第四章彎曲內力第一節對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖第二節梁的剪力與彎矩第三節剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖第四節彎矩、剪力與分布荷載集度間的關系及其應用第五節按疊加原理作彎矩圖一、彎曲的概念

1、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。

2、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件

①軸線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。

②有對稱平面的梁稱為對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁

3、平面彎曲（對稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向對稱面內，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內的彎曲。

4、非對稱彎曲：若梁不具有縱向對稱面，或梁有縱向對稱面上但外力并不作用在縱向對稱面內的彎曲。第一節對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖彎曲內力FqFAFB縱向對稱面二、梁的荷載及計算簡圖

研究對象：等截面的直梁，且外力作用在梁對稱面內的平面力系。

1.梁的計算簡圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。

2.梁的支座簡化(平面力系)：彎曲內力a)滑動鉸支座b)固定鉸支座c)固定端彎曲內力

3.靜定梁—僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁(b)簡支梁(c)外伸梁

4.作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q(x)任意分布荷載q均布荷載第二節梁的剪力與彎矩彎曲內力一、截面法過程：切取、替代、平衡FAB剪力CFC彎矩彎曲內力

①剪力—平行于橫截面的內力，符號：，正負號規定：使梁有左上右下錯動趨勢的剪力為正，反之為負(左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正)；MMMMFSFSFSFS

②彎矩—繞截面轉動的內力，符號：M，正負號規定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(梁上壓下拉的彎矩為正)。剪力為正剪力為負彎矩為正彎矩為負二、平面彎曲梁橫截面上的內力：例一求下圖所示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。彎曲內力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、計算1-1截面的內力3、計算2-2截面的內力F=8kNFAFBq=12kN/m1.剪力、彎矩方程：

2.剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內力的大小。例二作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。第三節

剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖

彎曲內力xFSFFlMFlABFSM例三圖示簡支梁受均布荷載q的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。彎曲內力qlAB解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程

例四在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎矩圖發生轉折，剪力圖發生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向。彎曲內力FabClAB解：1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFSM彎曲內力由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點，彎矩圖發生突變，其突變值為集中力偶的大小。

例五在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解：1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程FAFBFSM一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關系

1.假設：規定q(x)向上為正，向下為負；任取微段，認為其上q(x)為常數，無集中力、集中力偶；內力作正向假設。

2.微分關系推導：第四節彎矩、剪力與分布荷載集度間的關系及其應用彎曲內力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)1.微分關系的幾何意義：剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小；彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點剪力的大小。

2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態：二、討論微分關系的幾何意義彎曲內力外力情況q<0(向下)無荷載段集中力F作用處：集中力偶M作用處：剪力圖上的特征↘(向下斜直線)水平線突變，突變值為F不變彎矩圖上的特征(下凸拋物線)斜直線有尖點有突變，突變值為M最大彎矩可能的截面位置剪力為零的截面剪力突變的截面彎矩突變的某一側3.其它規律：

①|M|max可能發生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；

②q突變反向，剪力圖有尖點，彎矩圖有凸凹性反轉拐點；

③荷載圖關于梁左右對稱，則剪力圖關于梁中點反對稱，彎矩圖左右對稱；荷載圖關于梁中點反對稱，則剪力圖左右對稱，彎矩圖關于梁中點反對稱。1.先利用計算法則計算分段點FS、M值；2.利用微分關系判斷并畫出分段點之間的FS、M圖。三、利用微分關系作剪力彎矩圖例六外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的FS----M圖。彎曲內力解：1、求支反力2、判斷各段FS、M圖形狀：CA和DB段：q=0，FS圖為水平線，

M圖為斜直線。AD段：q<0，FS

圖為向下斜直線，

M圖為上凸拋物線。DABC3、先確定各分段點的FS

、M值，用相應形狀的線條連接。FS+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFB當變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。1、疊加原理：當梁在各項荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩的代數和。2、區段疊加法作彎矩圖：

設簡支梁同時承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：第五節按疊加原理作彎矩圖+MAMBM0++MAMBM0彎曲內力BMAAqMBlB

注意：這里所說的彎矩疊加，是縱坐標的疊加而不是指圖形的拚合。d圖中的縱坐標如同M圖的縱坐標一樣，也是垂直于桿軸線AB。（1）選定外力的不連續點(如集中力、集中力偶的作用點，分布力的起點和終點等