.所以=x，得.所以=x，得所以點的坐標為2020考數學優專題：二函數與圓綜（含答案）例1在面直角坐標系中，拋物線y

與x軸于A兩（點A在點的側軸于點，點的坐標為(0)，將經過、兩的直線ykx+b沿y軸下平移3個位后恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線

．（）直線AC及物線的函數達式；（果P線段AC上一點三角形ABP形BPC的積分別為，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)且S:3，點的坐標；eq\o\ac(△,)（設的半徑為，圓心在拋物線上運動，則在運動的過程中是否存在與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心的標；若不存在，請說明理并探究：若設半徑為r，圓心Q在物線上運動，則當取值時，Q與坐標軸同時切？y1x【答案】（）為ykx+b沿y軸下平移3個位后恰好經過原點，所以bC(0,3)，代入y，得解得k

．

所以直線為yx+3因為拋物線的對稱軸是直線x所以，得.cba所以拋物線的函數表達式為：x

（）圖，過點B作BDAC于D因為::，以APPC:3eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)過點作軸于點，PE//CO，所以APEeq\o\ac(△,).所以

PE2COAC5

.所以

26695555

.（）在，設點Q的坐標為,y①當與y軸切時，有x，x

(0,0)(4,0)(0,0)(4,0)當x，，以Q(.當時得，以Q，②當Qx軸切時，有y，y當，得x，即，得x，所以當時得x，，解得x，以Q((2,1)綜上所述，存在符合條件的，圓心的標分別為(1,0)Q，Q，Q(，Q(2,1)探究：設點的標為x.當Q與坐標同時軸相切時，有y.①當y時得x，x，此時eq\o\ac(△,)0，所以次方程無解②當y時得xx，xx.解得

132

.∴當Q半徑為rx

13時與坐標同時軸相.例2

在平面直角坐標系中，拋物線經過、、

三點.（）此拋物線的解析式；（以OA的點M為圓心OM的長為半徑作M，（中拋物線上是否存在這的點P，過點作M的切線，與軸的夾角為存，請求出此時點P的標；若不存在，請說明理.（意：本題中的結果保留根號）1x【答案】（）拋物線的解析式為ax

bx，

29CD3b3229CD3b32232223由題意，得

2a9c816a，得.9所以拋物線的解析式為

23x.92（）在，拋物線x(999所以拋物線的頂點為

8

，作拋物線和M（圖）設滿足條件的切線與x軸于點B與M相于點C連接MC，過點C作軸點D.因為MCOM，CBMCMBC，所以CM.所以，以.在eq\o\ac(△,Rt)CDM中，DCMCM.所以DM，3所.設切線的解析式為y=kx+b，可得

3，解得.3所以切線BC的析式為y=

33.33由題意

y=

393x+

，解得，.3y28.所以點的坐標為PP因為拋物線和M都于直線對，則存在切線關對稱的直線l'也滿足條件同樣得到滿足的點關于和P對稱，則得到2

3,P

.83綜上所述，這樣的點有，PP,

.1例3如物線yx2與軸于點與y軸交于點C點為點，4

2222對稱軸l與線BC交點，與x軸交于點．（1）求直線解析式．（）點P為拋物線上的一個點，以點為圓心、為徑作．①當點運動到點時⊙P與線BC相，值范圍；4②若r，否存在點使⊙與直線5存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理

DOF

求r的相切？若由．l【答案】（）物線x中，1令y，0x4

，得，x；令，得；(0)，0)，3)；設直線BC的析為，有：

6kb

，解得

，1∴直線BC的析為：y2（）4)

，E2)

；∴EFDE，BF；①過D作DGG，△∽△BEF；∴DE::EF，GERt△DGE中，設GE，DGx，由勾股定理，得：22DE2即：

255，得；；54故D、重合時，若⊙P與直線相，則r，r；5②存在符合條件的P點且點坐標為：P，P3)；過點作于M；17,

，

，∵DEEF，△≌FME；FMDGr

45

；分別過D、作直線m、平于直線，則直線m與線、直線n與線之的距離都等于x；所以P點為直線m、與物線的交點；設直線m的解析式為：，1由于直線m與線m與線BC平，則；21∴，h，即直線的析式為y；21同理可求得直線的解析式為：x；2聯立直線m與物線的解析式，

2222，，圖1得：，得，；1∴P，P3)；同理，聯立直線n與物線的解析式可求得：

A

CO

G

DEF

M

B

17,

；

l故存在符合條件的點，且坐標為：P，P3)

，P

P17,

．例4已如圖4-1拋線

y2bx

經過點

A,0)Bx0)

其點為D．為徑的M交y軸點E、，點E作M的切線交x軸于點NONE

x|

．（）拋物線的解析式及頂點坐標；（）圖4-2，為EBF上的動點Q不與E、重結AQ交軸點H，：否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．E

E

QN

O

N

HA

M

Bx

AO

M

BF

C

D

F

C

D圖4-1

圖4-圖【答案】（1）圓的半徑AB8r．22連接ME，∵是線，∴⊥NE．在△中，ONEMA．

y∴，∴OM

N

M

x∴，OB．∴點、的標分別為(0)、0)

F

C

D∵拋物線過A兩點以可設拋物線解

析式為：

3128231282y2)(x6)，又∵拋物線過點，∴2)(0，得

．12∴拋物線解析為：(x2)(xx，632∴當x時．1636即拋物線頂點的標2,．3（）接AF、，在AQF和AFH中由垂徑定理易知：AE∴，，∴AFH，∴

AH

，∴AH

在

中，AF

(23)

（或利用AFAO）∴AH即AH為值．

或y或y例5如，已知點的標是(，B的坐標是,，AB為徑作O，交y的負半軸于點，連接AC，，，，三作拋物線．（）拋物線的解析式；（）E是AC延長線上一點，的分線交O'點D，接，直線的解析式；（））的條件下，拋物線是否存在點，得PDB？如果存在，請求出點的標；如果不在，請說明理由．【答案】（）接'C因為A(，B(9,0)，1所以'BOCAB，OA，'A，2由勾股定理，得OC所以C設拋物線的解析式為y2

，則

a，得b

8，18所以拋物線的解析式為x；3（）接D，由圓周角定理，ACB又CD分BCE，所以DBCD所以可以得到，B(9,0)，以直線BD的析式為：y（）在，①當DP//CB時能使CBD，又可得k

，1所以，點D(4,，以直線DP的析式為y，33由題意

19x833

，解得

41941xx241416

（舍去）

61486148MMMMM414129所以此時點P,

.②過點作BD的行線，交O'

于點，此時有，GDBGCB.又可得，，以直線CG的析式為：y設點G(m，GHx軸交x軸于點H，連接

，則在O'中，由勾股定理可得，m，以此時，所以直線DG的析式為：yx，y由題意，得x所以此時點(14,25).

x或y

（舍去4129綜上所述，,

，(14,25)．例6如所示物線與x交于點A0)

、B點軸交于點C以為徑作，過拋物線上一點P作的線，點為，并與的切線相于點E，結并延長于點N，結、．（1）求拋物線所對應的函數關式及拋物線的頂點坐標；（）四邊形的積為3，直線PD的數關系式；（拋物線上是否存在點P使得四邊形EAMD的積于DAN的面積？若存在求出點的標；若不存，說明理由．y

yP

E

D

DAM

B

OMFBxN【答案】（）為拋物線與軸于點A(1,0)，0)兩點，設拋物線的函數關系式為：x3)，∵拋物線與y軸交于點C(0,3)，∴(0，∴所以，拋物線的函數關系式為：x2x又yx

，因此，拋物線的頂點坐標為(1,4).（）結EM，EAED是的兩條切線，

MM∴EAEAED，∴△≌EDM，又四邊形EAMD的積為3，∴S

3，∴

12

3，又AM，∴AE3，因此，點的坐標為(23)或E(當點第二象限時切點D在一象限．

.在直角三角形EAM中，tan

2EMA，AM2∴

∴過切點D作DFAB垂足為點F，∴MF，DF.因此，切點的標為(2,3)，設直線PD的數關系式為

ykx

，將(23)、D3)的坐標代入得

32

33解之，得所以，直線PD的數關系式為y

3x3當點第三象限時切點D在四象限．同理可求：切點D的標為，線PD的數關系式為y

33x3因此，直線PD的數關系式為y

3353x或x.333（）四邊形的積等于DAN的積又

S2，S∴∴D兩到x軸距離相等，∵與相切，∴點D與點在同側，∴切線PD與x平行，此時切線PD的數系式為

或

當

時，由yx

x得x6；當

時，由yx

x得x.故滿足條件的點P的置有4個分別是P

、6,、P2)、2,2)

.

133133例7.

如圖，在直角坐標系中，以點A(為心，以23為徑的圓與軸交于B、C兩，與y軸于D、兩.（）出B、、D三的標；（2）若、C、D三在拋物線y

這個拋物線的解

析式；（圓的切線交x軸半軸于點負半軸于點N，切點P且線MN是否經物線的頂點？說明理.【答案】（）B(，，

，交y軸過所求拋（）題意得，

1a27a3b，解得，所以拋物線的解析式為yx233（）接AP，則AP，

，在eq\o\ac(△,)中，AMP

，則AM3，以(5所以直線MN解式為3

，13又（）拋物線x(x，333所以拋物線的頂點為4)得頂點在直線MN上

，將頂點代入直線MN驗，例8.

已知拋物線yax與y軸交點為，點為M，直線的析式為y，且線段CM的為22；（）拋物線的解析式；（設物線與x軸兩個交點,0)、x,0)且在B的側求線段的；（）以為徑作N，請判斷直線CM與

的置關系，并說明理由．【答案】（為直線CM的析式為y以2)線CM的為22以

或M(，以拋物線的解析式可得

x或y2

x.（為拋物線和軸有兩個交點A(,0)(x,0)以時拋物線為y

x，令y，x和是程x

x=的根，且x，則由韋達定理得，，，所以xx32，以x（相由意拋物線的對稱軸應為x

所(作CM于點P設直線CM與x軸相交于點D，則

，且D(2,0)，

，所以得NP，AB為N直徑，且AB，點直線CM的離等于N的徑，所以直線與N相切

yaxB(6,0)yaxB(6,0)例9如，在平面直角坐標系中，已知拋物線C(0,23)．兩點，交軸點

交x軸，（）此拋物線的解析式；（若拋物線的對稱軸與直交點作F兩點，求劣弧所對圓心角的度數；（