山西省臨汾市老官莊中學2023年高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的離心率為，動是其內接三角形，且。若AB的中點為D，D的軌跡E的離心率為，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：設，，則由，得．因為C是橢圓上一點，所以

得(定值)

設所以2.已知a，b為非零實數，若a＞b且ab＞0，則下列不等式成立的是(

)A．a2＞b2 B．＞ C．ab2＞a2b D．＜參考答案：D【考點】不等式的基本性質．【專題】不等式的解法及應用．【分析】A．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；B．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；C．取a=2，b=1，即可判斷出；D．由于a，b為非零實數，a＞b，可得，化簡即可得出．【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b為非零實數，a＞b，∴，化為，故選：D．【點評】本題考查了不等式的基本性質，屬于基礎題．3.如圖，在正四棱柱中，E、F分別是的中點，則以下結論中不成立的是（

） A、EF與BB1垂直 B、EF與BD垂直 C、EF與CD異面 D、EF與異面參考答案：D略4.在中，若，則是（

）A．等腰三角形

B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形

D．等邊三角形參考答案：B5.已知x，y滿足，則z=的取值范圍為(

)A．（﹣1，] B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【專題】數形結合；定義法；不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用直線斜率的幾何意義，進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：z=的幾何意義是區域內的點到定點D（0，﹣5）的斜率，由圖象z≥kAD，或k＜kBC=﹣1，由得，即A（3，8），此時kAD==，故z≥，或k＜﹣1，故選：B【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用直線的斜率公式結合數形結合是解決本題的關鍵．6.若函數的圖象總在直線的上方,則實數a的取值范圍是A．(－∞,1)

B．(0,+∞)

C．(1,+∞)

D．(－∞,0)參考答案：A

構造函數當函數g(x)在故答案為：A。

7.拋物線y=ax2的準線方程是y=1，則a的值為(

)．(A)

4

(B)4(C)

(D)

參考答案：C8.過橢圓右焦點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦MN的長為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.集合與都是集合的子集,則圖中陰影部分所表示的集合為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.i是虛數單位，復數=（）A．2﹣i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．1+2i參考答案：D【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】通過分子分母同時乘以（1+i），計算即得結論．【解答】解：=?=1+2i，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設是定義在R上的函數，其導函數為，若，則不等式（其中e為自然對數的底數）的解集為__________．參考答案：.【分析】由，構造新函數，求導，利用已知的不等式，可以判斷出函數的單調性，從而利用單調性求出不等式的解集.【詳解】，構造新函數，且，不等式變為，，由已知，所以是上的減函數，因為，所以，因此不等式（其中為自然對數的底數）的解集為.【點睛】本題考查了通過構造函數求解不等式的解集問題.解決本題的關鍵是根據所求不等式的特征進行恰當的變形，構造新函數，利用已知的不等式，可以判斷出新函數的單調性，從而解決本問題.12.已知函數f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e為自然對數的底，則滿足f（ex）＜0的x的取值范圍為．參考答案：（0，1）【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求函數的導數，判斷函數的單調性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到結論．【解答】解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，∴函數的定義域為（0，+∞），函數的導數為f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此時函數單調遞增，由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此時函數單調遞減，在x=e﹣1時，函數取得極小值，∵f（1）=0，f（e）=0，∴不等式f（x）＜0的解為1＜x＜e，則f（ex）＜0等價為1＜ex＜e，即0＜x＜1，故答案為：（0，1）13.某班有男生25名，女生20名，采用分層抽樣的方法從這45名學生中抽取一個容量為18的樣本，則應抽取的女生人數為

名.參考答案：814.如圖，在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF2與橢圓的另一個交點為D，若，則直線CD的斜率為_____．參考答案：，可得，可設設D（m，n），即有，即為，即有kBD?kCD==﹣，由即有．故答案為．【點睛】本題考查橢圓的方程的運用，同時考查直線的斜率公式的運用，對學生運算能力要求較高.

15.如圖所示流程圖的輸出結果為S=132，則判斷框中應填

.

參考答案：略16.已知一個圓錐的母線長是5cm,高為4cm,則該圓錐的側面積是________參考答案：17.已知函數f(x)=ax+a-x(a＞0且a≠1),f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(2)的值為___________.參考答案：12f(0)=a0+a0=2,f(1)=a+a-1=3,f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7.∴f(0)+f(1)+f(2)=12.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.．隨著機動車數量的迅速增加，停車難已是很多小區共同面臨的問題．某小區甲、乙兩車共用一停車位，并且都要在該泊位停靠8小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達，試求兩車中有一車在停泊位時，另一車必須等待的概率．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】數形結合；數學模型法；概率與統計．【分析】先確定概率類型是幾何概型中的面積類型，再設甲到x點，乙到y點，建立甲先到，乙先到滿足的條件，再畫出并求解0＜x＜24，0＜y＜24可行域面積，再求出滿足條件的可行域面積，由此求出概率．【解答】解：設甲、乙兩車達泊位的時刻分別為x，y．則作出如圖所示的區域：區域D的面積S1=242，區域d的面積S2=242﹣162．∴P===．即兩車中有一車在停泊位時另一車必須等待的概率為．【點評】本題主要考查了建模與解模能力，解答時應利用線性規劃作出事件對應的平面區域，再利用幾何概型概率公式求出對應事件的概率．19.某工藝廠有銅絲5萬米，鐵絲9萬米，準備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售，已知一只花籃需要用銅絲200米，鐵絲300米；編制一只花盆需要銅絲100米，鐵絲300米，設該廠用所有材料編制個花籃個，花盆個.（1）列出滿足的關系式，并畫出相應的平面區域；（2）若出售一個花籃可獲利300元，出售一個花盆可獲利200元，那么怎樣安排花籃與花盆的編制個數，可使得所得利潤最大，最大利潤是多少？參考答案：(1)由已知x、y滿足的關系式為等價于….3分該二元一次不等式組所表示的平面區域如圖中的陰影部分.…6分(2)設該廠所得利潤為z元,則目標函數為z=300x+200y將z=300x+200y變形為,這是斜率為,在y軸上截距為、隨z變化的一族平行直線.又因為x、y滿足約束條件,所以由圖可知,當直線經過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.….8分解方程組得點M的坐標為(200,100)且恰為整點,即x=200,y=100.….9分所以,.….11分答：該廠編制200個花籃,100花盆所獲得利潤最大,最大利潤為8萬元.………….12分20.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）連接AC1交A1C于點F，由三角形中位線定理得BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系C﹣xyz．分別求出平面A1CD的法向量和平面A1CE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點．又D是AB的中點，連接DF，則BC1∥DF．因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）解：由AC=CB=AB，得AC⊥BC．以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C﹣xyz．設CA=2，則D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），=（1，1，0），=（0，2，1），=（2，0，2）．設=（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，則，取x1=1，得=（1，﹣1，﹣1）．同理，設=（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量，則，取x2=2，得=（2，1，﹣2）．從而cos＜，＞==，故sin＜，＞=．即二面角D﹣A1C﹣E的正弦值為．【點評】本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關系，考查線面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．21.如圖，在矩形中，，，為的中點，現將△沿直線翻折成△，使平面⊥平面，為線段的中點.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.參考答案：（I）證明：取的中點，連接,則∥,且=,又∥,且=，從而有EB，所以四邊形為平行四邊形，故有∥，

………………4分又平面，平面，所