y學習是一件很有意思的事y普陀區2020學第學期高數質量調2021.4考注:本場考試時間120分.試卷4頁，滿分150分共頁作答前，在答題準名，將核對貼在.所有必上號位.在試卷上作分用2B鉛筆作鋼答題.一填題本題有題，滿分第1題每4分第～12題每分考應答紙相位直填結.1.設全集

U{0,1,2}

，若集合

A2}

，則

CAU

.若復數z

2i

（

i

表示虛數單位

.函數y

1x

的零點為.曲線

x

的頂點到其準線的距離為.若cos(

3

)

1

，則

cos

.6.設棱長2的方體的八個頂點在同一球面上，則此球的表面積為.設xx28

，則

aa18

.設無窮等比數{}

的前

n

項和為

，若

，且

lim

，則公比

.y設、均非實數且滿足，則xy

的最小值為.某學校從

名男生3

名女生中選出2名任招生宣講員在

名宣講員中男生各

人的概率為（果用最簡分數表示.設

Mx)

是直線

上的動點，若

1

，則

11xyyx

的最大值為.普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

1學習是一件很有意思的事1如圖，在△中C

2

，

AC

3

，

.若

O

為△

內部的點且滿足

OAOCOA|||

，|:|OBOC

.（第題）二選題本題有4題滿分，題分每題且有個確項.考生在題的應置將表確項小格黑設

a

、

均為非零實數且

a

，則下列結論中正確的是（）(A)a

(B)

(C)

(D)a

設

7m

，則雙曲線

22的焦點坐標是（）16m7(A)(0)(B)

(C)5)(D)

兩不重合的平面，l,是兩條不重合的直線，則//的個充分非必要條件是（）(A)l，l//m(B)l，m

，且

l//(C)l，m且

l//m

(D)l

，m，且

l//m已知函數x

3x1

，設（i1,2,3i

）為實數，且

x12

.給出下列結論：①若1②若1

00

，則，則

f(xf(x)f(x)123f(xf(x)f(x)123

3232

；.其中正確的是（）(A)(C)

①與②均正確①不正確，②正確

(B)(D)

①正確，②不正確①與②均不正確普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

PA學習是一件很有意PA三解題本題有5題，滿分解答列題須答紙相位寫必要步.17.（題分14分，小滿分6，2小題分8）如圖底面半徑為2的錐的頂點面中心依次為PO，為其底面的直徑.點

位于底面圓周上，BOC

.異直線與所角的大小為.）求此圓錐的體積；PBC）求二面角

的大小（結果用反三角函數值表示.

P18.（題分14分，小滿分6，2小題分8）

A

O

B設函數fxlog

2

（

）的反函數為

f

().

（第題））解方程：

f(xf()

；）設

y()

是定義在

R

上且以

為周期的奇函數.

0

時，g(x

f

x)

，試求2

的值19.（題分14分，小滿分7，2小題分7）如圖所示，某人為“花博會”設計一個平行四邊形園地，其頂點分別i

（

i

AA1

米，A21

，

為對角線

AA24

和

3

的交點他

A2

、

A4

為圓心分別畫圓弧一弧與A相交于另段弧與2

相于A這段弧恰與

AA均交于4設

AD1

.）若兩段圓弧組成“甬路L（度忽略不計L的長（結果精確到米）記此園地兩個扇形面積之和為S1

，其余區域的面積為

S

2

.對條件（）的

L

，當SAA

0.12時則稱其設計“用心此的設計是否用心”？并說明理.A1AA（第題）2普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研第頁(共4頁)

A4

**學習是一件很有意思的事**20.（題分16分，小滿分4，2小題分6，小題滿6分已知曲3y2

的左、右焦點分別為

F1

、

F2

，直線

l

經過

F1

且與

相交于

A

、

B兩點）求△FAF1

的周長；）若以F2

為圓心的圓截軸得的弦長為22且l與F相，l的程；2（3）設l的一向量

k，在軸上是否存在一點，使得|MAMB|

且tanMAB

55

？若存在，求出

M

的坐標；若不存在，請說明理.

yF1

O

F2

（第20題）21.（題分18分，小滿分4，2小題分6，小題滿8分記實數

a

中的較大者為

a,}

如

2}2

max{1,1}

對無窮數列

{

}

，記k

a

k

,a

}

（對任意的kN，均有

ck

，稱數列k

{

}

為“趨勢遞減數列.）根據下列所給的通項公式，分別判斷數{

}

是否為“趨勢遞減數列說理由①a

，②sin

n2

；（2）設首的差數{b}n

的前

n

項和為

、公差為

d

，且數列

{}

為“趨勢遞減數列求

d

的取值范圍；（3）數列

{

}

滿足d、均正實數，且2

d

n

n

n

，求證{}

為“趨勢遞減數列”的充要條件{}

的項中沒有

.普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

V學習是一件很有意V2020學年第學期普陀高三數學量調研評分則一填題本題有2，分54分，1題每4分，7—12題每題5分生應答紙相位直填結.1．

{1}

2.

3.

4.

5.

12

6.

7.

8.

149.10.11.27

3

62

12.

::1二選題本題有4題滿分，題分每題且有個確項.考生在題的應置將表確項小格黑題答

D

B

C

A三解題本題有5題，）解下各必在題的應位寫必的驟17.（題分14分，小滿分6，2小題分8）解（1）設圓錐的高為

.以

O

為坐標原點，以

O

、

OB

、

OP

所在的直線分別為

、

、

軸，建立空間直角坐標系，如圖所.根據題設條件，可得

C

、

h、(0,

、y

.

PA(0,)CB

…分P由異面直線CB所角的大60

，|0得cos|PACB|44解得2.……5分18圓錐的體積sh分33

，

A

C

O

D

B

y）取BC的點,

連ODPD.

由OC，OD再由PBPC，PD.所以

PDO

即為二面角

PBC

的平面角.……10分

圓錐的底面，所以

OD

，故

為直角三角.普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

22A43422A434在△中，OD

學習是一件很有意思的事1POBC，PO2，故tanPDO……13分2OD即

arctan2

，故二面角

的大小為

2

…………14分（坐標法比照給分）18.（題分14分，小滿分6，2小題分8）

f(xf()log(x2)2log22

log(x2)logx2

x2

{2}

f

x)

0

g)2

g(x

R

(x2)g(

x

g(log10)g(log10g(log2

2

58

)

0

55log)(log)88

g2

85

A1

A4（本滿分，（）問分第2問7分解）據設條件，可得在△A中AA……1分12122AA23由正弦定理241即AAsinAA2141

……

A

故

arcsin34

……4分所以

a

……5分當30時L

3

米.答甬路的長約為36米.…7分（2由1）得

，在△

AAD12

中，由余弦定理，得

AD218001

，普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

2學習是一件很有意思的事2故

cos

，所以

LAA3

2cos

……10分按思維架給分）S1

，

Ssin2

，故

S1Ssin2

……分按思維框架給分）當

34

時，

cos

sin

0.12

所以此人的設計是“用心”的.……分20.（本題滿分16分，第1問4分第）問6，第3）問6分（1據題設條件得

24

a

據圓定義知

AFAF2a41

…c

，

FF|212

…分

由

AFAF|F122

，得△

FAF1

的周長為

…………4分（2圓F的程為(2

2

2

（r）令xr

r

2

，得

r3

……6分由

l

與圓

F2

相切，得

F2

到直線

l

：

y(x

的距離

k

解得k，…8分故直線l的程為

3(x

……10分（3假設在軸存在一點

(x,0)0

，設直線l的程

(（k0(x將直線l的程和橢圓的方程聯立，得3x2

，消去并理，得

(3

2)x2k2xk

，有令

(xy)，(xy)11

，則

kxkxk2

……分|AB|(x)

(12)[(x)](121

)

232

……分普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

3k2322k學習是一件3k2322k故線段

AB

的中點

的坐標為

4k3

，則線段AB中線l的方程為

k1k2y33k

……分令，x

k3

2

，點

M

k

到直線l距離

k|

2

……15又因為

MAMB|

，所以

tan

|AB|

|k|112(2，即23k化簡得

25

12k

，解得

2

，故

M(

419

,0)

…16分21.（本題滿分18分，第1問4分第）問6，第3）問8分解1）①中

a

，

a

得

（為正整數且

3，①數列滿足“趨勢遞減數列”的定義，故為“趨勢遞4減數列”②a

2

(

，

k

l01,l

（l為整數

，故②中數列不滿足“趨勢遞減數列”的定義，故其不是“趨勢遞減數列……4分）由數{}

為“趨勢遞減數列

cS,S},}112

……5分①若，則a,即a121

，也即

，故

.此時0aa23n

，所以

14故c

2k

2k

（

N

*

足件…分②若S，則S，da，d2331

，即

，解得

11，所以d2

.同理可以驗證滿足件…分由①②可得d

12

.………………10分）先證明必要性：用反證.普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

學習是一件很有意思的事假設存在正整數

(m3)

,使得

m

，則令

則數{}

從

m

項開始以后的各項為

aa,a

c

{}

勢遞減數列”矛.…14再證明充分性：由d

n

dn

n

，得

max{

}

……15分因{}

中的項沒有

，所以對于任意正整數

n

，

.于是

k

（

為正整數）所

k

k

……16分①當

k

k

時，

c

max{d

2

,

2

}a

2

max{

2

,d}…2分②當

k

k

時，

c

max{

2

,d

2

}

2

max{d

2

,}2

所以均ck

k{}

為“趨勢遞減數列”的充要條件是數{}

的項中沒有

.……18普陀區2020學年第二學期高三數學質量調研

第頁(共4頁)

學習是一件很有意思的事堅希一天，一個瞎子和一個瘸子結伴去尋找那種仙果，他們一直走呀走，途中他們翻山越嶺。歷經千辛萬苦，頭發開始斑白。有一天，那瘸子對瞎子說：“哪！這樣下去哪有盡頭？我不干了，受不了了。“兄，我相信不遠了，會找到的，只要心中存有希望，會找到的。”瞎子卻說。可瘸子執意要留在途中的山寨中，瞎子便一個人上路了。由于瞎子看不見，不知道該走向何處，他碰到人便問，人們也好心地指引他，他身上捉襟見肘，遍體鱗傷，可他心中的希望未曾改變。終于有一天，他到達了那座山，他全力以赴向上爬，快到山頂的時候，他感覺自己渾身充滿了力量，像年輕了幾十歲，他向身旁摸索，便摸到了果子一樣的東西，放在嘴里咬一口，天哪！他復明了，什么都看見了，綠綠的樹木，花兒鮮艷，小溪清澈。果子長滿了山坡，他朝溪水俯身看去，自己競變成了一個英俊年輕的小伙子！準備離去的時候，他沒有忘記替同行而來的瘸子帶上兩個仙果，到山寨的時候，他看到瘸子拄著拐棍，變成了一個頭發花白的老頭，瘸子認不出他了