山西省臨汾市陽關中學2022-2023學年高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當a<0時，不等式42x2+ax-a2<0的解集為(

)(A){x|-<x<}

(B){x|<x<-}

(C){x|<x<-}

(D){x|-<x<}參考答案：B2.在△ABC中，，，且△ABC的面積為，則BC的長為（

）．A． B． C． D．2參考答案：A∵在中，，，且的面積為，∴，即，解得：，由余弦定理得：，則．3.拋物線的準線方程為，則的值為（）A. B. C.8 D.-8參考答案：B略4.在正方體中，E是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.已知圓O：x2+y2=16和點M（1，2），過點M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（）A．4 B． C．23 D．25參考答案：B【考點】直線與圓的位置關系．【分析】連接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分別為E、F，推導出四邊形OEPF為矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC2+BD2=92，由任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的，求出當AC=BD時，四邊形ABCD的面積取最大值．【解答】解：如圖，連接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分別為E、F∵AC⊥BD∴四邊形OEPF為矩形已知OA=OC=4，OM=3，設OE為x，則OF=EP==，∴AC=2AE=2=2，BD=2DF=2=2，∴AC2+BD2=92，由此可知AC與BD兩線段的平方和為定值，又∵任意對角線互相垂直四邊形的面積等于對角線乘積的，當AC=BD=時四邊形ABCD的面積最大值=23．故選：B．6.的值等于

(B)

(C)

(D)參考答案：C7.命題“?x∈R，x2+1＞0”的否定是(

)A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x0∈R，x02+1≤0參考答案：D【考點】命題的否定．【專題】計算題；簡易邏輯．【分析】本題中的命題是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，由規則寫出否定命題即可．【解答】解：∵命題“?x∈R，x2+1＞0”∴命題“?x∈R，x2+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+1≤0”故選：D．【點評】本題考查命題的否定，解題的關鍵是掌握并理解全稱命題否定的書寫方法，其規則是全稱命題的否定是特稱命題，書寫時注意量詞的變化．8.已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上.若點滿足且，則的最小值為(

)A.3 B. C. D.1參考答案：C9.2log510+log50.25等于()A.0

B.1

C.2

D.4參考答案：C10.如圖，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為

(

)A.4

B.8

C.9

D.12參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.參考答案：略12.對于集合,定義，，設，則

參考答案：13.若方程+=1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是．參考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）【考點】雙曲線的標準方程．【分析】由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出實數k的取值范圍．【解答】解：∵程+=1表示雙曲線，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴實數k的取值范圍是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案為：（﹣2，2）∪（3，+∞）．14.若，則下列不等式：①；②；③；④中，正確的不等式有

（填序號）參考答案：

①④15.若復數為純虛數，則實數a的值等于

．參考答案：0根據題意，結合復數的概念可知，復數為純虛數則有，，這樣解得a=0,故答案為0.

16.在正三棱錐S﹣ABC中，側棱SC⊥側面SAB，側棱SC=，則此正三棱錐的外接球的表面積為．參考答案：36π【考點】球內接多面體．【分析】由題意推出SC⊥平面SAB，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．【解答】解：∵三棱錐S﹣ABC正棱錐且側棱SC⊥側面SAB，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，∴2R=2，∴R=3，∴S=4πR2=4π?（3）2=36π，故答案為：36π．17.設集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，則實數a=

．參考答案：1【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】根據交集的概念，知道元素3在集合B中，進而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3即a=1故答案為1【點評】本題屬于以集合的交集為載體，考查集合的運算推理，求集合中元素的基礎題，也是高考常會考的題型．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數，其中為實數．

（1）若時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，若關于的不等式恒成立，試求的取值范圍．參考答案：（1）．當時，，從而得，故曲線在點處的切線方程為，即．（2）．由，得，令則令則，即在上單調遞增．所以，因此，故在單調遞增．則，因此的取值范圍是．19.已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函數f（x）在（1，+∞）上為單調函數，求實數m的取值范圍；（2）若當m=0時，對任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，根據函數的單調性得到關于m的不等式，解出即可；（2）問題轉化為對一切x∈（0，+∞）恒成立，設，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），因為f（x）在（1，+∞）上為單調函數，則方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上無實根，故1+m≥0，則m≤﹣1．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，則對一切x∈（0，+∞）恒成立．設，則，當x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，當x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）在（0，+∞）上，有唯一極小值h（1），即為最小值，所以h（x）min=h（1）=4，因為對任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，故a≤4．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．20.從原點O引圓的切線，切點為P，當m變化時，（1）求切點P的軌跡方程。（2）記P的軌跡為曲線C，判斷直線與曲線C的位置關系，若相交，求出相交弦的長度。參考答案：解：（1）設切點P的坐標為（x，y），因為切線過原點，則

（）

，

的圓心M的坐標為（m，3），

則

由于圓M與直線相切，所以①

可化為②由①②可得P的軌跡方程為

（2）由（1）知，曲線C的圓心為C（0，0），半徑，圓心到直線的距離d=2<r,

故曲線C與直線相交，設曲線C與直線交于AB兩點，AB的中點為D，則，在，，故

略21.已知函數f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設兩個極值點分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】（Ⅰ）由導數與極值的關系知可轉化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，或轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點；或轉化為g（x）=lnx﹣ax有兩個不同零點，從而討論求解；（Ⅱ）問題等價于ln＞，令，則t＞1，，設，根據函數的單調性證出結論即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；（解法一）轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，如右圖．可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．又g′（x）=，即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減．故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，只須0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉化為函數g（x）有兩個不同零點，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調增，此時g（x）不可能有兩個不同零點．若a＞0，在0＜x＜時，g′（x）＞0，在x＞時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上單調增，在（，+∞）上單調減，從而g（x）極大=g（）=ln﹣1，又因為在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．綜上所述，0＜a＜．（Ⅱ