湖南省益陽市太陽中學2022年度高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：B略2.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（）A．B．C．4D．8參考答案：C考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：由題意求出菱形的邊長，由三視圖可得，幾何體是由兩個底面正方形的正四棱錐組合而成，求出正四棱錐側面積，即可求解．解答：解：一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內角為60°的菱形，所以菱形的邊長為：1，由三視圖可得，幾何體是由兩個底面正方形的正四棱錐組合而成，底面邊長為1，側棱長為：，所以幾何體的表面積為：=4．故選C．點評：本題是基礎題，考查三視圖推出幾何體的判斷，幾何體的表面積的求法，注意視圖的應用．3.設是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（

）A．若與共面，則與共面B．若與是異面直線，則與是異面直線C．若，則D．若，則參考答案：C4.設雙曲線的右頂點為A，右焦點為，弦PQ過F且垂直于軸，過點P、點Q分別作為直線AQ、AP的垂直，兩垂線交于點B，若B到直線PQ的距離小于，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由題意,B在x軸上,,∴，∴，直線BQ的方程為，令y=0,可得，∵B到直線PQ的距離小于2(a+c)，∴，∴，∴，∴，∵e>1，∴，故選B.

5.一拋物線型拱橋，當水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m時，則水面寬為（）A．m B．2m C．4.5m D．9m參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質．【分析】建立適當的直角坐標系，設拋物線方程為x2=﹣2Py（P＞0），由題意知拋物線過點（2，﹣2），進而求得p，得到拋物線的標準方程．進而可知當y0=﹣3時x02的值，最后根據水面寬為2|x0|求得答案．【解答】解：建立適當的直角坐標系，設拋物線方程為x2=﹣2Py（P＞0），由題意知，拋物線過點（2，﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．當y0=﹣3時，得x02=6．∴水面寬為2|x0|=2．【點評】本題主要考查了拋物線的性質．屬基礎題．6.已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件。現有下列命題：①是的充要條件；②是的必要條件而不是充分條件；③是的充分條件而不是必要條件；④是的充分條件而不是必要條件；⑤的必要條件而不是充分條件，則正確命題序號是

.

參考答案：①③⑤

7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則（）A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績參考答案：D【分析】根據四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正確答案【詳解】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績→乙丙必有一優一良，（若為兩優，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）→乙看到了丙的成績，知自己的成績→丁看到甲、丁也為一優一良，丁知自己的成績，給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優一良，假定乙丙都是優，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優，那么甲就知道自已的成績了．給乙看丙成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優，則乙是良，乙就知道自己成績．給丁看甲成績，因為甲不知道自己成績，乙丙是一優一良，則甲丁也是一優一良，丁看到甲成績，假定甲是優，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了故選：D．【點睛】本題考查了合情推理的問題，關鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，屬于中檔題．8.如圖，為正四面體，于點，點均在平面外，且在平面的同一側，線段的中點為,則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．

B．

C.

D.參考答案：A9.拋物線的準線方程是，則的值為()A.

B．

C．4

D．－4參考答案：B略10.若命題“”為假，且“”為假，則A.p或q為假 B.q真 C.q假 D.不能判斷q的真假參考答案：C試題分析：命題“”為假，說明與中至少有一個是假命題，“”為假說明為真命題，所以為假命題.考點：本小題主要考查了由復合命題的真假判斷命題的真假.點評：解決此類問題的關鍵是掌握復合命題的真值表并能熟練應用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,,,則在上的正投影的數量為

參考答案：y=-x-212.（4分）已知點A（﹣2，4），B（4，2），直線l：ax﹣y+8﹣a=0，若直線l與直線AB平行，則a=_________．參考答案：13.已知點M是y=上一點，F為拋物線的焦點，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】首先求出拋物線上的點到圓上及拋物線的焦點的距離最小的位置，然后根據三點共線求出相應的點的坐標，進一步求出最小值．【解答】解：如上圖所示利用拋物線的定義知：MP=MF當M、A、P三點共線時，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x軸CM所在的直線方程為：x=1與y=建立方程組解得：M（1，）|CM|=4﹣點M到圓C的最小距離為：|CM|﹣|AC|=3拋物線的準線方程：y=﹣1則：，|MA|+|MF|的值最小值為3+1=4故答案為：4【點評】本題考查的知識點：圓外一點到圓的最小距離，拋物線的準線方程，三點共線及相關的運算問題．14.（5分）某人射擊，一次擊中目標的概率為0.6，經過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為（結論寫成小數的形式）_________．參考答案：0.64815.已知樣本的平均數是10，標準差是，則xy=________.參考答案：96，，

16.已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據△ABF2是正三角形，且直線AB與橢圓長軸垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，設|AF1|=m，可得，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=m，得到橢圓的長軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m，所以橢圓的離心率為e==．【解答】解：∵△ABF2是正三角形，∴∠AF2B=60°，∵直線AB與橢圓長軸垂直，∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=×60°=30°，Rt△AF2F1中，設|AF1|=m，sin30°=，∴|AF2|=2m，|F1F2|=因此，橢圓的長軸2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m∴橢圓的離心率為e==．故答案為：【點評】本題給出橢圓過焦點垂直于長軸的弦和另一焦點構成直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念和簡單幾何性質，屬于基礎題．17.若圓以拋物線的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切,則該圓的標準方程是__

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表商店名稱

A

B

C

D

EE

銷售額x(千萬元)

3

5

6

7

99

利潤額y(百萬元)

2

3

3

4

5

(1)

畫出散點圖．觀察散點圖，說明兩個變量有怎樣的相關性。(2)

用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．(3)

當銷售額為4(千萬元)時，估計利潤額的大小.參考答案：（1）略……………3分（五個點中，有錯的，不能得3分，有兩個或兩個以上對的，至少得2分）兩個變量符合正相關

……………4分

（2）設回歸直線的方程是：，

……………6分∴

……………8分∴y對銷售額x的回歸直線方程為：

……………10分（3）當銷售額為4(千萬元)時，利潤額為：＝2.4(百萬元)

……………12分19.設函數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）證明當時，；（Ⅲ）設，證明當時，.參考答案：（Ⅰ）當時，單調遞增；當時，單調遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析．試題分析：（Ⅰ）首先求出導函數，然后通過解不等式或可確定函數的單調性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構造新函數，然后通過利用導數研究函數的單調性來處理．試題解析：（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.所以當時，.故當時，，，即.（Ⅲ）由題設，設，則，令，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.由（Ⅱ）知，，故，又，故當時，.所以當時，.【考點】利用導數研究函數的單調性、不等式的證明與解法【思路點撥】求解導數中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函數的單調性，再利用單調性進行證明；（2）根據不等式結構構造新函數，通過求導研究新函數的單調性或最值來證明．20.為了解學生身高情況，某校以的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，則得身高情況的統計圖如下：（1）估計該校男生的人數；（2）估計該校學生身高在170—185cm之間的概率；（3）從樣本中身高在165—180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170—180cm之間的概率.參考答案：略21.（本小題滿分12分）已知等差數列滿足：，的前項和。（1）求通項公式及前項和公式；

（2）令，求數列的前項和。參考答案：解：（1）設等差數列的公差為，有

…4分

…5分

…6分（2）由（1）知：

…7分

…9分即數列的前項和…12分略22.已知函數f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點A、B，=（2，2），函數g（x）=x2﹣x﹣6．（1）求k，b的值；（2）當x滿足f（x）＞g（x）時，求函數的最小值．參考答案：解：（1）∵函數f（x）=kx+b的圖象與x，y軸分別相交于點A、B，∴由已知得A（﹣，0），B（0，b），∴=（，b），∵=（2，2），∴，解得b=2，k=1．（2）∵函數g（x）=x2﹣x﹣6，x滿足f（x）＞g（x），∴x+2＞x2﹣x﹣6．即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，∴==x+2+﹣5，由于x+2＞0，則，其中等號當且僅當x+2=1，即x=﹣1時成立，∴的最小值是﹣3．考點：其他不等式的解法；直線的斜率．專題：不等式的解法及應用．分析：（1）由已知分別求出A，B兩點坐標，進而求出，再由=（2，2），能求出k，b的值．（2）由已知得x+2＞x2﹣x﹣6，從而得到﹣2＜x＜4，再由==x+2+﹣5，利用均值定理能求出的最小