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第四章向量組的線性相關性§4.4線性方程組解的結構§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間2§4.1向量組及其線性組合三維空間的向量:有向線段。建立空間直角坐標系后，它由一點P或一個三元數組(x,y,z)唯一確定。

我們還定義了向量的加法(即平行四邊形法則)和向量的數乘兩種運算。3

在建立空間直角坐標系后，由于向量與三元數組(又稱坐標)的一一對應關系。用坐標計算向量的加法與數乘就特別方便。

由于解線性方程組等實際的需要，我們要把三維空間中的向量進行推廣(把幾何向量代數化)。直接把n元的數組叫做(代數中的)向量，向量加法與數乘運算的定義直接平移三維向量坐標的運算。4定義n個數組成的有序數組稱為一個n維行向量或n

維列向量,其中稱為該行(列)向量的第i個分量.行向量與列向量統稱為向量.

分量全是實數(復數)的向量稱為實(復)向量,n

維實(復)向量的全體記為.以后如無特殊說明,向量均指實向量.

約定:所討論的向量如無說明均指列向量,而行向量用列向量的轉置表示.

向量的加法運算和數乘運算同矩陣的這兩種運算一樣.或5

由若干個同維數的列(行)向量組成的集合稱為一個向量組.如無特殊說明,向量組總是指只含有限個向量的向量組.

如:m×n的矩陣A全體列向量是含n

個m維列向量的向量組,簡稱A的列組;全體行向量是含m個n維的行向量組,簡稱A的行組.

再如:解的全體是一個含無窮多個n維列向量的向量組.定義6觀察如圖三維空間中的向量,必有不可能7對于向量組,表達式稱為向量組A的一個線性組合.又如果是向量組A的一個線性組合,即則稱向量可由向量組A線性表示.定義8(1)向量可由向量組線性表示存在數使上面方程組有解.即有解學會這種轉換就可以了!注意:符號混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果……(按定義)(轉換為方程組)(用矩陣的秩)9(2)如果向量組中的每個向量都可由向量組線性表示,則稱向量組B可由向量組A線性表示.有解(改寫為矩陣)(轉換為矩陣方程)(用矩陣的秩)一個向量組表示另一向量組就是矩陣乘法的關系!10(3)如果向量組與向量組可以相互表示,則稱這兩個向量組等價.向量組A與向量組B等價(1)向量組的等價關系是不是等價關系?(用矩陣的秩)(2),A的行組與B

的行組等價嗎?關于線性表示的三種情況關鍵是學會轉換11例1解記

問為何值時,不能由A線性表示;能由A唯一表示;能由A有無窮多種表示,并求所有表示方法.設向量組A:向量只需討論解的情況.這就是P76例12.結論是時,方程組無解,不能由A表示.時,方程組有唯一解,可由A唯一表示.12時,方程組有無窮多解,可由A無窮多種表示.通解為所有表示方法:其中k為任意實數.即13例2(P87例3)

設n維向量組構成的矩陣為

,證明n階單位矩陣E的列組可由向量組A線性表示的的充要條件是

(即A是行滿矩陣).證上述問題等價地問有沒有解.該題已經作為例題講過了,這就是P81的第19題.14，例3向量組A與向量組B等價嗎?解法一又易知,故等價.15解法二最簡階形一樣(不計零行),故等價.16例4(P108習題5)已知證明(1)能線性表示;(2)不能由線性表示.證如果則與條件矛盾.(2)要證(1)要證

第四章向量組的線性相關性§4.4線性方程組解的結構§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間18§4.2向量組的線性相關性看看三維空間中的向量(如圖)設可表為,說明這三個向量任何一個都不能由其它兩個向量線性表示,說明它們是異面的.這三個向量在一個平面內(共面).19

我們把上面這種向量之間的最基本的關系予以推廣,并換一種叫法.定義向量可由其余的向量線性表示,則稱該向量組線性相關;否則,如果任一向量都不由其余向量線性表示,則稱該向量組線性無關(或獨立).設向量組如果其中一個

該定義不是用數學式子表達的,不便于理論推導.如何改成數學表達式?20等價定義如果存在不全為零的數使得則稱該向量組線性相關.否則,如果設便能推出則稱該向量組線性無關.按后者不妨設則符合前面定義.反之,按前者不妨設又符合后者定義.等價嗎?21存在不全為零的數使即有非零解.與以前類似，還是轉換！向量組線性相關(按定義)(轉化為方程組)上面方程組有非零解.(用矩陣的秩)22(P88例5)問向量組和的線性相關性?的線性相關.的線性無關.例123t

取何值時,下列向量組線性相關?解記當t=5時,上面向量組線性相關.例224設線性無關,問滿足什么時,線性相關.向量組:

分析:這是一個向量組表示另一向量組的問題,首先要把它改寫成矩陣乘積的形式.則例325設(要討論上面方程組何時有非零解)由于故26上面方程組有非零解當時,線性相關.27另證:由于是列滿秩矩陣,故線性相關上面秩<3殊途同歸28

證明向量組線性無關.證利用條件設法推出即可.設(1)

(1)式左乘得(1)式成為(2)(2)式左乘同理推出例429(參見P90定理5)(1)“部分相關,則整體相關.反之…”觀察知相關,從而相關.設要證相關.使用方便的一些推論30(2)“個數大于維數必相關”A的列組是4個3維向量,必相關.設要證A的列組線性相關.31(3)

無關,

相關則可由A

唯一表示.這由有唯一解.又說明:如果一個向量可用無關組表示,則表法必然是唯一的.為以后引用方便,給它起個名子叫唯一表示定理.32寫成矩陣乘積:從而(4)向量組B可由向量組A表示,則(后者的A,B是矩陣)存在矩陣C使得B=AC為以后引用方便,給它起個名子叫表示不等式.33(5)如果一個向量組能由向量個數比它少的向量組表示,則必相關.(Steinitz定理)則必相關如果可由表示,又m>n,則B

必相關.34(6)“短的無關,則長的也無關”.反之…是無關的.也是無關的.35(P109習題16,P110習題17)(題目看書)(16)(17)如果無關,則對任一n維向量必相關.從而,可由線性表示(且表法唯一).反之,單位坐標向量可由表示,由(16)題知它是線性無關的.例6(同P87例3)36重新證P108習題5(以前已作為例題講過)見P90例7(看書)例7

第四章向量組的線性相關性§4.4線性方程組解的結構§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間38§4.3

向量組的秩

對于一個給定的向量組(可以含無窮多向量),如何把握向量之間的線性關系(即哪些向量可由另外一些向量線性表示?)

希望:在一個向量組中能找到個數最少的一部分向量,其余的向量都可由這些向量線性表示.這樣的部分組要滿足什么條件？39(1)線性無關,

(2)A中任意r+1個向量(如果有的話)都線性相關.定義1如果在向量組A中找到r個向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個最大無關組.(P91定義5)(2)A中任一向量都可由A0表示.(P92等價定義)定義2(1)線性無關,

如果在向量組A中找到r個向量滿足則稱向量組A0是向量組A的一個最大無關組.40定義

向量組A的最大無關組所含向量的個數r(顯然是唯一的)稱為向量組A

的秩.仍記為r(A).只含零向量的向量組無最大無關組,規定其秩為0.41回答:

(1)向量組的最大無關組唯一嗎?

(2)如果向量組的秩為r,則其任一

r

個線性無關的向量都是其最大無關組嗎?(3)向量組與其任一最大無關組等價嗎?(4)向量組的任意兩個最大無關組等價嗎?(5)等價向量組的秩相等嗎?42例1求向量組的一個最大無關組和該向量組的秩.

同理,等也是最大無關組.在求解過程中考慮:向量組的秩與它構成矩陣的秩有何關系?易求得說明A中有一個2階子式不為零.如取前兩列前兩行:那么,從而線性無關.再看A的任意三列,因為所以任意三列都是線性相關的.根據定義就是一個最大無關組43(P91定理6)三秩相等定理44例2求向量組的一個最大無關組并把其余向量用該最大無關組表出.接例1,已求得一個最大無關組為要求用表出,這相當于要解方程組解45你能將求最大無關組和把其余向量用該最大無關組表出一步完成嗎?類似可求用表出.解46例3(P94例11)求向量一個最無關組,并把其余向量用該最大無關組表出.矩陣的秩=線性無關嗎?是最大無關組嗎?4748再深入:則與同解即與同解說明:矩陣的初等行變換不改變列之間的線性關系.比如(移項便知)相關(無關)相關(無關)前面的做法,也可依此理論為依據(本質一樣).49右邊的最大無關組左邊的最大無關組50

為什么以前我們把矩陣與向量組以及它們的秩混用同一符號,有了三秩相等定理就能理解了.

但是,如果向量組是無窮向量組符號就不能混用了.有限向量組中的有關結論都可推廣到無窮向量組.這部分內容請同學們自學.見P93定理3’和P94例題10.說明:

第四章向量組的線性相關性§4.4線性方程組解的結構§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間52§4.4

線性方程組解的結構本節主要討論(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無關組(又稱為基礎解系)

如何求?齊次方程組(假設有無窮多解)(1)解集的特點?53首先回答第一問題(P96性質1和性質2)記Ax=0的解集為(1)

N(A)對線性運算封閉.證54證(2)假設是N(A)的一個最大無關組,則(取任意實數)即Ax=0的通解為記設,由于是N(A)的最大無關組,有常數使得從而,設即由(1)x

是解,從而55通過下面的例子,針對一般的方程組例1回答所提問題.再討論第(2)和第(3)個問題56

可知道矩陣A的秩r，又說明原方程組只有r個獨立的方程且B的前r行對應的方程組是與原方程同解的“最簡”方程組.第一步:對系數矩陣A

初等行變換化最簡階梯形B最簡階梯形說明了什么？第二步：寫出同解的方程組(保留第一個未知數在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量)自由變量的個數=?n–r(未知數的個數減獨立方程的個數)57第三步:令自由變量為任意實數寫出通解，再改寫成向量形式是解嗎?線性無關嗎?任一解都可由表示嗎?是基礎解系嗎?基礎解系所含向量的個數=?n–r(自由變量的個數)第四步:寫出基礎解系58再來分析一下基礎解系的由來:第二步的同解方程組為第三步的通解為就是取代入同解方程組(1)中求得然后再拼成的解向量.類似的……59這就啟發我們,由于基礎解系所含解向量的個數正好等于自由變量的個數(這里3個).只要令為三個線性無關的向量.代入同解方程組(1)中求得然后再拼成解向量.必然是線性無關的,從而也是基礎解系.由此得到下面的解法二.60第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基礎解系:第四步:寫出通解61齊次方程組解的結構定理(P98定理7)齊次方程組的基礎解系所含向量個數為設一個基礎解系為則通解為62例2設,是的兩個不同的解向量,k

取任意實數,則Ax=0的通解是63例3(P101例13)設,證明證記則由說明都是的解因此移項64例4(P101例15)證明設,首先證明利用這一結論注:第二個結論決不是同理可證!證65例5(P101習題27)設A為n

階方陣,證明(1)(2)(3)證66例6(P110習題24)求一個齊次方程組,使它的基礎解系為記之為AB=O,這相當于要解矩陣方程,習慣把未知的A放在右邊,轉置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎解系設所求的齊次方程組為,則取即可.解67下面討論:非齊次方程組解的結構以下總假設有解,而其對應的齊次方程組的基礎解系為這里68性質(P102性質3,性質4)(1)

設都是(1)的解,則是(2)的解.(2)

設是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:69非齊次方程組解的結構定理設是(1)的任一解,則(1)的通解為70例7即得方程組的一個解(P102例16)解71在對應的齊次方程中取得齊次方程組的基礎解系于是所有通解72設是非齊次Ax=b

的解,則是Ax=0的解是Ax=b的解例873例9設是非齊次Ax=b

的兩個不同的解其對應的齊次方程組的基礎解系,則Ax=b

的通解是(多選)74例10(P111習題29)設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,已知是它的三個解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎解系.基礎解系所含向量個數=4–3=1故非齊次方程組的通解為

第四章向量組的線性相關性§4.4線性方程組解的結構§4.3向量組的秩§4.2向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合§4.5向量空間76§4.5

向量空間集合對于加法及乘數兩種運算封閉指

設為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及數乘兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義

維向量的全體是一個向量空間,記作