正態型指標的Bayes可靠性驗證試驗設計★【摘要】可靠性統計驗證試驗設計是基于給定的風險要求，對產品的試驗方案進行規劃，給出試驗實施中產品的抽樣方案。根據Bayes理論，在復雜假設的情況下，對性能參數服從正態分布的產品可靠性進行了統計驗證試驗設計。綜合考慮試驗風險和兩類風險的約束要求，建立了求解最小樣本量的非線性約束規劃模型；利用0-1損失函數，按照驗后損失最小的原則，推導了基于樣本均值的決策臨界值，建立了兩類風險與樣本量之間的函數關系；依據樣本量的取值與兩類風險的關系，給出了基于MATLAB的最小樣本量計算步驟；最后用示例展示了求解的具體過程。【關鍵詞】裝備；可靠性；試驗設計；貝葉斯理論；兩類風險引言礎上，通過對兩類風險（生產方風險和使用方風險）設計與權衡設計方案，用盡可能少的試驗來獲取足夠有效的信息，對裝備的可靠性做出統計推斷[1產和試驗的費用越來越高，怎樣在充分利用已有各類信息的條件下，降低裝備的現場試驗費用，是試驗管理者長期以來重點關注的問題。由于Bayes方法可以充分利用裝備的各類驗前信息、樣本信息和總體信息，完成對裝備可靠性的評估分析。因此，與經典的驗證試驗設計方法相比，可以節約樣本量和試驗時間，從而降低試驗成本[2]，所以Bayes方法在裝備試驗評價中有著廣泛的應用。正態分布作為統計學中的一個重要分布族，在裝備的可靠性分析中也有著大量的應用，并且有大量的學者在這方面進行了深入的研究。在正態分布的可靠性分析方面，Anna[3]通過對失效率服從正態分布的傳送帶進行了可靠性試驗分析，給出了系統可靠性的計算方法；美國的 Mil-Hdbk-338b[4]給出了壽命服從正態分布的產品的可靠性分析判斷技術，并且以微波管和機械器件為例，進行了實例說明。LiuChanghong[5]對可靠性分布函數的確定進行了研究，以正態分布為例進行了詳細的說明。劉琦[6]等對基于液體火箭發動機性能試驗數服從正態分布的情況，運用Bayes方法對正態分布天地試驗條件下的環境因進行了分析；在可靠性驗證試驗設計方面，W.S.Lin[7]對磨損量服從正態分布的切割工具的可靠性進行了試驗設計及分析；YangLuo[8]對結構參數服從正態分布的可靠性試驗設計進行了研究；榮吉利[9]等針對性能參數服從正態分的一類航天火工機構，參照“應力-強度”模型，提出了一種強化試驗的小子樣可靠性驗證方法；鄭波[10]等對于不合格率服從正態分布的火工品，推導出了可靠性試驗驗證的樣本量確定方法；張碩云[11]對簡單假設情況下，可靠性參數服從正態分布的試驗設計進行了研究，并且給出了滿足兩類風險要求的最小樣本量求解方法，但是對于復雜假設的情況沒有研究。從現有的研究情況看，在小子樣條件下，基于Bayes方法對于正態分布參數的假設檢驗，是基于損失函數，選擇試驗驗后損失達到最小的假設，而對接受或者拒絕原假設時，棄真或者采偽的概率（即兩類風險）關注得較少。從統計分析的角度來看，基于小概率事件原理[12]，在考慮兩類風險的條件下，選擇正確的檢驗假設，對于使用方和生產方而言都是比較有益的，而且在裝備生產定型后，可以降低事故的發生比例。這比單純采用損失函數來決定假設檢驗的結論更科學、合理。本文結合裝備試驗鑒定的這一需求，針對可靠性參數服從正態分布的裝備或產品，在復雜假設的情況下，基于Bayes理論，以驗后兩類風險為目標建立了可靠性驗證試驗設計的非線性約束規劃模型，并基于0-1損失函數對兩類風險的計算進行了推導。最后結合示例，對壽命服從正態分布的xx型號部件進行可靠性驗證試驗設計，給出了基于兩類風險的可靠性統計試驗方案的分析與求解過程。樣本量計算的非線性約束規劃模型在可靠性分析中，有些產品的壽命或者維修時間服從正態分布，記為Nμ式（1）中：μ0——MTBF的最小值。根據統計學理論[12]，在給定原假設和備擇假設的條件下，試驗中獲得的樣本量越大，統計推斷的結果就越可信，對應的兩類風險（棄真、采偽風險）式（2）中：C0——進行試驗所需的初始試驗費用，包括試驗場地建設費用、人員培訓費用、管理費用等；n——產品現場試驗所需的樣本量；α（n）——現場試驗樣本量為n時，運用Bayes的生產方的棄真風險；β（n）——現場試驗樣本量為n時，運用Bayes方法進行假設檢驗，所造成的使用方的采偽風險；C2——在H0正確的條件下，如果拒絕原假設H0，所造成的生產方的損失，包括產品的重新設計與生產延誤、銷售市場的萎縮等；C3——在H0不成立的條件下，如果采納原假設H0，所造成的使用方的損失，包括產品使用過程中的維護保障、任務延遲損失等。況考慮與兩類風險、試驗費用相關的各種損失，建立比較全面的損失模型。定α0，β0，并要求由于產品的試驗不可能無限制地進行下去，所以研制方和使用方通常會給定現場試驗的最大次數N。為了保證將來產品使用的安全性、可靠性，并且通常要求現場試驗次數大于等于某一給定的最小試驗次數n0，從而給定現場試驗次數的約束條件裝備試驗設計的目的是在滿足兩類風險要求的前提下，使得試驗損失達到最小。所以，可建立如下的非線性約束規劃模型：約束條件為：利用Bayes方法，進行試驗設計，就是結合裝備的關于μ的驗前信息，在滿足式（4）條件下，選擇使式（3）成立的最小的現場試驗次數n。基于s方法的α、β）的計算假設某產品的壽命服從正態分布（μ，σ2，其中方差2已知，對參數μ（式1。在s分析中，通常是基于損失函數進行假設檢驗，選擇使得驗后損失達到最小的原假設或者備擇假設。0-1損失函數是Bayes方法中應用較為廣泛的一種損失函數，所以在此采用0-1損失函數[2]進行分析。設損失函數為：式（5）中：αi(i=0,1)——采納假設Hi的行為；μ——上述正態分布中的參數；Θ=Θ0∪Θ1，Θ0∩Θ1=Φ，Θ為參數空間，取Θ=(-∞，∞)，Θ0，Θ1為Θ的一個分劃。設X=(x1,x2,…,xn)為對總體進行抽樣所得到的樣本，按照驗后期望損失最小的原則可得Bayes決策不等式[13]為：式（6）中：accH0——接納原假設；accH1——接納備擇假設。取μ的驗前分布π(μ)為正態分布N(θ,τ2)，其中超參數θ,τ2已知，否則可通過驗前分布確定的相關計算方法得到，如工程意義法、專家信息法等[2]計算得到。由樣本X，可得似然函數為：由Bayes公式，可得м的驗后分布為：由于N(θ,τ2)是μ的共軛分布[2]，所以，π(μ|X)仍為正態分布，記為N(θ1,)，其中：式（9）中：考慮到檢驗的假設式（1，從而有式（10）中：f(μ|θ1,)——正態分布N(θ1,)的密度函數。記A為：則P(H1|X)=Φ(A)，P(H0|X)=1-Φ(A)。其中，為標準正態分布的分布函數。從而有A＝0時，Φ（）＝1－Φ（）＝5。聯合式（6、（，可得如下的決策不等式：從而可得拒絕原假設的拒絕域為：即由式（51即應滿足：定義決策臨界值為：從而有：進一步計算可得采納原假設H0的區域D0為：根據數理統計[12]的相關理論，可知樣本均值服從正態分布N(μ,σ2/n)，在Bayes假設檢驗的情況下，犯兩類錯誤的概率為：例1假定θ=5001.2，τ2=5.7788，即取π(μ)為N(5001.2，5.7788)，并假定σ2=64，μ0=5000。由式（19）計算，可得不同樣本量n條件下兩類風險的具體取值，如圖1所示。從圖1可以看出，第二類風險隨著樣本量的增加而嚴格地遞減，第一類風險在剛開始有上升趨勢，這只是在極小樣本時產生的波動問題，但是變化幅度并不大，隨后也是嚴格地遞減，這是符合實際情況的。Matlab由于Matlab[14]具備強大的計算功能，能進行復雜的積分運算，因此在N不大的條件下，可采用b進行枚舉計算，選擇滿足式（3、4）要求的n。計算步驟如下：a）Step1根據實際情況選擇C0，C1，C2，C3，α0，β0和n0，N的具體數值。b）Step2根據驗前信息，包括歷史試驗數據、子系統信息、專家信息和仿真信息等確定μ驗前分布，確定θ,τ2的具體數值。p3（9）α（n，β（n）αn，n）（4，則繼續下面的步驟；否則，說明現有的信息和樣本量還不能滿足最低的檢驗條件，需修改約束條件（4）或者收集更多的驗前Step。d）Step4定義損失的初始值CT=C0+C1N+C2α(N)+C3β(N)+1。e）Step5取n=n0。f）p6由式（）計算α（n，β（n，若α（n，β（n）滿足式4，則由式（2）計算f（nf（n）＜，則記n為當前最優的試驗次數，MC=μ0+(μ0-θσ2/(nCτ2CT=fc，1，繼續進行p6；若α（n，βn）不滿足式（4，n=n+1，Step。在假設檢驗中，若僅要求則僅需對模型 （3）進行修正，選擇一個較大的0（例如0，令0，并取1，即可。通過上述的循環計算，即可得到最優的試驗次數nC和決策的臨界值MC。試驗實施時，安排進行nC次試驗。試驗完畢后，計算樣本均值，并進行判斷，若樣本的試驗結果X∈D1則拒絕原假設，否則不能拒絕原假設。4示例分析例2假設xx型號產品的壽命服從正態分布N(μ,64)，假設使用方要求該部件的壽命不能低于5000h，如果規定的兩類風險為α0=0.10，β0=0.15，試給出驗證試驗設計方案。驗前分布超參數的估計在本項目研究中，對于正態分布中方差σ2已知的情況，取正態分布N(θ,τ2)為期望μ的共軛驗前分布，其參數可采用工程意義法來確定。當具有多批驗前試驗數據時，也可采用下述方法來估計超參數。假設驗前試驗數據為，其中i=1，2，…，mj表示第j批試驗數據中的序號，j=1，2，…，t表示試驗數據的批次。那么第j批數據的均值為：超參數θ和τ2的估計為：1（2（20）計算可得=5001.2=5.7788。最小樣本量的求解根據題意對參數做出如下檢驗假設：由式（7n在本例中，若選擇n0=1，N=1000，C0=100，C1=30，C2=40000，C3=30000，則可得nC=57，此時MC=4999.7668，f(57)=5782.4954。此時實際的α(57)=0.0489，β(57)=0.0660。損失隨試驗次數n的變化情況如圖2所示。表3列出了不同現場試驗次數下的兩類風險與損失的計算結果。n0=1N=1000C0=100C1=30C2=40000C3=50000000，C2=1，C3=1時,則可得nC=10，此時實際的α(10)=0.0727，β(10)=0.1471。分析上述計算結果可以看出，損失模型中的系數(C0，C1，C2，C3)不一樣時，同樣的樣本量所對應的損失是不一樣的，所得出的最優樣本量也不一樣。這就說明，對于一個損失模型來說，系數的確定非常重要，當系數選取恰當時，可以準確地對試驗方案進行評價，從而挑選出最優試驗方案，為裝備的驗收鑒定提供決策依據。因此，在進行試驗設計時，應通過充分、全面的市場調研與分析，給出各系數一精確取值，從而確保得到優化的試驗設計方案。6結束語本文根據Bayes理論，在兩類風險的要求下，對裝備戰技指標服從正態分布條件下的可靠性的驗證試驗設計進行了研究，建立了滿足兩類風險的最小樣本量的非線性約束模型；基于0-1損失函數，按照驗后風險最小的原則，推導出了兩類風險的計算公式，并基于Matlab給出了最小樣本量的計算步驟。這種方但在具體的應用過程中可在如下方面進行進一步的研究：a）對于具體的可靠性驗證試驗，如何根據待試驗的裝備、現有的試驗條件以及該裝備在未來作戰中擔負的職能等因素來確定試驗的初始費用、單個樣本的試系數C0，C1，C2，C3。b）本文僅對可靠性指標服從正態分布的情況進行了研究，當裝備的可靠性指對其可靠性驗證試驗方案進行設計。0-10-1設比較簡單，在具體的應用中，可以根據實際情況來選擇合適的損失函數，構建更加準確的損失模型，從而找到最優的試驗方案。參考文獻：PatrickD.T.O'connor[M].北京：電子工業出版社,2005.武小悅,劉琦.裝備試驗與評價[M].北京：國防工業出版社,2008.AnnaPavlisková.Reliabilityandcontinuousregenerationmodel[J].ActaMontanisticaSlovacaRoník,2006，(2):119-121.MIl-HDBK-338b-1998，Electronicreliabilitydesignhandbook[S].LIUChang-hong,LIUXin-tian,WangRen-liang.Theanalysisofthedistributionofthefailurestatisticaldatahydrogen-adjacentpipelines[