章末綜合測評(二)統計(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．某學校為了調查高一年級的200名學生完成課后作業所需時間，采取了兩種抽樣調查的方式：第一種由學生會的同學隨機抽取20名同學進行抽查；第二種由教務處對該年級的學生進行編號，從001到200，抽取學號最后一位為2的同學進行調查．則這兩種抽樣的方法依次是()A．分層抽樣，簡單隨機抽樣B．簡單隨機抽樣，分層抽樣C．分層抽樣，系統抽樣D．簡單隨機抽樣，系統抽樣【解析】由抽樣方法的概念知，第一種是簡單隨機抽樣，第二種是系統抽樣．【答案】D2．小波一星期的總開支分布如圖1①所示，一星期的食品開支如圖1②所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為()圖1A．1% B．2%C．3% D．5%【解析】由題圖②知，小波一星期的食品開支為300元，其中雞蛋開支為30元，占食品開支的10%，而食品開支占總開支的30%，所以小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為3%.【答案】C3．某同學使用計算器求30個數據的平均數時，錯將其中一個數據105輸入為15，則由此求出的平均數與實際平均數的差是()A． B．－3C．3 D．－【解析】少輸入90，eq\f(90,30)＝3，平均數少3，求出的平均數減去實際平均數等于－3.【答案】B4．某校現有高一學生210人，高二學生270人，高三學生300人，學校學生會用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取n個學生進行問卷調查，如果已知從高一學生中抽取的人數為7人，那么從高三學生中抽取的人數應為()A．10 B．9C．8 D．7【解析】由題意知抽取的比例為eq\f(7,210)＝eq\f(1,30)，故從高三中抽取的人數為300×eq\f(1,30)＝10.【答案】A5．一個容量為100的樣本，其數據的分組與各組的頻數如下：組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數1213241516137則樣本數據在[10,40)上的頻率為()A． B．C． D．【解析】頻率為eq\f(13＋24＋15,100)＝.【答案】C6．如圖2是一容量為100的樣本的質量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本質量的中位數為()圖2A．11 B．C．12 D．【解析】由頻率分布直方圖得組距為5，故樣本質量在[5,10)，[10,15)內的頻率分別為和，從而中位數為10＋eq\f,×5＝12，故選C.【答案】C7．高三某班有學生56人，現將所有同學隨機編號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、33號、47號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號為()A．13 B．17C．19 D．21【解析】因為47－33＝14，所以由系統抽樣的定義可知樣本中的另一個學生的編號為5＋14＝19.【答案】C8．在某次測量中得到的A樣本數據如下：52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B樣本數據恰好是A樣本數據都加6后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是()A．眾數 B．平均數C．中位數 D．標準差【解析】由題意可知B樣本的數據為58,60,60,62,62,62,61,61,61,61，將A樣本中的數據由小到大依次排列為52,54,54,55,55,55,55,56,56,56，將B樣本中的數據由小到大依次排列為58,60,60,61,61,61,61,62,62,62，因此A樣本的眾數為55，B樣本的眾數為61，A選項錯誤；A樣本的平均數為，B樣本的平均數為，B選項錯誤；A樣本的中位數為55，B樣本的中位數為61，C選項錯誤；事實上，在A樣本的每個數據上加上6后形成B樣本，樣本的穩定性不變，因此兩個樣本的標準差相等，故選D.【答案】D9．如圖3莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績．(單位：分)圖3已知甲組數據的平均數為17，乙組數據的中位數為17，則x，y的值分別為()A．2,6 B．2,7C．3,6 D．5,7【解析】依題意得9＋10×2＋2＋x＋20×2＋7＋4＝17×5，即x＝5，y＝7，故選D.【答案】D10．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為160，則中間一組的頻數為()A．32 B．C．40 D．【解析】由頻率分布直方圖的性質，可設中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，所以x＝，故中間一組的頻數為160×＝32，選A.【答案】A11．如圖4所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，樣本標準差分別為sA和sB，則()圖4\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，sA＞sB \x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＞sB\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，sA＜sB \x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＜sB【解析】A中的數據都不大于B中的數據，所以eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，但A中的數據比B中的數據波動幅度大，所以sA＞sB.【答案】B12．某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\o(x,\s\up10(－))和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()\o(x,\s\up10(－))，s2＋1002\o(x,\s\up10(－))＋100，s2＋1002\o(x,\s\up10(－))，s2\o(x,\s\up10(－))＋100，s2【解析】eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝eq\o(x,\s\up10(－))，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為eq\o(x,\s\up10(－))＋100，方差不變，故選D.【答案】D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)．13．某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取________名學生．【解析】根據題意，應從一年級本科生中抽取的人數為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.【答案】6014．某地區對某路段公路上行駛的汽車速度實施監控，從中抽取50輛汽車進行測試分析，得到如圖5所示的時速的頻率分布直方圖，根據下圖，時速在70km/h以下的汽車有________輛．圖5【解析】由頻率分布直方圖可得時速在70km/h以下的頻率是＋×10＝，所以頻數是×50＝20.【答案】2015．一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，收集數據如下：零件數x(個)1020304050加工時間y(分鐘)6469758290由表中數據，求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝＋eq\o(a,\s\up10(^))，根據回歸方程，預測加工70個零件所花費的時間為________分鐘．【解析】由數據可得eq\x\to(x)＝30，eq\x\to(y)＝76，將中心點(30,76)代入線性回歸方程可得eq\o(a,\s\up10(^))＝76－×30＝，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝＋.當x＝70時，eq\o(y,\s\up10(^))＝×70＋＝102.【答案】10216．從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖6)．由圖中數據可知a＝________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]的學生中選取的人數應為________.圖6【解析】∵×10＋×10＋a×10＋×10＋×10＝1，∴a＝.設身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的學生分別有x，y，z人，則eq\f(x,100)＝×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.故從[140,150]的學生中選取的人數為eq\f(10,30＋20＋10)×18＝3.【答案】3三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)一批產品中，有一級品100個，二級品60個，三級品40個，分別用系統抽樣和分層抽樣的方法，從這批產品中抽取一個容量為20的樣本．【解】(1)系統抽樣的方法：先將200個產品隨機編號：001,002，…，200，再將200個產品按001～010,011～020，…，191～200，分成20組，每組10個產品，在第一組內用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號，按事先確定的規則，從每組中分別抽取樣本，這樣就得到一個容量為20的樣本．(2)分層抽樣的方法：先將總體按其級別分為三層，一級品有100個，產品按00,01，…，99編號；二級品有60個，產品按00,01，…，59編號；三級品有40個，產品按00,01，…，39編號．因總體個數：樣本容量為10∶1，故用簡單隨機抽樣的方法：在一級品中抽10個，二級品中抽6個，三級品中抽4個．這樣就得到一個容量為20的樣本．18．(本小題滿分12分)某公司為了了解一年內的用水情況，抽取了10天的用水量如下表所示：天數1112212用水量/噸22384041445095(1)在這10天中，該公司用水量的平均數是多少？(2)在這10天中，該公司每天用水量的中位數是多少？(3)你認為應該用平均數和中位數中的哪一個數來描述該公司每天的用水量？【解】(1)eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,10)(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(噸)．(2)中位數為eq\f(41＋44,2)＝(噸)．(3)平均數受數據中的極端值(2個95)影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數描述每天的用水量更合適．19．(本小題滿分12分)兩臺機床同時生產一種零件，在10天中，兩臺機床每天的次品數如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪臺機床次品數的平均數較?。?2)哪臺機床的生產狀況比較穩定？【解】(1)eq\o(x,\s\up10(－))甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×eq\f(1,10)＝，eq\o(x,\s\up10(－))乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×eq\f(1,10)＝.∵eq\o(x,\s\up10(－))甲>eq\o(x,\s\up10(－))乙，∴乙車床次品數的平均數較?。?2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(1－2＋(0－2＋(2－2＋(0－2＋(2－2＋(3－2＋(0－2＋(4－2＋(1－2＋(2－2]＝，同理seq\o\al(2,乙)＝，∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴乙車床的生產狀況比較穩定．20．(本小題滿分12分)農科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從甲、乙兩種麥苗的試驗田中各抽取6株麥苗測量麥苗的株高，數據如下：(單位：cm)甲：9,10,11,12,10,20乙：8,14,13,10,12,21.(1)在如圖7給出的方框內繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖；圖7(2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數與方差，并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況．【解】(1)莖葉圖如圖所示：(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(9＋10＋11＋12＋10＋20,6)＝12，eq\x\to(x)乙＝eq\f(8＋14＋13＋10＋12＋21,6)＝13，seq\o\al(2,甲)≈，seq\o\al(2,乙)≈.因為eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，所以乙種麥苗平均株高較高，又因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲種麥苗長得較為整齊．21．(本小題滿分12分)某醫院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量(mg/L)與消光系數如下表：尿汞含量x246810消光系數y64134205285360(1)如果y與x之間具有線性相關關系，求回歸直線方程；(2)估計尿汞含量為9mg/L時的消光系數．【解】(1)設回歸直線方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^)).∵eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝，∴eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝220，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝7774，∴eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(7774－5×6×,220－5×62)＝eq\f(1486,40)＝.∴eq\o(a,\s\up10(^))＝－×6＝－.∴回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝－.(2)∵