平面連桿機構綜合的解析法第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日2，根據所要實現的從動件的運動規律不同，一般將連桿機構尺度綜合分為下列三個基本問題：(1)剛體導引機構綜合，或稱為位置綜合該綜合要求能引導某個構件(剛體)按次序經過若干個給定的位置。例如圖5-1所示的手術椅、工作中需要它能處于圖示的三個位置。若用連桿機構來實現該功能時，就是一個三位置剛體導引機構綜合問題。(2)函數生成機構綜合該綜合要求連桿機構的輸入和輸出構件間的位移關系滿足預先給定的函數關系。

(3)軌跡生成機構綜合該綜合要求機構中連桿上某點沿給定的軌跡運動。如圖所示軋輥機構第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日

連桿機構綜合所用的方法有解析法和幾何法。解析法根據運動學原理建立設計方程，然后解析求解或用計算機求數值解。幾何法應用運動幾何學的原理作圖求解。在解析法中又分精確點法綜合和近似綜合。3，機構的綜合可分為三個階段：（1）選擇合適的機構類型，即型綜合；（2）按所需要的自由度確定機構的構件數與運動副數；即數綜合（3）尺度綜合，通過計算，確定機構的基本尺寸；4，機構的檢驗準則對通過上述過程得到的平面連桿機構，是否合適，應符合以下準則：第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日（1）有曲柄準則曲柄存在準則：最短桿與最長桿之和≤其余兩桿長度之和；在此條件下，取最短桿或與最短桿相鄰接的構件作機架，必有曲柄。（2）運動連續性準則(3)運動的順序準則平面機構運動綜合中,應符合規定的運動順序要求。（4）傳力準則機構的最小傳動角≥40°。第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日5-2剛體位移矩陣一、剛體繞坐標原點的旋轉矩陣

剛體上的一個矢量就能完全確定此剛體在平面中的位置。圖5-3表示剛體上一個矢量由位置v1，繞原點旋轉a角到位置v2

。兩者的關系為由于Z軸不變,上式寫成矩陣簡化記為:第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

前面公式的意義:在于知道剛體第一個位置的坐標后，可以用第一個位置的坐標和轉角，來表示剛體轉動后的坐標。二，剛體平面運動的一般情況（轉動+移動）

如圖所示，平面上某剛體由初始位置運動到末位置。該一般位移可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉動。

已知條件：剛體的初始位置q1，P1，剛體在其余位置時，相對于初始位置的轉角θ1j和Pjx，Pjy，

求：剛體平面運動后的坐標；qjx，qjy解;剛體先作定軸轉動:qj’‘第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日再加上沿x,y軸的移動：轉動在X方向的移動第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日上式可以簡記為：

對作一般平面運動的剛體,從位置1到位置j,根據理論力學的瞬心法，可以在平面內找到一個瞬心P0。如圖所示：P1q1PjqjP0

在采用瞬心作為參考點的情況下，Pj=P1=P0，由于轉動的效果相同，且d13j，d23j是已知的，所以：解出瞬心P0x，P0y第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日

如圖5-5所示，給定剛體的若干個位置，其上某點a相應位置為a1、a2、…aj，若它們位于一圓弧上，則該點稱為圓點，可作為連架桿與連扦的鉸接點，而該圓弧的圓心a0。可作為連架桿與機架的鉸接點。5-3，剛體導引機構的綜合一，連桿的三位置綜合以知條件：給定連桿的三個位置，即三個參考點坐標P1，P2，P3，和兩個相對轉角θ12，θ13。

求：四桿機構的基本尺寸。公式推導：第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日由此可得平面R-R導引桿的位移約束方程—定長方程。

若給定連桿的三個位置，這時定長方程中的j＝2、3，連架R-R導引桿的長度約束方程為：方程中：a0（a0x，a0y），a1，a2，a3點均為未知數，共8個Rotation第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日

對四桿機構來講，a點也在連桿上，隨連桿作一般平面運動，所以，滿足前面講的剛體一般平面運動方程。

在這個方程組里面，可以用a1（a1x，a1y）來表示a2（a2x，a2y），a3代回到定長方程中，消去a2，a3。

在定長方程中，還有a0和a1，共4個未知數，但只有兩個方程。如何解？

選定定鉸點坐標a0（a0x，a0y），解出a1（a1x，a1y），所以方程有無數組解。第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日j=2，3代入定長方程j=2，3化簡后：AjBjCj第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日所以，方程可以表示為：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）解出a1x，a1y

作為四桿機構，在求出a1x，a1y以后，僅僅完成一半，還要再求出b1x，b1y，方法與前相同，但需要選定b0（b0x，b0y）。a0a1b1b0第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日

例5-1已知連桿的三個位置，即連桿上P點的三個位置及連桿的兩個轉角:試綜合該四桿導引機構。素.=第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日A2=d112d132+d212d232+(1-d112)a0x-d212a0y=1×1+0×(-0.5)+0+0=1B2=d122d132+d222d232+(1-d222)a0y-d122a0x=0×1+(1×(-0.5)=-0.5C2=d132a0x+d232a0y-(d1322+d2322)/2=1×0-0.5×0-(12+0.52)/2=1.25/2(取a0x,a0y為0,0)第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日A3=d113d133+d213d233+(1-d113)a0x-d213a0yB3=d123d133+d223d233+(1-d223)a0y-d123a0xC3=d133a0x+d233a0y-(d1332+d2332)/2=第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日可得方程組:解方程得:a1x=0.955,a1y=3.24

取另一定鉸鏈點的坐標為:(5,0),代入計算，得b1x=3.5477,b1y=-1.6545最后計算各桿的桿長:(1)(2)(5,0)作業:P885-3a0點取(0,0),b0點,取(15,0)，計算a2，a3，b2，b3，并按尺寸作圖驗證。第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日二,曲柄滑塊機構

對給定剛體的幾個位置如果能在剛體上找到一個點b，其相關點b1，b2，。。。bj在一條直線上，則該點可作為滑塊與連桿的鉸接點，而該直線，則代表滑塊與機架組成移動副的方位線。如果能找到這樣的點，則滿足以下方程：上式就是P-R導引桿的位移約束方程——定斜率方程Plane-Rotation第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日1，若給定連桿的三個位置，即b點的三個坐標和θ12，θ13，只能建立一個約束方程：2，由于b點也在連桿上，所以，應滿足剛體平面位移矩陣：

通過上面兩個方程，可以用b1表示b2，b3，代回定斜率方程，消去b2，b3，這樣，方程還有兩個未知數：b1x，b1y。（1）（2）（3）第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日3，將前面用b1表示的b2和b3代入定斜率方程，化簡后，得：式中：（4）

式（4)是圓的一般方程式，它表示滿足連稈的三個給定位置時，導引滑塊鉸鏈點bl可在該圓上任取。導引滑塊鉸鏈點bl的這個位置分布圓稱為滑塊軌跡圓。將式(4)改寫成圓的標準形式：滑塊軌跡圓的圓心坐標C0：圓的半徑

由上述可知，給定連桿的三個位置時，可得無數個滿足給定位置要求的導引滑塊，我們可根據其它條件，在滑塊圓上選定一個，再求出另外一個，得到一個適當的解。第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日4，求另一個動鉸鏈點a1a0a1b1

采取前面講的R-R導引桿求a1點的方法進行求解。例5-2設計一曲柄滑塊機構，要求能導引連桿平面通過以下三個位置：第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：(1)導引滑塊的綜合

1)求滑塊鉸鏈中心的軌跡圓，計算剛體平面位移矩陣將各元素值代入式（4），計算下面的系數表達式得到：第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日將這些系數代入，得軌跡圓方程可知滑塊軌跡圓的圓心坐標為：軌跡圓半徑為R＝4．623

2)選定滑塊鉸鏈中心bl的位置坐標b1x、b1y。設b1點取在軌跡圓與y軸的交點上，則b1x＝0，代入軌跡圓方程，得解上式，得b1y的兩個解取b1（0，4.4262)第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日3)求滑塊導路的傾角a。滑塊鉸鏈點的第二、第三個位置B2，B3，可按式(6—22)求得(2)導引曲柄的綜合

1)求動鉸鏈點A1的位置坐標a1x，a1y，設取曲柄的固定鉸鏈中心a0＝(0，-2.4)，代入式(5-16)得方程組第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日解此線性方程組可得:2)求動鉸鏈點A的其它兩個位置A2、A3

3)計算機構各構件的相對尺寸第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日P-R導引桿偏距故有曲柄存在。由于第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

三、連桿四個、五個位置綜合問題

給定連桿的四個位置綜合R-R導引桿時，式(5-1I)中的J＝2、3、4，于是可得一組3個設計方程可以利用關系式對用a1,表示a2，a3，a4第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

這樣，前面的方程組便成為只包含四個未知量aox、aoy，a1x，a1y的非線性代數方程組。它們不容易化成簡單的線性方程組。因此，常用迭代方法求數值解。如可用牛頓-羅夫森方法。因為只有三個方程，所以可給定四個未知量中的任一個而求其余三個。也可以給定其中任一個以一系列的值，而求出一系列的其他三個值。

例5-3在例5-1中再加上連桿的第四個位置：試決定四桿機構簡圖尺寸。

點(a1x，a1y)是在以點(a0x，a0y)為圓心的圓周上運動的點，稱為圓點，而點(a0x，a0y)稱為圓心點。因此，我們將求出來的一系列的值畫成曲線，那就是圓心曲線與圓點曲線。這一系列工作可由計算機編程計算完成。第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

5-4函數生成機構綜合

函數生成機構是指這樣一類機構，它可以近似實現所要求的輸出構件相對輸入構件的某種函數關系。輸入和輸出構件可以是曲柄，也可以是滑塊。

例1:管道的蝶閥開啟機構

在管道輸送壓力一定的情況下，蝶閥開啟的的大小，與流體的流量應符合一定的函數關系。

要控制流體的流量，可以控制閥門的開度。第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例2，液面指示器

函數發生機構常用于操作，控制和儀表系統的機構設計。1，機構的輸入參數，輸出參數與給定函數的關系

當函數發生機構的輸入桿與輸出桿均為轉動時，函數的自變量相應于機構的輸入桿轉角θ，而因變量相應于機構的輸出桿轉角φ；且都成正比。第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日

由于四桿機構的特性，按照函數關系y=f（x）設計出來的函數發生機構，不能完全與函數一致，只能在函數定義區間內的有限幾個點上完全一致，這樣的點，就稱為“精確點”。精確點的概念：自變量x變化范圍：x0≤x≤xm，函數值y為：y0~ym相應輸入桿的轉角范圍：θ0≤x≤θm；輸出桿為：φ0~φmΔx=xm－x0，Δθ=

θm－θ0；Δy=f（xm）－f（x0）；Δφ=φm－φ0由于x與θ成正比，y與φ成正比，所以：比例因子Δθi=kθ（xi-x0）；Δφi=kφ（yi-y0）

第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日3，切貝雪夫精確點位置配置法:

由于四桿機構不可能完全與給定函數一致，這種誤差稱為四桿機構的“結構誤差”。我們只能希望盡可能減小這種結構誤差。結構誤差的大小與“精確點”的取值x1，x2，xm是有關系的。如何在函數的工作區間x0~xm內合理配置精確點，就是一個要解決的問題。yxR（x）x0x1x2x3xmxR（x）x0x1x2x3xm給定函數f（x）發生的函數

要使誤差最小，應合理安排插值點的位置，使誤差的最大值，最小值和端點處的誤差的絕對值相等。

切貝雪夫精確點位置配置法就是滿足上述要求的方法。第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日n：插值點數目；Δx=xm-x0若取3個精確點，則上述取法得到的精確點，稱切貝雪夫(chebyshev)精確點。若取4個精確點，則n＝4，有第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日4，平面相對位移矩陣

對平面函數發生機構，已知條件是輸入桿與輸出桿轉角應滿足的函數關系，要求能綜合出相應的四桿機構。為了簡化問題，便于求解，設定鉸點的坐標為a0（0,0），b0（1,0），這樣，需要求解a1（a1x，a1y），b1（b1x，b1y）。4.1平面四桿函數機構(1)a0a1桿按給定角度轉θ1j到a0a1j相應的,b0b1到b0b1j;

這個表達式未包含φ1j第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2)將a0a1jb1jb0剛化,逆時針轉-φ1j,使b0b1j回到b0b1的位置，這個過程可以看成是繞b0點的轉動。在上式中，b0x=1，b0y=011第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日把上式展開，得簡記為：由=

到此，已將輸入桿的轉角與輸出桿的轉角聯系起來，并用一個方程組來表示。滿足該方程組的四桿機構，將符合給定的輸入桿轉角與輸出桿轉角之間的函數關系。這個矩陣稱為”相對位移矩陣”相對位移矩陣第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日4.2平面曲柄滑塊函數機構

曲柄滑塊函數機構是指曲柄的轉角與滑塊的位移滿足給定函數關系的機構。（1）a0a1轉θ1j到a0aj，滑塊從b1到bj

將a0ajbj剛化，沿滑塊移動的逆方向從bj到b1，使剛體作平面運動。第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日按照剛體作平面運動的平面位移方程：在上式中，由于剛體是平動，所以θ1j=0

選坐標原點a0為參照點：即公式中的P點P1x=a0x=0，P1y=a0y=0Pjx=-sijcosa；Pjy=-sijsina代入平面位移方程：得再將前面的定軸轉動方程代入：第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

對鉸鏈四桿機構作為函數發生機構時，需確定各桿的長度、主動桿和從動桿初始角。

在四桿機構的四桿長度中，在機架長度為單位長度的情況下，選定連架桿的初始角度后，只有3個獨立的參數。所以，加上兩個連架桿的初始角，共有5個未知數。按照方程數與未知數相等的原理，平面四桿機構函數機構最多有5組精確點，在精確點少于5個時，可以選定其余的參數。a0a1b1b0abCd第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日5，三個精確點的綜合（1）已知條件：

已知函數關系式y=f（x），精確點按切貝雪夫精確點公式進行計算，可以求出兩組對應的轉角θ12，θ13，φ12，φ13。選取兩個連架桿的初始轉角θ0，φ0（2）建立方程的條件

對平面四桿機構，按前面的推導過程，可以看成是以b0b1為機架，a0b0轉動-φ1j而成。這個過程，稱為倒置機架。

這樣，就轉化成為剛體的導引問題，由于在前面的假設中，機架a0b0的長度是設為單位長度，是已知的，所以，建立方程的條件就是ab桿定長。第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日給定三個點,可以建立兩個定長方程

通過用a1代替a2’，a3’，定長方程中，還有a1，b1共4個未知數。方程化簡后，為：

在P66的公式（5-16）中，將a0x，a0y，換成b1x，b1y即可。bbbbbAjBjCjj=2，3b1x-b1x]b1y]b1y-b1x+d23jb1y第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日所以，方程可以表示為：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）（3）解方程，由于有兩個方程，4個未知數，故選定b1x，b1y因為是選定b1，在b1不同時，解也不同，所以，方程有無數組解。例5-4設計一鉸鏈四桿機構，使能近似實現給定的函數主、從動連架桿的最大擺角分別為60°和90°。第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日2）算比例系數3）用切貝雪夫公式計算精確點：因為n=3，所以：=1.067=1.5=1.933按函數關系式,計算函數值:第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日4),計算對應的轉角:選定θ0

，φ0,θ0=86°,φ0=23.5°θ12=θ2-θ1=116-90.02=25.98°5)計算相對位移矩陣的值:第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日6)選定b1x=1.348,b1y=0.217。計算方程的系數A,B,C,建立方程組解方程得:問題;選b1x,b1y是隨意選嗎?b1x,b1y選定一個,求出另一個。-0.018第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日a0b0a1b1(0.0,0.0)(1.0,0.0)

在題中,選b1x=1.348,在計算時，考慮b點的坐標后，應為：b1y=(1.348-1)tg31.93°=0.2177)計算各桿的長度因已假定固定鉸鏈的坐標(1,0)8),作圖驗證應設定合適的機構放大比例尺,本題選定的放大倍數為