彈性力學

習題課(二)平面直角坐標解答1.已知

（a）φ＝Ay2(a2-x2)+Bxy+C(x2+y2),

（b）φ＝Ax4+Bx3y+Cx2y2+Dxy2+Ey4

試問它們能否作為平面問題的應力函數(shù)？

解：作為應力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將φ代入相容方程，（ａ）其中必須A=0,才可成為應力函數(shù)；（ｂ）必須滿足3(A+E)+C=0,才可成為應力函數(shù)。2.設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計，試用應力函數(shù)φ＝Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應力分量。

解：已經(jīng)給出了應力函數(shù)φ，可按下列步驟求解。（1） 將φ代入相容方程，顯然是滿足的。(2)將φ代入求出應力分量(3)考察邊界條件：主要邊界應精確滿足式在次要邊界條件x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負ｘ面，圖中表示了負ｘ面上σx和τxy的正方向，由此得由式(a),(b)解出最后一個次要邊界條件（x=l上），在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應力公式，得3.矩形截面的柱體受到頂部的集中力F和力矩M的作用，如圖所示，不計體力，試用應力函數(shù)φ＝Ay2+Bxy+Cxy3+Dy3求解其應力分量。

解：應用上述應力函數(shù)求解：（1）代入相容方程，滿足。（2）求應力分量，在無體力下，得（3）考察邊界條件。在主要邊界（），在次要邊界x=0,再由（a），（b）式解出代入，得應力解答，4.擋土墻的密度為ρ1，厚度為ｂ，水的密度為ρ2，試求應力分量。

解：用半逆解法求解。（1）假設應力分量的函數(shù)形式。因為在y=-b/2邊界上，σy=0;y=b/2邊界上，σy=-ρ2gx,所以可假設在區(qū)域內(nèi)σy為（2）推求應力函數(shù)的函數(shù)。由σy推求φ的形式，（3）由相容方程求應力函數(shù)。將φ代入，得要使上式在任意的ｘ處都成立，必須代入φ，即得應力函數(shù)的解答，其中已略去了與應力無關(guān)的一次式。（4）由應力函數(shù)求應力分量。注意體力X=ρ1gY=0,求得應力分量為：(5)考察邊界條件：在主要邊界上，有由上式得到在次要邊界條件x=0上，列出三個積分的邊界條件：求解各系數(shù)，得：代人應力分量的表達式，得應力解答：5.在材料力學中，當矩形截面梁（厚度δ=1）受任意的橫向荷載q(x)作用而彎曲時，見右圖，彎應力公式為：（ａ）試由平衡微分方程（不計體力）導出切應力τxy

和擠壓應力σy

的公式。（ｂ）當

q為常數(shù)時，試檢驗應力分量是否滿足相容方程？試在σx

中加一項對平衡沒有影響的函數(shù)f(y)，再由相容方程確定f(y)，并校核梁的左右邊界條件。解：本題應用材料力學的彎應力σx

的解，作為初步的應力的假設，再按應力法求解、應力分量必須滿足：（１）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）應力邊界條件（ａ）不計體力，將代入平衡微分方程第一式，得：兩邊對ｙ積分，得：再由上下的邊界條件代入τyx，得：其中，將τyx代入平衡微分方程的第二式：對ｙ積分，得：由上下的邊界條件，得同樣得由此得上述解答ｘ及式（ｃ）和式（ｄ）已滿足平衡微分方程及y=h/2的邊界條件；但一般不滿足相容方程，且尚未校核左右端的次要邊界條件。（ｂ）若q=常數(shù)，則代入相容方程，為了滿足相容方程，令此式σx和式(c),(d)一組應力分量仍然滿足平衡微分方程；再代入相容方程，得：積分得：由x=l