Ch3連續(xù)型隨機(jī)變量引子

前面我們學(xué)習(xí)過離散隨機(jī)變量的分布率，離散隨機(jī)變量的取值有有限個(gè)或者可列個(gè)，但實(shí)際問題很多情況并不能用離散隨機(jī)變量描述，比如幾何概型問題，如何刻畫它的概率規(guī)律呢？區(qū)間描述方法一、分布函數(shù)定義設(shè)X隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{Xx}。易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b)有：

P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a)。把隨機(jī)變量X的值看成數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，那么X表示數(shù)軸上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，分布F(x)表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間

上的概率例設(shè)隨機(jī)變量X具分布律

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。例設(shè)陀螺頂面圓周長(zhǎng)為單位，現(xiàn)在其上從0～1均勻刻度，若讓X表示陀螺靜止時(shí)其頂面圓周與地面的接觸點(diǎn)，則X是隨機(jī)變量，求X的分布函數(shù)

分布函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2.非負(fù)規(guī)范性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且01

3.

右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x0，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。一般的，對(duì)離散型隨機(jī)變量

X～P{X=xk

}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為二、一維連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布1、密度函數(shù)（1）定義

對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。

f(x)為X的概率密度函數(shù)，記為

X～f(x),(-<x<+)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)。（2）.密度函數(shù)的性質(zhì)(1)

f(x)0，(-<x<)；(2)性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，f(x)0x1

(4)例

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為例已知r.v.X的分布函數(shù)為：注：對(duì)bR，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。即：連續(xù)型隨機(jī)變量取單點(diǎn)值的概率為零。例已知r.v.X的密度函數(shù)為：求

r.v.X的分布函數(shù)2、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布（1）均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記為X~U(a,b)相應(yīng)地還有：U[a,b]，U[a,b)，U(a,b]U(a

,b)(2).

指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。指數(shù)分布常用來作為各種“壽命”分布的近似。指數(shù)分布的性質(zhì)：(i)無(wú)記憶性s>0，t>0：(ii)與泊松分布關(guān)系(3).

正態(tài)分布(高斯(Gauss)分布)若正態(tài)分布有三個(gè)特性：(i)單峰對(duì)稱記為N,可表為X～N其中>0，為實(shí)數(shù)，則稱X服從參數(shù)為(

，)的正態(tài)分布,其圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱；f()＝maxf(x)＝(ii)的大小直接影響概率的分布越小，曲線越陡峻，概率分布越集中，曲線又高又瘦。越大，曲線越平坦，概率分布越分散，曲線又矮又胖；xf(x)o(iii)有兩個(gè)拐點(diǎn)(4).

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可表為N(0,1)。為了區(qū)別于一般的正態(tài)分布，其密度函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為參數(shù)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，N(0,1)的性質(zhì)：(1)

(x)＝1(x)；N(0,1)。F(x)＝P{Xx}＝P{a<Xb}＝P{aXb}＝P{a<X<b}=P{Xb}P{Xa}書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供查閱(x)的值。(2)

若X~N()，則若X～N()，則例一般地對(duì)于X~N(0,1)，如z

滿足：P{X>z

}=，0<<1則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。z

P{X

z

}=1，第二節(jié)二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.

聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2,則稱F(x

,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2,

y1<Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)F(x1,y1).一、聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)幾何意義：聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(1)非負(fù)規(guī)范對(duì)任意(x,y)R2,0F(x,y)1,且F(+,+)＝1;F(－,－)＝0,F(x,－)＝0,F(－,y)=0。(2)單調(diào)不減對(duì)任意yR,當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)；

對(duì)任意xR,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)對(duì)任意yR,對(duì)任意xR,(4)矩形不等式對(duì)于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，

y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。2.

邊緣分布FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}＝P{Xx，Y<

+

}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}＝P{X<

+

，Yy}稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).邊緣分布仍是一個(gè)分布函數(shù)二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使對(duì)(x,y)R2，其分布函數(shù)可以寫成則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，

f(x,y)稱為(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：

f(x,y)0,(x,y)R2;(2)完備性：反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f(x,y)，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。此外，f(x,y)還有下述性質(zhì)(3)若f(x,y)在(x,y)R2處連續(xù)，則有(4)對(duì)于任意平面區(qū)域GR2,P{(X,Y)G}＝例注意：將二重積分化成累次積分x

+

y

=

1x=1y=2例兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布(1)二維均勻分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域G上(內(nèi))服從均勻分布。若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為(2)二維正態(tài)分布N(X,Y)~N()其中，、為實(shí)數(shù)，>0、

>0、||<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為

,,,,的二維正態(tài)分布，可記為三邊緣密度函數(shù)設(shè)(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,則稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)；同理，稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。定義例（注意觀察計(jì)算結(jié)果）故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。例已知二元r.v.(X,Y)~N(

)求邊緣概率密度函數(shù)。即若(X，Y)~N(

)，則X~N()，Y~N(

)。四條件密度函數(shù)定義例五隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.隨機(jī)變量相互獨(dú)立的一般定義設(shè)X1，X2，…，Xn為n

個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意(x1,x2,…,xn

)Rn，有P{X1x1,…,Xn

xn

}＝P{X1x1}…P{Xn

xn

}即F(x1,x2,…,xn)＝FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn

),則稱X1，X2，…，Xn

相互獨(dú)立。2.隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)定義定理一設(shè)(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,fX(x),fY(y)分別為X與Y的邊緣密度，則X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于

f(x,y)＝fX(x)fY(y)，對(duì)任意(x,y)R2幾乎處處成立。例例

證明下述的定理：上述可以推廣到n維連續(xù)型隨機(jī)變量的情形:設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對(duì)任意的(x1,x2,…,xn

)Rn，

f(x1,x2,…,xn

)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn

)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。定理二設(shè)(X1,,X2,…,Xn

)與(Y1,Y2,…，Yn

)相互獨(dú)立，則Xi

(i=1,2,…,m)與Yj

(j=1,2,…,n)相互獨(dú)立；又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,,X2,…,Xn

)與g(Y1,Y2,…，Yn

)相互獨(dú)立。六連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1.一維變量的情形(1)一般方法若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù):FY

(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝然后再求Y的密度函數(shù)：

fY

(y)＝此法也叫“分布函數(shù)法”。(2)公式法若X～f(x),xR,y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則Y＝g(X)~fY(y)＝其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù)，＝min{g(-),g(+)}，＝max{g(-),g(+)}.Notes：只有當(dāng)Y是X的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。例設(shè)r.v.X的密度函數(shù)為f(x)，求Y=a+bX的密度函數(shù)。例2.

多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)分布函數(shù)法若(X1,X2,…,Xn

)~f(x1,x2,…,xn

),(x1,x2,…,xn

)Rn，Y=g(X1,X2,…,Xn

),則可先求Y的分布函數(shù):然后再求出Y的密度函數(shù):(2)幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)a.和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。若X與Y相互獨(dú)立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù)上式稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的卷積公式。例另一種解法見黑板例解：結(jié)論b.極大(小)統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2