第四課時，函數模型的綜合應用一、課前準備1．課時目標（1）掌握函數的思想方法，即通過求出或構造出函數來解決問題；（2）學會運用函數知識解決某些簡單的實際問題；（3）梳理社會生活中普遍使用的函數模型，并進行簡單的應用。2．基礎預探（1）．一次函數求最值主要是利用它的；（2）.二次函數求最值也是要利用它的單調性，一般我們都先.（3）.無論什么函數求最值都要注意.例如等.二、基本知識習題化1.向高為H的圓錐形漏斗內注入化學溶液（漏斗下口暫且關閉），注入溶液量V與溶液深度h的大概圖象是（）.2.某種生物增長的數量與時間的關系如下表：123．．．138．．．下面函數關系式中，能表達這種關系的是（）.A．B．C．D．3.某企業近幾年的年產值如下圖：則年增長率（增長率=增長值/原產值）最高的是（）.A.97年B.98年C.99年D.00年4.某商店已按每件80元的成本購進某種上裝1000件，根據市場預測，當每件售價100元時可全部售完，若定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，則銷售價應定為（）A、110元B、130元C、150元D、190元5.某新型電子產品2023年投產，計劃2023年使其成本降低36℅.則平均每年應降低成本%.三、學習引領1．數學模型所謂數學模型是指對客觀實際的特征或數量關系進行抽象概括，用形式化的數學語言表述的一種數學結構。數學模型剔除了事物中一切與研究目標無本質聯系的各種屬性，在純粹狀態下研究數量關系和空間形式，函數就是最重要的數學模型，用函數解決方程問題，使求解變得容易進行，這是數學模型間的相互轉換在發揮作用.而用函數解決實際問題，則體現了數學模型是聯系數學與現實世界的橋梁.2．關于數學建模中的假設就一般的數學建模來說，是離不開假設的，如果在問題的原始狀態下不作任何假設，將所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復雜一點的問題就無法下手。假設的作用主要表現在以下幾個方面：（1）進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用。初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經仔細分析篩查，發現有的因素并無實質聯系，有的因素是無關緊要的，排除這些因素，問題則越發清晰明朗.在假設時就可以設這些因素不需考慮.（2）由于每一個解題者的能力不同，經過適當的假設就可以有能力建立數學模型，并且得到相應的解.四、典例導析1、一次、二次函數模型：例1、南京的某報刊零售點，從報社買進某報紙的價格是每份元，賣出的價格是每份元，賣不掉的報紙可以以每份元的價格退回報社．在一個月（以天計算）里，有天每天可賣出份，其余每天只能賣出份，但每天從報社買進的份數必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？思路導析：此問題是關于利潤和份數的關系,根據經驗我們知道:利潤每份報紙賺的錢份數賣不掉的報紙份數每份報紙虧的錢,的取值范圍是.解析:設每天從報社買進份報紙，每月獲得總利潤元，則由題意，，，∵函數在上是單調遞增函數，∴時，元，所以，該攤主每天從報社買進份時，每月所獲利潤最大，最大利潤為元．規律總結:建立目標函數后一定要注意實際應用問題中變量的取值范圍變式練習：1、某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元.銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：銷售單價/元6789日均銷售量/桶480440400360銷售單價/元101112日均銷售量/桶320280240請據以上數據作出分析，這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤？2、擬合函數模型例2、某皮鞋廠從今年1月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬雙，萬雙，萬雙，萬雙.由于產品質量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產品時，接受定單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產量.廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程.廠里也暫時不準備增加設備和工人.假如你是廠長，就月份x，產量y給出四種函數模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產量？思路導析：本題是通過數據驗證，確定系數，然后分析確定函數的變化情況，最終找出與實際最接近的函數模型.解析：由題知A(1，1)，B(2，，C

(3，，D(4，.（1）設模擬函數為y=ax+b，將B、C兩點的坐標代入函數式，有，所以得y=+1.（2）設y=ax2+bx+c，將A，B，C三點代入，有所以y=–++.（3）設，將A，B兩點的坐標代入，有所以（4）設y=abx+c，將A，B，C三點的坐標代入，得綜上所述：所以y=–×+=規律總結：本題是對數據進行函數模擬，選擇最符合的模擬函數.一般思路要畫出散點圖，然后作出模擬函數的圖象，選擇適合的幾種函數類型后，再加以驗證.函數模型的建立是最大的難點，另外運算量較大，必須借助計算機進行數據處理，函數模型的可靠性與合理性既需要數據檢驗，又必須與具體實際結合起來.變式練習2、某地區今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別為52，61，68.為了預測以后各月的患病人數，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數，x為月份數，a,b,c,p,q,r都是常數.結果4月，5月，6月份的患病人分別為74,78，83，你認為誰選擇的模型較好？五、隨堂練習2．某種電熱水器的水箱盛滿水是升，加熱到一定程度可浴用.浴用時，已知每分鐘放水升，在放水的同時注水，分鐘注水升，當水箱內水量達到最小值時，放水自動停止.現假定每人洗浴用水升，則該熱水器一次至多可供（）洗澡.人人人人3．某不法商人將彩電先按原價提高，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優惠”，結果是每臺彩電比原價多賺了元，那么每臺彩電原價是元．4、有一批材料可以圍成長的圍墻，現用此材料圍成一塊矩形場地，且內部用此材料隔成兩塊矩形（如圖），則圍成的矩形場地面積的最大值為______________.5、如圖，河流航線長，工廠位于碼頭正北處，原來工廠所需原料需由碼頭裝船沿水路到碼頭后，再改陸運到工廠，由于水運太長，運費頗高，工廠與航運局協商在段上建一碼頭，并由碼頭到工廠修一條新公路，原料改為按由到再到的路線運輸，設，每噸的貨物總運費為元，已知每噸貨物每千米運費水路為元，陸路為元.（1）試寫出元關于的函數關系式；（2）要使運費最省，碼頭應建在何處？六、課后作業1、東方旅社有張普通客床，每床每天收租費元，客床可以全部都租出；若每床每天收費提高元，出租的床的數量便減少張；再提高元，再減少張，依此變化下去，為了投資少而獲利到達每床每天應提高租金（）元.或2、如圖，某工廠年來某種產品的產量與時間（年）的函數關系，下面四種說法中，正確的是（）①前三年中產量增加的速度越來越快；②前三年中產量增長的速度越來越慢；③第三年后，這種產品停止生產；④第三年后，這種產品產量保持不變．②③②④①③①④3、某種商品，生產噸需投入固定成本元，可變成本為元，而賣出噸的價格為每噸元，其中（為常數），如果生產的噸產品全部賣掉，可獲利元，則利潤與產銷量的函數關系式為．4、某水廠的蓄水池中有噸水，水廠每小時可向蓄水池中注入噸水，同時蓄水池又向居民小區不斷供水，小時內供水總量為噸.（1）從供水開始到第幾小時，蓄水池中水量最小？最小水量是多少？（2）若蓄水池中水量小于噸，就會出現供水緊張現象，試問在一天內有幾個小時會出現供水緊張現象？5．南京的某報刊零售點，從報社買進某報紙的價格是每份元，賣出的價格是每份元，賣不掉的報紙可以以每份元的價格退回報社．在一個月（以天計算）里，有天每天可賣出份，其余每天只能賣出份，但每天從報社買進的份數必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？6．已知某商品的價格上漲，銷售的數量就減少，其中為正的常數．（2）如果適當地漲價，能使銷售總金額增加，求的取值范圍．第四課時，函數模型的綜合應用一、課前準備2．基礎預探（1）．單調性（2）.判定開口方向；二、基本知識習題化1.B解析：由題意得，上升的速度越來越慢，故選B2.D解析：根據表中的數據可驗證，函數最接近實際，故選D。3.D解析：由題意得，根據表中的圖象的變化趨勢得，00年的增長最快，故選D。4.解：假設提高售價x元，獲得總利潤y元由題意得，y=（20+x）（1000-5x）-80×5x=-5x2+500x+20000（0≤x≤200，x∈N）∵對稱軸x=50∴當x=50即售價定為150元時，利潤最大；ymax=-5×2500+500×50+20000=32500，∴售價定為150元時，利潤最大．故選C5.解：設平均每年降低x，（1-x）2=1-36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．四、典例導析變式練習：1、解：根據表，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶.設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，而在此情況下的日均銷售量就為480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200=–40x2+520x–200，0＜x＜13易知，當x=時，y有最大值.所以，只需將銷售單價定為元，就可獲得最大的利潤.2、解析：老師借助電腦解答問題（1）列表（2）畫散點圖.（3）確定函數模型.甲：y1=–x2+12x+41，乙：y2=–×+（4）做出函數圖象進行比較.計算x=6時，y1=77，y2=.可見，乙選擇的模型較好.五、隨堂練習1、答案：D2．答案：B解析：設最多用分鐘，則水箱內水量，當時有最小值，此時共放水升，可供人洗澡.3．答案：4、答案：5、分析：=1\*GB3①.總運費元水路運費陸路運費=2\*GB3②.水路運費元,陸路長度可以勾股定理求得:陸路運費(元).=3\*GB3③.建立此問題的函數模型:.對于問題(2)我們可以利用求函數值域的方法求得運費最省時,點的位置.六、課后作業1、答案：B2、答案：B3、答案：4、答案：（1）小時，噸；5