取較少的有限值的對應關系.圖象法直觀地反映函數值隨自變量的變化的趨勢.只能近似地求出自變量所對應的函數值.3.【解析】(1)并不是每個函數都可以用解析法來表示,有的函數用解析法表示將會很煩瑣且沒有必要.如:任一自然數與其各位上的數字之和之間的關系,是一個函數關系,這個函數的作用就是計算任一自然數的各位上的數字之和,這個函數用解析法來表示就很不方便.又如把某單位全體職工編號,分別為,則職工的月工資與其編號之間能形成函數關系,這個函數關系用解析式表示也很不方便,而用列表法表示則非常好;又如把質數按從小到大的方式排列,并依次編號為則質數與其編號之間形成了一個函數關系,此函數關系到目前為止,還沒有人能找到解析表達式;又如某天某股票成交價格與時間之間也形成一個函數關系,我們可以用函數圖象來表示這種變化關系,但無法用解析式表示.綜上所述:我們可以通過解析式研究函數,也可以通過表格或圖象研究函數關系,研究函數就是研究函數解析法這種說法是錯誤的.(2)并不是每個能用解析法表示的函數都可以只用一個數學式子來表示.如圖所表示的函數,這個函數如果要用解析法來表示,就必須分成兩段,該函數為:通常,我們稱這種函數為分段函數,其特征是,在定義域的不同部分上,函數的解析式不同.但我們必須明確,分段函數是一個函數,而不是多個函數.4.【解析】(1)個.(2)①是,不能.②是,能.說明:認真理解映射的概念,知道什么是一個映射.5.動手實驗:【解析】(1)取,得或的圖象如下:(2)觀察發現,函數的圖象關于軸對稱;函數的圖象關于原點中心對稱.(3)的圖象是一條折線,共有個折點,讓每一個絕對值等于零,我們就可以得到這些折點的橫坐標.能力闖關1.【解析】(1)①.②.(2).②或.兩函數圖象如下.③不等式對一切實數恒成立等價于函數所有函數值都大于,這又等價于函數最小函數值都大于.由函數圖象可知最小函數值為,所以實數的取值范圍是.說明:本題解法中應用了數形結合思想,等價轉化思想,這些數學思想對于解決函數問題極為重要.2.【解析】(1)當時,.當時,.綜上,(2)畫出函數的圖象如右:3.【解析】有得①,由得②,由①②解之,則或解得或或,綜上知方程有三個實數根.注:本題也可以畫出函數圖象進行判斷,關于的方程的實數根就是函數與函數圖象交點橫坐標.因此本問題等價于觀察函數與函數圖象交點個數.拓展遷移4.或.【解析】或或
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