第二課時等差數列的前項和的應用一、課前準備1.課時目標：搞清等差數列求和公式的推導及應用，利用等差數列前項和的性質解決數列問題，掌握等差數列和的性質，培養學生利用數形結合的思想解決問題的方法，能夠利用等差數列的和解決實際問題.2.基礎預探：(1)等差數列前項和的公式的有兩種形式①與②.(2)常用的等差數列前和的性質①；②；③.（3）若數列均為等比數列，且前項的和分別為和，那么（4）利用等差數列求和公式解決應用問題一般確定首項，公差與二、基礎知識習題化（1）如果等差數列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（2）數列的前n項和，則的值為（）（A）15(B)16(C)49（D）64（3）設等差數列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9（4）設等差數列的前n項和為則= （） A．63 B．45 C．36 D．27（5）設為等差數列的前項和，若，則。三、學習引領

等差數列的前項和的公式的是關于二次函數，注意沒有常數項，若有常數項不為等差數列，利用等差數列求和計算問題，首先要考慮等差數列的性質，能利用性質解決問題就利用性質來解決，遇到等差數列求和的最值問題要注意利用數形結合思想來解決，在解實際問題時，把實際問題轉化為數學問題是解決問題的關鍵，注意確定首項，公差與項數；注意把所有量都用基本量來表示，變量歸一從而發現其中的規律，這就是基本思想與方法，樹立目標意識，需要什么就求什么，充分合理的運用條件，時刻注意題目的目標往往也能取得與巧用性質相同的效果，從而提高思維的靈活性和對知識掌握的深刻性.四、典型例題題型一有證明等差數列數列的前項和為且，求常數的值；證明：數列是等差數列思路導析：（1）分別令，可得；（2）由與的關系，分情況進行討論，并用等差數列的的定義證明.解：（1）當時，若,與已知矛盾，所以則，當時，，.（2）由（1）知，當時，則以上相乘便得到，故是以首相，公差為的等差數列.規律總結：遇到與的關系，一般是把轉化為，一般變式訓練1.數列，，是前項和，求證：是等差數列；設，求數列的前項和的最小值.題型二應用問題例22023年“七上八下”的防汛關鍵時刻，某抗洪指揮部接到預報，24銷售后有一洪峰到達，為確保安全指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道放線.經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道放線？思路導析：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構成一個等差數列.工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內可完成第二道放線工程.思路導析：解：從第一輛車投入工作算起各車工作時間（單位：小時）依次設為，由題意可知，此數列為等差數列，且，公差.25輛翻斗車完成的工作量為：，而需要完成的工作量為.在24小時內能構筑成第二道放線.規律總結：利用等差數列求和公式解決實際問題，關鍵是合理的轉化把應用問題轉化為數學問題，再求解，一般按審題、建模、求最值注意實際意義.變式訓練2.若只有25輛車可以抽調，則最長每隔多少分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時內完成任務？題型三利用等差數列和的性質解題例3設等差數列的前項的和分別為，若，則的值為（）C.D.思路導析:利用等差數列和的性質解題，可以設出再求解.解：令，可得當故，所以.規律總結：充分利用的等差數列的性質解題，可以簡化解題步驟，對于等差數列的前項和注意是的形式，遇到兩個時可以設出兩個等差數列的和再求通項來解.變式訓練3.已知等差數列是公差不為零的等差數列，且，求五、隨堂練習1.設為數列的前項和，，則取最小值時，的值為（）.2.已知數列的前項和為，數列的前項和為，則（）.3.數列的前n項和，則當時，有A、B、C、D、4.設等差數列前項和，，則的值.5.等差，，則使前n項和成立的最大自然數n是___________。6.一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32：27，求該數列的過公差.六、課后作業1在等差數列中，設，，，則關系為（）A等差數列B等比數列C等差數列或等比數列D都不對2..已知數列{an}的通項公式為(n∈N*),若前n項和為9,則項數n為()3.已知等差數列的公差，且，則當取得最大值時，等于4.設等差數列，，前項和分別為，若對任意自然數都有，則.5.在數列中，，求.6.某公司決定給員工增加工資，提出兩個方案，讓每位員工自由選擇其中一種.甲方案是公司在每年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元.你會怎樣選擇增資方案？請說明你的理由；若保持方案甲不變，而乙方案中每半年末的增資額改為元，問為何值時，方案乙總比方案甲增資多？（說明：①方案的選擇應以讓自己獲得更多增資總額為準；②假定員工工作年限均為整數）參考答案二、基礎預探：（1）【】（2）【每項的和成等差數列；當項數為偶數時，滿足；當項數為奇數時，；】（3）【】（4）【項數】二、基礎知識習題化1.【答案】C【解析】2.【答案】A【解析】.3.【答案】A【解析】設該數列的公差為，則，解得，所以，所以當時，取最小值。4.【答案】B【解析】依題意，S3，S6-S3，S9-S6也構成等差數列，所以=S9-S6=9+2×18=45，選擇B；5.【答案】15【解析】,解得，變式訓練1解：（1）當時，當時，即，整理得即所以是以2為首項公差為4等差數列（2）設數列的前項和為，由（1）知，所以數列是單調遞增的數列，令因為得所以當時，取得最小值，最小值為2.解：從第一輛車投入工作算起各車工作時間（單位：小時）依次設為，由題意可知，此數列為等差數列，且.由例題的解答可知，需要完成的工作量為480.即25輛翻斗車完成的工作量需滿足條件，解得，所以最長每隔24分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時內完成任務.3.解：五、隨堂練習1【C】解析：，即，即，故選C.2.【答案】C【解析】.當時，時成立，即.，，故選C.3.【D】解：由得，所以單調遞減最大，所以選D4.解析：，即，即.5.解：，所以，所以.6.解：由已知條件，得解得又.在列出方程組后，也可用不求出的值，而是用比例性質求解.由，得.又，解得.六、課后作業1.選A。利用等差數列的性質可知，選A.2..答案:A解析:∵=,∴前n項和==9,解得n=99.3.【.5或6】解析：C由，即，.當或6時，取得最大值.4.答案：解析：由等差數列的性質可得：，又..5.解：，，即，數列是