突變理論在邊坡穩定性綜合評價中的應用目錄1234緒論邊坡安全評價體系運用突變理論對邊坡進行綜合分析突變基本理論5結論1緒論邊坡工程的穩定性評判是一個十分復雜而又重要的系統問題，包含的因素很多，涉及到很多不確定性問題。目前研究較多的方法集中于使用模糊數學對邊坡進行安全穩定分析和模糊綜合評判。這些方法從不同的角度對邊坡穩定進行了研究，但合理的確定參數的隸屬函數以及綜合評判體系中各層指標權重的選擇十分困難，且主觀性較強。考慮邊坡的現場情況，針對評價因素權重確定中的困難，把突變理論運用到邊坡的綜合評價中，利用突變理論在多準則評價決策中的優點，避免人為確定權重的主觀性。1緒論突變理論為我們提供了研究巖體邊坡穩定性的新方法：

根據表層巖體位移觀測數據，通過建立勢能函數或者通過擬合曲線，獲得巖體系統是否失穩的判據，確定巖體邊坡系統的臨界狀態，研究系統狀態在變化時是否通過分叉集曲線，從而預測邊坡系統的穩定狀態。

利用突變理論進行邊坡穩定性研究具有重要的理論和現實意義。2突變基本理論法國數學家Thom于1972年以奇點理論、穩定性理論等為基礎，建立了突變理論，用來研究各種突變（不連續）現象的一個新興數學分支，其主要方法是將各種突變現象歸納到不同類別的拓撲結構中，根據勢函數把臨界點分類，討論各類臨界點附近的非連續特性，并建立了7種初等突變模型，即：折疊型突變（FoldCatastrophe)、尖點型突變（CuspCatastrophe)、燕尾型突變（SwallowtailCatastrophe)、蝴蝶型突變（ButterflyCatastrophe)、橢圓臍點突變（EllipticUmbilic)、雙曲突變（HyperbolicUmbilic)及拋物突變（ParabolicUmbilic)。2.1突變理論概述2突變基本理論對于初等突變理論而言，由于數學基礎是根據系統的勢函數而對臨界點進行分類，因此突變理論研究的仍是狀態的分岔，即平衡點間的相互轉換問題。任何一個系統，其狀態總要保持平衡，系統由一個平衡狀態躍變到另一個平衡狀態時，即發生了突變，該過程的全貌可通過一個光滑的平衡曲面（突變流形）來描述。突變理論所研究的就是描述這種突變過程的所有可能的平衡曲面。Thom通過數學推導，證明了漸變的控制空間所產生的突變行為（狀態空間），在控制空間不超過4維、狀態空間不超過2維時，各種初等突變可歸結為7種基本類型。2.2初等突變類型2突變基本理論2.2初等突變類型

表17種基本突變類型2突變基本理論2.2.1尖點突變模型（最常見、應用最廣泛）尖點突變模型勢函數的一般表達式為：式中，y為狀態變量，a、b為控制參數，V(x)表示一種勢，即狀態為x時，系統貯存的能量。當系統處于平衡狀態時，有即平衡曲面方程為此三次方程的實根為一個或三個，其判別式為：當Δ>0時，有一個實根；Δ<0時，有三個互異的實根；Δ=0時，三個實根中有兩個相同（a、b均不為零）或三個均相同（a=b=0）。

2突變基本理論2.2.1尖點突變模型（最常見、應用最廣泛）尖點突變模型的一般特征：突然跳躍性滯后性多模態不可到達性發散性2突變基本理論2.2.2常用初等突變模型

Thom歸納的7種初等突變模型中較常用的模型有：尖點突變模型、燕尾突變模型和蝴蝶突變模型。設x為狀態變量，a、b、c、d為控制變量，其歸一公式如下所示：尖點突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3;燕尾突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4;蝴蝶突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4

，xd=d1/5;2突變基本理論2.2.2常用初等突變模型

3種模型示意圖如圖2所示，其中，圖2（a）為尖點突變模型系統，圖2（b）為燕尾突變模型系統，圖2（c）為蝴蝶突變模型系統。寫在前面的是主要控制變量，后面的是次要控制變量。在確定控制變量的個數后就可以采用相應的突變模型，然后根據不同模型的歸一公式計算出上層狀態變量的突變函數值。xabxacbxcadb（b）（a）（c）圖23種突變模型示意圖3邊坡安全評價體系這種多項目、多測點的監測可以較全面地反映邊坡在不同時期的安全穩定性態，可以及時對邊坡的發展趨勢進行分析反饋。3.1邊坡監測儀器布置圖3邊坡監測儀器布置圖3邊坡安全評價體系由于邊坡的穩定控制主要是控制變形，監測也主要以變形監測為主，所以對第1層評價指標采用燕尾突變模型，變形是主要控制變量，應力其次，地下水的觀測時間最短，所以影響程度最小。3.2邊坡安全綜合評價體系圖4邊坡安全綜合評價體系3邊坡安全評價體系邊坡的變形觀測又分內觀和外觀，內部觀測能反映巖體中的深層結構面的演變情況，而巖石邊坡中的不利結構面常常是引起邊坡破壞的主要內在因素，因此是主要控制變量；外觀主要是通過全站儀在外觀位移標墩上測量邊坡的外表的變化情況，是次要控制標量，因此對此層采用尖點突變模型。內觀又由3種監測項目(測斜、單點位移計、多點位移計)組成，所以對此層元素采用燕尾突變模型；綜合考慮到儀器位置及觀測的時間長短、數據量的大小，將測斜作為主要控制變量，多點位移計其次。各評價層元素的相對重要性用歸一公式中的a，b，c表示，3.2邊坡安全綜合評價體系4運用突變理論對邊坡進行綜合分析設定邊坡最危險時的狀態為0，最安全時為1。為了進行綜合分析，要將底層指標(控制變量)進行標準化處理，得到其安全數值。通常底層指標既有定量指標，也有定性指標，兩者的規格化的處理方法不同。由于本評價體系是完全基于現場監測的基礎建立的，因此都是定量指標，只需按照一定的控制標準進行轉化都可以將其轉化到0～1范圍內的越大越好型無量綱指標值。4.1底層監測信息標準化4運用突變理論對邊坡進行綜合分析根據長期的監測數據以及工程經驗，可以將測點的變化速率劃分為幾個區間，變化速率標準化建議區間見下表。（參考：侯玉成.土石壩健康診斷理論與方法研究[碩士學位論文].河海大學，2005）4.1底層監測信息標準化表2變化速率標準化建議區間4運用突變理論對邊坡進行綜合分析設測點的變化速率為vt，標準化后的數值為ut

。當vt的數值位于不同的區間時，分別有如下的標準化公式：4.1底層監測信息標準化4運用突變理論對邊坡進行綜合分析當對表1中的區間的界線值x1，x2，x3取不同的值時，可以得到不同儀器原始速率vt的標準化后的不同數值。針對測斜儀的監測數據，取x1=0.5mm/d，x2=1mm/d，x3=2mm/d。例如測點1在2004年的位移速率vt=0.84mm/d，用上面的標準化公式，ut=0.75-(0.84-0.50)(0.75-0.50)/0.50=0.58。同法可算出其余儀器在0～1內的指標值。根據底層指標的標準化數值，按歸一公式可以算出各控制變量的相應中間值，即突變級數值。然后逐級向上計算，可得到邊坡安全的總突變級數值。4.1底層監測信息標準化4運用突變理論對邊坡進行綜合分析利用突變理論進行多目標綜合分析評價決策時，要考慮兩種原則，即“非互補”評價決策和“互補”評價決策。（參考：三峽水工建筑物安全監控與反饋設計，左書）

4.2互補原則和非互補原則在評價中的使用4運用突變理論對邊坡進行綜合分析若一個系統的諸控制變量(如a，b，c，d)之間不可互相替代，即不可相互彌補其不足，因而按歸一公式求得系統狀態變量x的值時，要從諸控制變量相對應的突變級數值中選取一個最小的作為系統的x值，即“大中取小”的“非互補”原則。若一個系統的諸控制變量之間存在相互關聯作用，則應取控制變量對應的突變級數的平均值來作為系統的x值，即“互補”原則。4.2互補原則和非互補原則在評價中的使用4運用突變理論對邊坡進行綜合分析由于在整個綜合評判過程中，諸控制變量的底層指標和突變級數值均轉化為[0，1]區間內的越大越優型，所以最終的總突變級數值也越大越優。

通過分析不同時期的監測數據，可以得出不同時期的總突變級數值，從而分析邊坡安全狀態的變化情況。若突變值隨時間的推移而增大或基本穩定，說明該邊坡的安全狀態向好的方向發展；若突變值隨時間的推移而明顯減小，則應引起注意。4.2互補原則和非互補原則在評價中的使用4運用突變理論對邊坡進行綜合分析4.3實例計算表3變形指標計算結果根據突變理論綜合分析的步驟，對巖石高邊坡進行了安全評判。按歸一公式分別計算各指標的突變級數值，變形指標的計算結果見表3所示。4運用突變理論對邊坡進行綜合分析4.3實例計算表3中內觀的3類監測項目(測斜、多點、單點)，代號分別為A1，A2，A3，采用非互補型蝴蝶突變模型；外觀指標下分3個子指標(斷面560，610，560)，代號分別為B1，B2，B3，采用互補型蝴蝶突變模型。求出內觀、外觀指標值后，采用尖點突變模型計算變形評判指標的總突變函數值。4運用突變理論對邊坡進行綜合分析4.3實例計算同理可求出應力和地下水的突變函數值：X應力=0.90，X地下水=0.94。采用非互補型蝴蝶突變模型可得到邊坡的總突變函數值為0.87。同理可以求出第二年邊坡的總突變值為0.89。4運用突變理論對邊坡進行綜合分析從連續2年的突變值可以看出邊坡的總突變值均較大，且基本穩定，有小幅增大。說明邊坡的安全狀態基本正常，且有向好的方向發展的趨勢。